2019届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题6鸭2.6.1坐标系与参数方程课件.ppt

第1课时坐标系与参数方程 热点考向一极坐标方程及其应用考向剖析 本考向考查形式为解答题 主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化 极坐标方程的应用 考查抽象概括能力和运算求解能力 为中档题 分值为10分 2019年的高考仍将以解答题形式出现 主要考查求极坐标方程及其应用 特别是与极径几何意义有关的问题 典例1 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C1 cos 3 曲线C2 4cos 1 求C1与C2交点的极坐标 2 设点Q在C2上 求动点P的极坐标方程 审题导引 1 看到求C1与C2交点的极坐标 联想到解 2 看到联想到 相等 方程组 对应坐标 解析 1 联立因为0 所以所求交点的极坐标为 2 设P Q 0 0 且 0 4cos 0 0 由已知所以 4cos 点P的极坐标方程为 10cos 名师点睛 1 极径的几何意义及其应用 1 几何意义 极径 表示极坐标平面内点M到极点O的距离 2 应用 一般应用于过极点的直线与曲线相交 所得的弦长问题 需要用极径表示出弦长 结合根与系数的关系解题 2 极坐标化直角坐标的常用技巧 1 通常要用 去乘方程的两边 使之出现 2 cos sin 的形式 2 含关于tan 的方程用公式tan 提醒 1 根据题目的需要可规定 R 此时 与 关于极点对称 2 极坐标方程与直角坐标方程互化时 要注意变形的等价性 考向精炼 在直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 为参数 直线C2的方程为y x 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线C1和直线C2的极坐标方程 2 若直线C2与曲线C1交于A B两点 求 解析 1 曲线C1的普通方程为 x 2 2 y 2 2 1 则C1的极坐标方程为 2 4 cos 4 sin 7 0 由于直线C2过原点 且倾斜角为 故其极坐标为 R 或tan 2 由得 2 2 2 7 0 故 1 2 2 2 1 2 7 所以 易错警示 解答本题容易忽视以下两点 1 根据图象直观判断直线C2的方程 极坐标方程是 2 忽视极径的几何意义 1 OA 2 OB 加练备选 1 2018 吉林梅河口五中一模 已知圆O x2 y2 4 将圆O上每一点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的 得到曲线C 1 写出曲线C的参数方程 2 设直线l x 2y 2 0与曲线C相交于A B两点 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 直线m过线段AB的中点 且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍 求直线m的极坐标方程 解析 1 设曲线C上任意一点P x y 则点Q x 2y 在圆O上 所以x2 2y 2 4 即 y2 1 所以曲线C的参数方程是 为参数 2 解得 A 2 0 B 0 1 所以线段AB的中点N的坐标为设直线l的倾斜角为 则tan 所以直线m的方程为y x 1 即8x 6y 11 0 所以直线m的极坐标方程为8 cos 6 sin 11 0 2 2018 合肥三模 在平面直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 t为参数 圆C的方程为 x 2 2 y 1 2 5 以原点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 1 求直线l及圆C的极坐标方程 2 若直线l与圆C交于A B两点 求cos AOB的值 解析 1 由直线l的参数方程得 其普通方程为y x 2 所以直线l的极坐标方程为 sin cos 2 又因为圆C的方程为 x 2 2 y 1 2 5 将代入并化简得 4cos 2sin 所以圆C的极坐标方程为 4cos 2sin 2 将直线l sin cos 2 与圆C 4cos 2sin 联立 得 4cos 2sin sin cos 2 整理得sin cos 3cos2 所以 或tan 3 不妨记点A对应的极角为 点B对应的极角为 且tan 3 于是 cos AOB cos 3 在平面直角坐标系xOy中 抛物线C的方程为x2 4y 4 1 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 求C的极坐标方程 2 直线l的参数方程是 t为参数 l与C交于A B两点 AB 8 求l的斜率 解析 1 由x cos y sin 可得抛物线C的极坐标方程 2cos2 4 sin 4 0 2 在 1 中建立的极坐标系中 直线l的极坐标方程为 R 设A B所对应的极径分别为 1 2 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 2cos2 4 sin 4 0 因为cos2 0 否则 直线l与抛物线C没有两个公共点 于是 1 2 1 2 AB 1 2 由 AB 8得cos2 tan 1 所以l的斜率为1或 1 4 以平面直角坐标系的原点为极点 x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 两种坐标系中取相同的单位 已知圆C的参数方程为 为参数 直线l的极坐标方程为 点P在l上 1 过P向圆C作切线 切点为F 求 PF 的最小值 2 射线OP交圆C于R 点Q在OP上 且满足 OP 2 OQ OR 求Q点轨迹的极坐标方程 解析 1 圆C的参数方程为 为参数 可得圆C的普通方程为x2 y2 4 直线l的极坐标方程为 即有 sin cos 4 即直线l的直角坐标方程为x y 4 0 由 PO 2 PF 2 OF 2 由P到圆心O 0 0 的距离d最小时 PF 取得最小值 由点到直线的距离公式可得dmin 可得 PF 最小值为 2 设P Q R的极坐标分别为 1 2 由 1 2 2 又 OP 2 OQ OR 可得 2 即有 即Q点轨迹的极坐标方程为 热点考向二参数方程及其应用考向剖析 本考向考查形式为解答题 主要考查直线 圆 椭圆的参数方程及其应用 考查抽象概括能力和运算求解能力 为中档题 分值为10分 2019年的高考仍将以解答题形式出现 主要考查参数方程与普通方程的互化 直线参数方程中参数几何意义的应用 典例2 2018 全国卷 在平面直角坐标系xOy中 O的参数方程为 为参数 过点且倾斜角为 的直线l与 O交于A B两点 1 求 的取值范围 2 求AB中点P的轨迹的参数方程 审题导引 1 看到求 的取值范围 联想到根据l与 O相交求 的取值范围 2 看到求线段AB中点P的轨迹的参数方程 联想到点P对应的 代入直线l的 方程 斜率 参数 参数 解析 1 O的直角坐标方程为x2 y2 1 当 时 l与 O交于两点 当 时 记tan k 则l的方程为y kx l与 O交于两点当且仅当1 即 或 综上 的取值范围是 2 l的参数方程为 t为参数 设A B P对应的参数分别为tA tB tP 则tP 且tA tB满足t2 2tsin 1 0 于是tA tB 2sin tP sin 又点P的坐标 x y 满足所以点P的轨迹的参数方程是 为参数 名师点睛 1 参数方程化为普通方程消去参数的方法 1 代入消参法 将参数解出来代入另一个方程消去参数 直线的参数方程通常用代入消参法 2 三角恒等式法 利用sin2 cos2 1消去参数 圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法 3 常见消参数的关系式 2 关于直线参数方程中参数t的几何意义及应用 1 几何意义 参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离 若t 0 则的方向向上 若t 0 则的方向向下 若t 0 则点M与M0重合 2 应用 一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A B两点 与弦长 AB 及其相关的问题 解决的方法是首先用t表示出弦长 再结合根与系数的关系构造方程 函数式等解决问题 考向精炼 在平面直角坐标系xOy中 曲线C1过点P a 1 其参数方程为 t为参数 a R 以坐标原点为极点 以x轴正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线C2的极坐标方程为 cos2 2cos 0 1 写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程 2 已知曲线C1和曲线C2交于A B两点 P在A B之间 且 PA 2 PB 求实数a的值 解析 1 C1的参数方程消参得普通方程为x y a 1 0 C2的极坐标方程为 cos2 2cos 0 两边同乘 得 2cos2 2 cos 2 0 即y2 2x 2 将曲线C1的参数方程代入曲线C2 y2 2x得t2 2t 1 2a 0 设A B对应的参数为t1 t2 由题意得 t1 2 t2 且P在A B之间 则t1 2t2 由题意得解得a 加练备选 1 2018 湖北八校第二次联考 在直角坐标系xOy中 直线l的参数方程为 为参数 0 0 以坐标原点为极点 以x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 圆C的极坐标方程为 1 在直角坐标系xOy中 求圆C的圆心的直角坐标 2 设点P 1 若直线l与圆C交于A B两点 求证 PA PB 为定值 并求出该定值 解析 1 圆C x2 y2 4x 4y 0 圆心坐标C 2 2 2 将代入C x2 y2 4x 4y 0 所以t2 2sin 2cos t 12 0 设点A B所对应的参数为t1 t2 则t1t2 12 所以 PA PB t1t2 12 2 2017 衡水一模 已知直线l的参数方程为 t为参数 圆C的参数方程为 为参数 1 若直线l与圆C的相交弦长不小于 求实数m的取值范围 2 若点A的坐标为 2 0 动点P在圆C上 试求线段PA的中点Q的轨迹方程 解析 1 直线l的参数方程为 t为参数 普通方程为y mx 圆C的参数方程为 为参数 普通方程为x2 y 1 2 1 圆心到直线l的距离d 相交弦长 所以所以m 1或m 1 2 设P cos 1 sin Q x y 则x cos 2 y 1 sin 消去 整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程 x 1 2 3 2017 惠州一模 已知曲线C的极坐标方程是 4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 t是参数 1 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程 2 若直线l与曲线C相交于A B两点 且 AB 求直线l的倾斜角 的值 解析 1 因为 cos x sin y 2 x2 y2 所以曲线C的极坐标方程 4cos 可化为 2 4 cos 所以x2 y2 4x 所以 x 2 2 y2 4 2 将代入圆的方程 x 2 2 y2 4得 tcos 1 2 tsin 2 4 化简得t2 2tcos 3 0 设A B两点对应的参数分别为t1 t2 则 所以 AB t1 t2 因为 AB 所以所以cos 因为 0 所以 或 所以直线的倾斜角 或 热点考向三极坐标与参数方程的综合应用高频考向 类型一极径和参数几何意义的灵活应用 典例3 在平面直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 为参数 A B在曲线C上 以坐标原点O为极点 x轴的正半轴为极轴的极坐标系中 A B两点的极坐标为 1 求曲线C的极坐标方程 2 设曲线C的中心为M 求 MAB的面积 大题小做 解析 1 由消去 得 x 3 2 y 4 2 25 即x2 y2 6x 8y 0 将x cos y sin 代入得曲线C的极坐标方程为 2 6 cos 8 sin 0 即 6cos 8sin 0 2 将代入 1 所得的极坐标方程 得 1 4 3 2 8 所以 AB 曲线C的中心M到弦AB的距离为d 所以S MAB 类型二求最值或取值范围问题 典例4 2018 信阳二模 已知直线l的参数方程为 其中t为参数 曲线C1 2cos2 3 2sin2 3 0 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴 建立极坐标系 两种坐标系中取相同长度单位 1 求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程 2 在曲线C1上是否存在一点P 使点P到直线l的距离最大 若存在 求出距离的最大值及点P的直角坐标 若不存在 请说明理由 审题导引 1 要求直线l的普通方程需要用加减消去参数t 要求曲线C1的直角坐标方程需要根据 进行转化 2 要求点P到直线l的距离最大 需要借助曲线C1的 方程 转化为三角函数的最值问题 x cos y sin 参数 解析 1 直线l的普通方程为x y 1 0 曲线C1的直角坐标方程为 y2 1 2 由 1 可知C1 其中 为参数 所以点P到直线l的距离d 所以dmax 此时cos 1 即 2k k Z 即 2k k Z 所以xP cos yP sin 即P 故存在这样的点P 使点P到直线l的距离最大且为 探究追问 1 若将例4直线l的方程改为 曲线C1的方程改为 2cos2 4 2sin2 4 0 其他条件不变 试求点P到直线l的距离的最大值 解析 将曲线C1的极坐标方程 2cos2 4 2sin2 4 0化为普通方程为 y2 1 化为参数方程为 为参数 直线l的普通方程为x y 1 0 设P到直线l的距离为d d 所以P到直线l的距离的最大值为 2 若将例4曲线C1的方程改为 2cos2 3 2sin2 9 0 曲线C2的极坐标方程是 2cos P Q分别是曲线C1和C2上的任意点 求 PQ 的最小值 解析 曲线C1的直角坐标方程为 1 参数方程是 为参数 曲线C2的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 曲线C2中 因为 2cos 所以 2 2 cos 所以x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 设C1上任意点P所以P到C2圆心 1 0 的距离所以 PQ min 1 名师点睛 1 巧解与三角形知识的综合问题 1 数形结合明确极径和极角的几何意义 并表示三角形的有关元素 2 利用正弦 余弦定理找到变量 的关系 2 三角换元求最值问题 1 适用情景涉及直线与圆 直线与椭圆位置关系的最值问题 2 两种方法 三角换元转化为三角函数求最值问题 转化为普通方程或直角坐标方程 利用直线与圆 椭圆的知识直接解答 考向精炼 1 2018 宜宾二模 在平面直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 为参数 以平面直角坐标系的原点O为极点 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 直线C2的极坐标方程为 sin 1 求曲线C1的极坐标方程 2 设C1和C2的交点为A B 求 AOB的面积 解析 1 曲线C1的参数方程为 为参数 消去参数的C1的直角坐标方程为x2 4x y2 0 所以C1的极坐标方程为 4cos 2 解方程组有4sin cos 得sin2 所以 2k k Z 或 2k k Z 当 2k k Z 时 2 当 2k k Z 时 2 所以C1和C2交点的极坐标所以S AOB AO BO sin AOB 2 2sin 故 AOB的面积为 2 在直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 其中 为参数 曲线C2 1 以原点O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 世纪金榜导学号 1 求曲线C1 C2的极坐标方程 2 射线l 0 与曲线C1 C2分别交于点A B 且A B均异于原点O 当0 时 求 OB 2 OA 2的最小值 解析 1 曲线C1的普通方程为 x 1 2 y2 1 C1的极坐标方程为 2cos C2的极坐标方程为 1 2cos2 2 2sin2 8 2 1 sin2 8 即 2 2 联立 0 与C1的极坐标方程得 OA 2 4cos2 联立 0 与C2的极坐标方程得 OB 2 则 OB 2 OA 2 4cos2 4 1 sin2 4 1 sin2 8 当且仅当sin 时取等号 所以 OB 2 OA 2的最小值为8 8 加练备选 1 2018 沈阳二中一模 在平面直角坐标系xOy中 已知曲线C的参数方程为 t 0 为参数 以坐标原点O为极点 x轴的正半轴为极轴 取相同的长度单位建立极坐标系 直线l的极坐标方程为 1 当t 1时 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值 2 若曲线C上的所有点都在直线l的下方 求实数t的取值范围 解析 1 直线l的直角坐标方程为x y 3 0 曲线C x2 y2 1 所以曲线C为圆 且圆心O到直线l的距离d 所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1 2 因为曲线C上的所有点均在直线l的下方 所以对 R 有tcos sin 30 所以解得0 t 2 所以实数t的取值范围为 0 2 2 2018 银川一模 在直角坐标系xOy中 曲线C1的参数方程为 为参数 曲线C2的参数方程为 为参数 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 1 求曲线C1和曲线C2的极坐标方程 2 已知射线l1 将射线l1顺时针旋转得到射线l2 且射线l1与曲线C1交于O P两点 射线l2与曲线C2交于O Q两点 求 OP OQ 的最大值 解析 1 曲线C1的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 所以C1的极坐标方程为 4cos 曲线C2的直角坐标方程为x2 y 2 2 4 所以C2的极坐标方程为 4sin 2 设点P的极坐标为 1 即 1 4cos 点Q的极坐标为即 2 4sin 则 OP OQ 1 2 4cos 4sin 16cos 8sin 4 因为 所以2 当2 即 时 OP OQ 取最大值4 3 2017 全国卷 在直角坐标系xOy中 以坐标原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线C1的极坐标方程为 cos 4 1 M为曲线C1上的动点 点P在线段OM上 且满足 OM OP 16 求点P的轨迹C2的直角坐标方程 2 设点A的极坐标为 点B在曲线C2上 求 OAB面积的最大值 解析 1 设P的极坐标为 0 M的极坐标为 0 0 0 由题设知 OP OM 0 由 OM OP 16得C2的极坐标方程 4cos 0 因此C2的直角坐标方程为 x 2 2 y2 4 x 0 2 设点B的极坐标为 B B 0 由题设知 OA 2 B 4cos 于是 OAB的面积S OA B sin AOB 4cos 当 时 S取得最大值2 所以 OAB面积的最大值为2