2019年高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 2.4.3 导数与函数的零点及参数范围课件 文.ppt

2 4 3导数与函数的零点及参数范围 解题策略一 解题策略二 判断 证明或讨论函数零点个数解题策略一应用单调性 零点存在性定理 数形结合判断例1设函数f x e2x alnx 1 讨论f x 的导函数f x 零点的个数 2 证明当a 0时 f x 2a aln 难点突破 1 讨论f x 零点的个数要依据f x 的单调性 应用零点存在性定理进行判断 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题心得研究函数零点或方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况 解题策略一 解题策略二 对点训练1已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 2 证明当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 1 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 由题设得 2 所以a 1 解题策略一 解题策略二 2 证明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 单调递减 在 2 单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 没有实根 综上 g x 0在R有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 解题策略一 解题策略二 解题策略二分类讨论法例2已知函数f x x3 ax g x lnx 1 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 2 用min m n 表示m n中的最小值 设函数h x min f x g x x 0 讨论h x 零点的个数 难点突破 1 设切点 x0 0 依题意f x0 0 f x0 0 得关于a x0的方程组解之 2 为确定出h x 对自变量x 0分类讨论 确定出h x 后对参数a分类讨论h x 零点的个数 h x 零点的个数的确定要依据h x 的单调性和零点存在性定理 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题心得1 如果函数中没有参数 一阶导数求出函数的极值点 判断极值点大于0小于0的情况 进而判断函数零点的个数 2 如果函数中含有参数 往往一阶导数的正负不好判断 这时先对参数进行分类 再判断导数的符号 如果分类也不好判断 那么需要对一阶导函数进行求导 在判断二阶导数的正负时 也可能需要分类 解题策略一 解题策略二 对点训练2已知函数f x alnx a 1 x a R 1 当a 1时 求函数f x 的最小值 2 当a 1时 讨论函数f x 的零点个数 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 当00 f x 为增函数 x a 1 时 f x 0 f x 为增函数 所以f x 在x a处取极大值 f x 在x 1处取极小值 当0 a 1时 f a 0 即在x 0 1 时 f x 0 而f x 在x 1 时为增函数 且x 时 f x 所以此时f x 有一个零点 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 已知零点个数求参数范围解题策略一最小值法例3已知函数f x ax x2 xlna a 0 a 1 1 当a 1时 求证 函数f x 在 0 内单调递增 2 若函数y f x t 1有三个零点 求t的值 难点突破 1 先求f x 的导函数f x 再证明f x 0 2 由题意当a 0 a 1时 f x 0有唯一解x 0 y f x t 1有三个零点 f x t 1有三个根 从而t 1 f x min f 0 1 解得t即可 解题策略一 解题策略二 1 证明f x axlna 2x lna 2x ax 1 lna 由于a 1 故当x 0 时 lna 0 ax 1 0 所以f x 0 故函数f x 在 0 上单调递增 2 解当a 0 a 1时 f x 2x ax 1 lna f x 2 ax lna 2 0 f x 在R上单调递增 因为f 0 0 故f x 0有唯一解x 0 所以x f x f x 的变化情况如表所示 又函数y f x t 1有三个零点 所以方程f x t 1有三个根 而t 1 t 1 所以t 1 f x min f 0 1 解得t 2 解题策略一 解题策略二 解题心得在已知函数y f x 有几个零点求f x 中参数t的值或范围问题 经常从f x 中分离出参数t g x 然后用求导的方法求出g x 的最值 再根据题意求出参数t的值或范围 解题策略一 解题策略二 对点训练3 2018广东珠海质检 函数f x axex lnx x a R 1 若a 0 试讨论函数f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题策略二分类讨论法 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题策略一 解题策略二 解题心得在已知函数零点个数的情况下 求参数的范围问题 通常采用分类讨论法 依据题目中的函数解析式的构成 将参数分类 在参数的小范围内研究函数零点的个数是否符合题意 将满足题意的参数的各个小范围并在一起 即为所求参数范围 解题策略一 解题策略二 对点训练4已知函数f x x 2 ex a x 1 2 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 1 f x x 1 ex 2a x 1 x 1 ex 2a 设a 0 则当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 单调递减 在 1 单调递增 解题策略一 解题策略二 设a 则ln 2a 0 当x ln 2a 1 时 f x 1 故当x 1 ln 2a 时 f x 0 当x 1 ln 2a 时 f x 0 所以f x 在 1 ln 2a 单调递增 在 1 ln 2a 单调递减 解题策略一 解题策略二 与函数零点有关的证明问题解题策略等价转换后构造函数证明例5设函数f x x2 alnx g x a 2 x 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数F x f x g x 有两个零点x1 x2 求满足条件的最小正整数a的值 解题心得证明与零点有关的不等式 函数的零点本身就是一个条件 即零点对应的函数值为0 证明的思路一般对条件等价转化 构造合适的新函数 利用导数知识探讨该函数的性质 如单调性 极值情况等 再结合函数图象来解决 1 a 0即a 1时 x 0 时 h x 0 h x 在 0 递增 a 1 0即a 1时 x 0 1 a 时 h x 0 h x 在 0 1 a 递减 在 1 a 递增 综上 a 1时 h x 在 0 1 a 递减 在 1 a 递增 a 1时 h x 在 0 递增