2019年高考数学总复习 2.4.2 导数与不等式及参数范围课件 理.ppt

2 4 2导数与不等式及参数范围 考向一 考向二 求参数的取值范围 多维探究 解题策略一构造函数法角度一从条件关系式中构造函数例1设函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点P 0 2 且在点P处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 2 若x 2时 f x kg x 求k的取值范围 考向一 考向二 难点突破一 作差构造 f x kg x kg x f x 0 设F x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 F x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 令F x 0得x1 lnk x2 2 此时 类比二次函数根的分布进行分类讨论F x 的最小值大于或等于0时的k的范围 难点突破二 分离参数构造函数 若x 2时 f x kg x 当x 2 x2 4x 2 2kex x 1 恒成立 据导数的正负讨论单调性求得最值 相比作差法构造函数分类讨论的方法 达到了事半功倍的效果 考向一 考向二 解 1 由已知得f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而f x 2x a g x ex cx d c 故b 2 d 2 a 4 d c 4 从而a 4 b 2 c 2 d 2 2 由 1 知 f x x2 4x 2 g x 2ex x 1 设函数F x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 则F x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 由题设可得F 0 0 即k 1 令F x 0得x1 lnk x2 2 若1 k0 即F x 在 2 x1 单调递减 在 x1 单调递增 故F x 在 2 的最小值为F x1 考向一 考向二 故当x 2时 F x 0 即f x kg x 恒成立 若k e2 则F x 2e2 x 2 ex e 2 从而当x 2时 F x 0 即F x 在 2 单调递增 而F 2 0 故当x 2时 F x 0 即f x kg x 恒成立 若k e2 则F 2 2ke 2 2 2e 2 k e2 0 从而当x 2时 f x kg x 不可能恒成立 综上 k的取值范围是 1 e2 考向一 考向二 解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题 一般都需要构造函数 然后对构造的函数求导 一般导函数中都含有参数 通过对参数讨论确定导函数的正负 由导函数的正负确定构造函数的单调性 再由单调性确定是否满足函数不等式 由此求出参数范围 考向一 考向二 对点训练1设函数f x 定义在 0 上 f 1 0 导函数f x g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 3 是否存在x0 0 使得 g x g x0 0成立 若存在 求出x0的取值范围 若不存在 请说明理由 考向一 考向二 令g x 0得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调增区间 因此 x 1是g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 考向一 考向二 考向一 考向二 3 满足条件的x0不存在 证明如下 考向一 考向二 角度二从条件化简关系式中构造函数例2设函数f x emx x2 mx 1 证明f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 若对于任意x1 x2 1 1 都有 f x1 f x2 e 1 求m的取值范围 难点突破 f x1 f x2 e 1 f x1 f x2 max e 1 f x max f x min e 1 考向一 考向二 1 证明 f x m emx 1 2x 若m 0 则当x 0 时 emx 1 0 f x 0 若m0 f x 0 所以 f x 在 0 单调递减 在 0 单调递增 2 解 由 1 知 对任意的m f x 在 1 0 单调递减 在 0 1 单调递增 故f x 在x 0处取得最小值 所以对于任意x1 x2 1 1 考向一 考向二 设函数g t et t e 1 则g t et 1 当t0时 g t 0 故g t 在 0 单调递减 在 0 单调递增 又g 1 0 g 1 e 1 2 e1时 由g t 的单调性 g m 0 即em m e 1 当m0 即e m m e 1 综上 m的取值范围是 1 1 考向一 考向二 解题心得在面对陌生的已知条件一时没有解题思路时 不妨对已知条件进行等价转化 在转化的过程中把问题化归为熟悉的问题或者熟悉的题型 从而得到解决 考向一 考向二 切线方程为x 2y 3 0 1 求a b的值 考向一 考向二 考向一 考向二 设0 k 1 考向一 考向二 解题策略二分离参数法 考向一 考向二 当00 当x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 所以函数f x 在 0 1 内单调递增 在 1 内单调递减 所以函数f x 在x 1处取得极大值 考向一 考向二 于是h x 在 1 内递增 则h x h 1 0 则g x 0 于是g x 在 1 内递增 g x g 1 2 则k的取值范围是k 2 考向一 考向二 解题心得有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确 也存在分类讨论相当复杂的情形 难以继续作答 可以利用分离参数法简化构造函数 使得问题简单求解 若求导后不易得到极值点 可二次求导 还不行时 就使用参数讨论法 即以参数为分类标准 看是否符合题意 当最值所在点处函数值是 型时 可使用洛必达法则 可求极限值 考向一 考向二 对点训练3已知f x bx b d x bx 1 ex b R 1 若b 0 讨论d x 的单调性 2 若不等式f x d x 有且仅有两个整数解 求b的取值范围 解 1 d x ex bx b 1 b 0时 d x 0在R恒成立 考向一 考向二 2 由不等式f x d x 有且仅有两个整数解 b xex x 1 0 当x0 令h x 2 x ex 则h x 1 ex0 h 1 1 e 0 所以 x0 0 1 使得h x0 0 g x 在 x0 为增函数 在 x0 为减函数 考向一 考向二 考向一 考向二 证明不等式 多维探究 解题策略构造函数法角度一从条件关系式中构造函数例4函数f x ex ax2 1 曲线y f x 在x 1处的切线方程为y bx 2 1 求a b的值 2 当x 0时 求证 f x e 2 x 2 难点突破 作差构造 设g x f x e 2 x 2 若能判断g x 的单调性 可由单调性证出g x 0 为此需要求g x 的导数 并判断g x 的正负 若不好判断再设h x g x 进行第二次求导 由h x 的正负 判断出g x 的单调性 再通过g x 几个特殊值的正负 判断g x 的正负即g x 的单调性 考向一 考向二 1 解 f x ex 2ax f 1 e 2a b f 1 e a 1 b 2 解得a 1 b e 2 2 证明 设g x f x e 2 x 2 ex x2 e 2 x 1 则g x ex 2x e 2 设h x ex 2x e 2 h x ex 2 所以g x 在 0 ln2 内单调递减 在 ln2 内单调递增 又g 0 3 e 0 g ln2 2 2ln2 e 2 4 2ln2 e0 当x x0 1 时 g x 0 故g x 在 0 x0 内单调递增 在 x0 1 内单调递减 在 1 内单调递增 又g 0 g 1 0 g x ex x2 e 2 x 1 0 当且仅当x 1时取等号 f x e 2 x 2 0 即f x e 2 x 2 考向一 考向二 解题心得1 欲证函数不等式f x g x x a 只需证明f x g x 0 x a 设h x f x g x 即证h x 0 若h a 0 h x h a x a 接下来往往用导数证得函数h x 是增函数即可 2 欲证函数不等式f x g x x I I是区间 只需证明f x g x 0 x I 设h x f x g x x I 即证h x 0 也即证h x min 0 x I 若h x min不存在 则需求函数h x 的下确界 而这用导数往往容易解决 3 证明f x g x x I I是区间 只需证明f x min g x max 证明f x g x x I I是区间 只需证明f x min g x max 或证明f x min g x max且两个最值点不相等 考向一 考向二 对点训练4已知f x ex ax2 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为y bx 1 1 求a b的值 2 求f x 在 0 1 上的最大值 3 证明当x 0时 ex 1 e x 1 xlnx 0 1 解 f x ex 2ax 由题设得f 1 e 2a b f 1 e a b 1 解得a 1 b e 2 2 解 由 1 知f x ex x2 f x ex 2x 设h x ex 2x h x ex 2 f x 在 ln2 内单调递减 在 ln2 内单调递增 f x f ln2 2 2ln2 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 e 1 考向一 考向二 3 证明 f 0 1 由 2 知 f x 过点 1 e 1 且y f x 在x 1处的切线方程为y e 2 x 1 故可猜测当x 0 x 1时 f x 的图象恒在切线y e 2 x 1的上方 下证 当x 0时 f x e 2 x 1 设g x f x e 2 x 1 ex x2 e 2 x 1 则g x ex 2x e 2 设h x ex 2x e 2 h x ex 2 所以g x 在 0 ln2 内单调递减 在 ln2 内单调递增 又g 0 3 e 0 g ln2 2 2ln2 e 2 4 2ln2 e0 当x x0 1 时 g x 0 故g x 在 0 x0 内单调递增 在 x0 1 内单调递减 在 1 内单调递增 考向一 考向二 又g 0 g 1 0 g x ex x2 e 2 x 1 0 当且仅当x 1时取等号 易证不等式ex x 1 故x ln x 1 x 1 lnx 当且仅当x 1时取 所以ex 2 e x 1 xlnx x 即ex 1 e x 1 xlnx 0成立 当x 1时 等号成立 考向一 考向二 角度二从条件中分离指 对函数分别构造例5设函数f x aexlnx 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y e x 1 2 1 求a b 2 证明f x 1 考向一 考向二 考向一 考向二 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 考向一 考向二 所以当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0时 g x h x 即f x 1 解题心得证明不等式f x g x 成立 可以构造函数H x f x g x 通过证明函数H x 的最小值大于等于零即可 可是有时候利用导数求函数H x 的最小值不易 这时还可以证明f x 的最小值大于或等于g x 的最大值 考向一 考向二 1 当k 2时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 考向一 考向二 2 证明 由f 1 0 得k 1 令g x x2 x f x 令h x 1 x xlnx x 0 则h x lnx 2 x 0 因此当x 0 e 2 时 h x 0 h x 单调递增 当x e 2 时 h x 0 h x 单调递减 所以h x 的最大值为h e 2 e 2 1 故1 x xlnx e 2 1 设 x ex x 1 因为 x ex 1 考向一 考向二 所以当x 0 时 x 0 x 单调递增 x 0 0