2019年高考数学总复习 2.4 导数及其应用习题课件 文.ppt

2 4导数及其应用 压轴题 1 2 3 4 5 利用导数研究函数的单调性高考真题体验 对方向1 2017全国 21 设函数f x 1 x2 ex 1 讨论f x 的单调性 2 当x 0时 f x ax 1 求a的取值范围 1 2 3 4 5 2 f x 1 x 1 x ex 当a 1时 设函数h x 1 x ex h x xex0 因此h x 在 0 内单调递减 而h 0 1 故h x 1 所以f x x 1 h x x 1 ax 1 当00 x 0 所以g x 在 0 内单调递增 而g 0 0 故ex x 1 当0 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 ax 1 x 1 a x x2 取 1 2 3 4 5 2 2016山东 20 设f x xlnx ax2 2a 1 x a R 1 令g x f x 求g x 的单调区间 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 解 1 由f x lnx 2ax 2a 可得g x lnx 2ax 2a x 0 1 2 3 4 5 2 由 1 知 f 1 0 当a 0时 f x 单调递增 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 所以f x 在x 1处取得极小值 不合题意 1 2 3 4 5 当x 1 时 f x 0 f x 单调递减 所以f x 在x 1处取极大值 合题意 1 2 3 4 5 新题演练提能 刷高分 1 若曲线y f x 在点 0 1 处切线的斜率为 3 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 2 a 上单调递增 求a的取值范围 解 1 因为f 0 1 所以曲线y f x 经过点 0 1 又f x x2 2x a 曲线y f x 在点 0 1 处的切线的斜率为 3 所以f 0 a 3 所以f x x2 2x 3 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 所以函数f x 的单调递增区间为 3 1 单调递减区间为 3 1 2 因为函数f x 在区间 2 a 上单调递增 所以f x 0 即对x 2 a 只要f x min 0 因为函数f x x2 2x a的对称轴为x 1 当 2 a 1时 f x 在 2 a 上的最小值为f a 由f a a2 3a 0 得a 0或a 3 所以此种情况不成立 当a 1时 f x 在 2 a 上的最小值为f 1 由f 1 1 2 a 0得a 1 综上 实数a的取值范围是 1 1 2 3 4 5 1 当f 1 0时 求实数m的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 讨论函数f x 的单调性 解 1 函数y f x 的定义域为 0 从而f 1 1 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由题意可知a x0 1 又x0 3 4 a Z a的最小值为5 1 2 3 4 5 1 若f x 在 0 上单调递减 求a的取值范围 2 当a 3 e 时 判断关于x的方程f x 2的解的个数 即a x2 3x 3 ex在 0 恒成立 设g x x2 3x 3 ex 则g x ex x2 x g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 g x max g 1 e a e 实数a的取值范围为 e 1 2 3 4 5 a 2x 3 x ex x 0 令h x 2x 3 x ex 则h x 2 x 2 ex 令 x h x 2 x 2 ex x 0 则 x x 1 ex h x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 h x min h 1 2 e0 存在x0 0 2 使得x0 0 x0 时h x 0 h x 单调递增 又h 0 3 h x0 0 1 2 3 4 5 当x 时 h x 当x 0 a 3 e 时 方程a 2x 3 x ex有一个解 即当a 3 e 时 方程f x 2只有一个解 1 2 3 4 5 函数的单调性与极值 最值的综合应用高考真题体验 对方向1 2017北京 20 已知函数f x excosx x 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 解 1 因为f x excosx x 所以f x ex cosx sinx 1 f 0 0 又因为f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 1 1 2 3 4 5 2 设h x ex cosx sinx 1 则h x ex cosx sinx sinx cosx 2exsinx 1 2 3 4 5 2 2017全国 21 已知函数f x ex ex a a2x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 解 1 函数f x 的定义域为 f x 2e2x aex a2 2ex a ex a 若a 0 则f x e2x 在 单调递增 若a 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 故f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 1 2 3 4 5 2 若a 0 则f x e2x 所以f x 0 若a 0 则由 1 得 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为f lna a2lna 从而当且仅当 a2lna 0 即a 1时 f x 0 1 2 3 4 5 1 当a 2时 求曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程 2 设函数g x f x x a cosx sinx 讨论g x 的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 解 1 由题意f x x2 ax 所以当a 2时 f 3 0 f x x2 2x 所以f 3 3 因此曲线y f x 在点 3 f 3 处的切线方程是y 3 x 3 即3x y 9 0 2 因为g x f x x a cosx sinx 所以g x f x cosx x a sinx cosx x x a x a sinx x a x sinx 令h x x sinx 则h x 1 cosx 0 所以h x 在R上单调递增 因为h 0 0 所以当x 0时 h x 0 当x 0时 h x 0 1 2 3 4 5 当a0 g x 单调递增 当x a 0 时 x a 0 g x 0 g x 0 g x 单调递增 当x 0时g x 取到极小值 极小值是g 0 a 当a 0时 g x x x sinx 当x 时 g x 0 g x 单调递增 所以g x 在 上单调递增 g x 无极大值也无极小值 1 2 3 4 5 当a 0时 g x x a x sinx 当x 0 时 x a0 g x 单调递增 当x 0 a 时 x a0 g x 0 g x 单调递增 所以当x 0时g x 取到极大值 极大值是g 0 a 极小值是g 0 a 当a 0时 函数g x 在 上单调递增 无极值 当a 0时 函数g x 在 0 和 a 上单调递增 在 0 a 上单调递减 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 4 2016全国 20 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为2x y 2 0 2 当x 1 时 1 2 3 4 5 当a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 单调递增 因此g x 0 当a 2时 令g x 0得 由x2 1和x1x2 1得x1 1 故当x 1 x2 时 g x 0 g x 在 1 x2 单调递减 因此g x 0 综上 a的取值范围是 2 1 2 3 4 5 新题演练提能 刷高分 令f x 0得x e x 0 e f x 0 f x 单调递增 x e f x 0 f x 单调递减 f x 的极大值点为x e 无极小值点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当x 0 1 2 时 f x 0 f x 单调递增 当x 1 2 时 f x 0 f x 单调递减 1 2 3 4 5 设h x 2x2 2 a x 2 函数g x 在 0 1 1 内有两个极值点x1 x2 方程h x 2x2 2 a x 2 0在 0 1 1 上有两个不相等的实根x1 x2 且1不能是方程的根 2 a 2 16 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 解 由题可得f x ex x a 设g x f x ex x a 则g x ex 1 所以当x 0时g x 0 f x 在 0 上单调递增 当x 1 所以1 a 0 即f x 0 所以函数f x 在R上单调递增 1 2 3 4 5 2 证明 由 1 知f x 在 1 上单调递增 因为a 1 e 所以f 1 e 1 a 0 所以存在t 1 使得f t 0 即et t a 0 即a t et 所以函数f x 在 1 t 上单调递减 在 t 上单调递增 所以当x 1 时 1 2 3 4 5 4 2018安徽合肥第二次质检 已知函数f x x 1 ex ax2 e是自然对数的底数 1 判断函数f x 极值点的个数 并说明理由 2 若 x R f x ex x3 x 求a的取值范围 解 1 f x x 1 ex ax2 f x xex 2ax x ex 2a 当a 0时 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 f x 有1个极值点 1 2 3 4 5 f x 有2个极值点 1 2 3 4 5 2 由f x ex x3 x 得xex x3 ax2 x 0 设h x ex x 1 则h x ex 1 x 0 h x 0 h x 在 0 上单调递增 h x h 0 0 即ex x 1 g x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 g x g 1 e 2 a e 2 当x 0时 不等式 恒成立 a R 1 2 3 4 5 当x1 则有h 0 1 ah 0 0 舍去 a 1 综上可得 a的取值范围是 e 2 1 2 3 4 5 5 2018山东青岛一模 已知函数f x aex a x ex a 0 e 2 718 e为自然对数的底数 若f x 0对于x R恒成立 1 求实数a的值 答案 1 解 由f x ex aex a x 0可得 g x aex a x 0 因为g 0 0 所以g x g 0 从而x 0是g x 的一个极小值点 由于g x aex 1 所以g 0 a 1 0 a 1 当a 1时 g x ex 1 x g x ex 1 x 0 g x 0 g x 在 0 上单调递增 g x g 0 0 故a 1 1 2 3 4 5 2 证明 当a 1时 f x ex 1 x ex f x ex 2ex x 2 令h x 2ex x 2 则h x 2ex 1 x ln2 h x 0 h x 在 ln2 上为增函数 由于h 1 0 所以在 2 1 上存在x x0满足h x0 0 h x 在 ln2 上为减函数 x x0 时 h x 0 即f x 0 f x 在 x0 上为增函数 x x0 ln2 时 h x 0 即f x 0 f x 在 0 上为增函数 因此f x 在 ln2 上只有一个极小值点0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 利用导数研究函数的零点或方程的根高考真题体验 对方向1 2016全国 21 已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 1 2 3 4 5 故当x ln 2a 1 时 f x 0 当x ln 2a 1 时 f x 0 所以f x 在 ln 2a 1 单调递增 在 ln 2a 1 单调递减 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 单调递增 在 1 ln 2a 单调递减 1 2 3 4 5 2 设a 0 则由 1 知 f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 又当x 1时f x 0 故f x 不存在两个零点 综上 a的取值范围为 0 1 2 3 4 5 2 2015全国 21 设函数f x e2x alnx 1 讨论f x 的导函数f x 零点的个数 1 2 3 4 5 2 证明 由 1 可设f x 在 0 的唯一零点为x0 当x 0 x0 时 f x 0 故f x 在 0 x0 单调递减 在 x0 单调递增 所以当x x0时 f x 取得最小值 最小值为f x0 1 2 3 4 5 新题演练提能 刷高分 1 讨论函数f x 的单调性 2 若函数f x 有最小值 记为g a 关于a的方程g a a 1 m有三个不同的实数根 求实数m的取值范围 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 只要讨论h x 的零点即可 1 2 3 4 5 h x ex x a 1 h a 1 0 当x a 1 时 h x 0 h x 是增函数 所以h x 在区间 a 的最小值为h a 1 1 ea 1 显然 当a 1时 h a 1 0 所以x a 1是F x 的唯一的零点 当a0 所以F x 没有零点 当a 1时 h a 1 1 ea 1 0 所以F x 有两个零点 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2018山东济南一模 已知函数f x alnx x2 2a 1 x a R 有两个不同的零点 1 求a的取值范围 2 设x1 x2是f x 的两个零点 证明 x1 x2 2a 1 解法一 函数f x 的定义域为 0 当a 0时 易得f x 0时 令f x 0 得x a 则 1 2 3 4 5 f x max f x 极大值 f a a lna a 1 g 1 0 当x1时 g x 0 因此 当01时 f x max a g a 0 1 2 3 4 5 h x 在 1 上单调递减 则h 3a 1 h 2 ln2 2 0 f 3a 1 a h 3a 1 0 f x 在区间 a 3a 1 上有一个零点 那么f x 恰有两个零点 综上所述 当f x 有两个不同零点时 a的取值范围是 1 当a 0时 易得f x 0时 令f x 0 得x a 则 1 2 3 4 5 f x max f x 极大值 f a a lna a 1 要使函数f x 有两个零点 则必有f a a lna a 1 0 即lna a 1 0 1 2 3 4 5 h x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 h x h 1 10 f 4a 0 f x 在区间 a 4a 上有一个零点 那么此时f x 恰有两个零点 综上所述 当f x 有两个不同零点时 a的取值范围是 1 1 2 3 4 5 2 证法一由 1 可知 f x 有两个不同零点 a 1 且当x 0 a 时 f x 是增函数 当x a 时 f x 是减函数 不妨设x1 x2 则0 x1 a x2 设F x f x f 2a x x 0 2a 当x 0 a 时 F x 0 F x 单调递增 F a 0 F x 2a x1 x1 x2 2a 1 2 3 4 5 证法二由 1 可知 f x 有两个不同的零点 a 1 且当x 0 a 时 f x 是增函数 当x a 时 f x 是减函数 不妨设x1 x2 则0 x1 a x2 设F x f a x f a x x 0 a 当x 0 a 时 F x 0 F x 单调递增 F 0 0 F x 0 f a x f a x a x1 0 a f x1 f x2 f a a x1 2a x1 x1 x2 2a 1 2 3 4 5 4 2018广东深圳第二次调研 设函数f x ex 1 alnx 其中e为自然对数的底数 1 若a 1 求f x 的单调区间 2 若0 a e 求证 f x 无零点 1 解 若a 1 则f x ex 1 lnx x 0 令t x xex 1 1 x 0 则t x x 1 ex 1 x 0 当x 0时 t x 0 即t x 单调递增 又t 1 0 当x 0 1 时 t x 0 f x 0 f x 单调递增 f x 的单调递减区间为 0 1 单调递增区间为 1 1 2 3 4 5 当a 0时 f x ex 1 显然f x 没有零点 当00 当x 0 x0 时 f x 0 f x 单调递增 1 2 3 4 5 lnx0 x0 1 1 即lnx0 2 x0 1 2 3 4 5 证法二当a 0时 f x ex 1 0显然成立 当00显然成立 当x 1时 易证 0ex 1 e x 1 0 此处可构造函数 也可利用ex ex进行放缩 综上 f x 0恒成立 f x 没有零点 1 2 3 4 5 f x0 a alna 令h x x xlnx 00 h x 单调递增 当x 1 e 时 h x 0 又h e 0 当x 0 e 时 h x 0恒成立 当且仅当x e时取等号 1 2 3 4 5 00 f x 0恒成立 综上所述 函数f x 无零点 1 2 3 4 5 导数与不等式高考真题体验 对方向1 2017全国 21 已知函数f x lnx ax2 2a 1 x 1 讨论f x 的单调性 1 2 3 4 5 当x 0 1 时 g x 0 当x 1 时 g x 0时 g x 0 1 2 3 4 5 2 2016全国 21 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 3 设c 1 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 令f x 0解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 1 2 3 4 5 2 证明 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 3 证明 由题设c 1 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 又g 0 g 1 0 故当00 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 1 2 3 4 5 新题演练提能 刷高分 1 证明 f x 在 0 1 上单调递减 2 若01 所以00 h x 单调递增 又h 1 0 所以h x 0 即f x 0 所以f x 在 0 1 上单调递减 1 2 3 4 5 令t x ax xlna 1 00 所以t x 在 0 1 上单调递增 即t x t 0 0 所以ax xlna 1 所以g x ax xa xa xlna 1 x xa 1 lna 1 x 1 lna 1 1 综上 g x 1 1 2 3 4 5 2 2018山西太原二模 已知函数f x mlnx e x m 0 1 若函数f x 是单调函数 求实数m的取值范围 1 解 函数f x 的定义域为 0 f x mlnx e x 函数f x 是单调函数 f x 0在 0 上恒成立或f x 0在 0 上恒成立 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2018河南郑州第二次质量检测 已知函数f x ex x2 1 求曲线f x 在x 1处的切线方程 1 解 f x ex 2x 由题设得f 1 e 2 f 1 e 1 f x 在x 1处的切线方程为y e 2 x 1 2 证明 f x ex 2x f x ex 2 f x 在 0 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以f x f ln2 2 2ln2 0 所以f x 在 0 1 上单调递增 所以f x max f 1 e 1 x 0 1 f x 过点 1 e 1 且y f x 在x 1处的切线方程为y e 2 x 1 故可猜测 当x 0 x 1时 f x 的图象恒在切线y e 2 x 1的上方 1 2 3 4 5 下面证明 当x 0时 f x e 2 x 1 设g x f x e 2 x 1 x 0 则g x ex 2x e 2 g x ex 2 g x 在 0 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 又g 0 3 e 0 g 1 0 00 当x x0 1 时 g x 0 故g x 在 0 x0 上单调递增 在 x0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 又g 0 g 1 0 所以g x ex x2 e 2 x 1 0 当且仅当x 1时取等号 1 2 3 4 5 4 2018河北石家庄一模 已知函数f x x b ex a b 0 在 1 f 1 处的切线方程为 e 1 x ey e 1 0 1 求a b 2 若m 0 证明 f x mx2 x 1 解 由题意f 1 0 1 2 3 4 5 2 证明 法一 由 1 可知f x x 1 ex 1 f 0 0 f 1 0 由m 0 可得x mx2 x 令g x x 1 ex 1 x g x x 2 ex 2 当x 2时 g x x 2 ex 2 2时 设h x g x x 2 ex 2 h x x 3 ex 0 故函数g x 在 2 上单调递增 又g 0 0 所以当x 0 时 g x 0 所以函数g x 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增 故g x g 0 0 x 1 ex 1 x mx2 x 故f x mx2 x 1 2 3 4 5 法二 2 由 1 可知f x x 1 ex 1 f 0 0 f 1 0 由m 0 可得x mx2 x 令g x x 1 ex 1 x g x x 2 ex 2 令t x g x t x x 3 ex 当x 3时 t x 0 g x 单调递增 且g 0 0 所以g x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 且g x 0 故g x g 0 0 x 1 ex 1 x mx2 x 故f x mx2 x 1 2 3 4 5 恒成立与存在性问题高考真题体验 对方向 2017天津 19 设a b R a 1 已知函数f x x3 6x2 3a a 4 x b g x exf x 1 求f x 的单调区间 2 已知函数y g x 和y ex的图象在公共点 x0 y0 处有相同的切线 求证 f x 在x x0处的导数等于0 若关于x的不等式g x ex在区间 x0 1 x0 1 上恒成立 求b的取值范围 1 2 3 4 5 1 解 由f x x3 6x2 3a a 4 x b 可得f x 3x2 12x 3a a 4 3 x a x 4 a 令f x 0 解得x a或x 4 a 由 a 1 得a 4 a 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递增区间为 a 4 a 单调递减区间为 a 4 a 1 2 3 4 5 2 证明 因为g x ex f x f x 所以 f x 在x x0处的导数等于0 解 因为g x ex x x0 1 x0 1 由ex 0 可得f x 1 又因为f x0 1 f x0 0 故x0为f x 的极大值点 由 1 知x0 a 1 2 3 4 5 另一方面 由于 a 1 故a 1 4 a 由 1 知f x 在 a 1 a 内单调递增 在 a a 1 内单调递减 故当x0 a时 f x f a 1在 a 1 a 1 上恒成立 从而g x ex在 x0 1 x0 1 上恒成立 由f a a3 6a2 3a a 4 a b 1 得b 2a3 6a2 1 1 a 1 令t x 2x3 6x2 1 x 1 1 所以t x 6x2 12x 令t x 0 解得x 2 舍去 或x 0 因为t 1 7 t 1 3 t 0 1 因此 t x 的值域为 7 1 所以 b的取值范围是 7 1 1 2 3 4 5 新题演练提能 刷高分1 2018江西南昌一模 已知函数f x ln ax bx在点 1 f 1 处的切线方程是y 0 1 求函数f x 的极值 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 2018河北唐山一模 已知函数f x ex 1 g x lnx a 1 设F x xf x 求F x 的最小值 2 证明 当a 1时 F x 0 F x 单调递增 2 证明 因为f x ex 1 所以f x ex 1在点 t et 1 处的切线方程为y et 1x 1 t et 1 1 2 3 4 5 令h t t 1 et 1 t a 则h t tet 1 1 由 1 得t 1时 h t 单调递增 又h 1 0 t1时 h t 0 h t 单调递增 h 1 a 1 0 所以函数y h t 在 a 1 1 和 1 3 a 内各有一个零点 故当a 1时 存在两条直线与曲线f x 与g x 都相切 1 2 3 4 5 1 确定函数f x 在定义域上的单调性 2 若f x kex在 1 上恒成立 求实数k的取值范围 在 1 上 g x 0 g x 单调递减 又g 1 0 所以g x 0在定义域上恒成立 即f x 0在定义域上恒成立 所以f x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 h x0 0 所以在 1 x0 上h x 0 在 x0 上h x 0在 1 x0 上恒成立 所以h x 0在 1 上恒成立不可能 1 2 3 4 5 4 2018山东潍坊一模 已知函数f x x2 alnx 1 若a 2 判断f x 在 1 上的单调性 2 求函数f x 在 1 e 上的最小值 由于x 1 故f x 0 f x 在 1 单调递增 1 2 3 4 5 x 1 x0 f x 0 f x 单调递减 x x0 e f x 0 f x 单调递增 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 又设h x ex x h x ex 1 0 h x 在 0 单调递增 故h x h 0 1 0 即ex x 0 所以当x 0 2 时 g x 0 g x 单调递减 1 2 3 4 5