2019届高考数学二轮复习 第一篇 思想、方法与技巧 1.4 转化与化归思想课件.ppt

第四讲转化与化归思想 微题型一特殊与一般的转化 典例1 1 设四边形ABCD为平行四边形 若点M N满足 A 20B 15C 9D 6 2 已知数列 xn 满足xn 3 xn xn 2 xn 1 xn n N 若x1 1 x2 a a 1 a 0 则数列 xn 的前2019项和S2019 思路点拨 解析 1 选C 方法一 特例法 若四边形ABCD为矩形 建系如图 知M 6 3 N 4 4 所以 6 3 2 1 6 2 3 1 9 方法二 常规法 如图所示 由题设知 2 根据题意 可得x3 x2 x1 a 1 1 a a 1 a 0 则x1 x2 x3 2 又因为xn 3 xn 所以x4 x1 x5 x2 x6 x3 即x4 x5 x6 x1 x2 x3 2 同理 x7 x8 x9 2 x10 x11 x12 2 而2019 673 3 则S2019 2 673 1346 答案 1346 方法点睛 化一般为特殊的应用 1 常用的特例有特殊数值 特殊数列 特殊函数 特殊图形 特殊角 特殊位置等 2 对于选择题 当题设在普通条件下都成立时 用特殊值进行探求 可快捷得到答案 3 对于填空题 当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时 可以把题中变化的量用特殊值代替 即可得到答案 跟踪训练 1 2018 沈阳二模 在 ABC中 点M N满足则x y 解析 不妨设AC AB 且AB 4 AC 3 以点A为坐标原点 AB AC所在直线分别为x轴 y轴建立平面直角坐标系 如图 则A 0 0 B 4 0 C 0 3 M 0 2 所以可得 x 4 0 y 0 3 4x 3y 则有答案 微题型二函数 方程 不等式之间的转化 典例2 1 在等差数列 an 中 a2 a2018是函数f x x3 6x2 4x 1的两个不同的极值点 则的值为 2 已知函数f x 3e x 若存在实数t 1 使得对任意的x 1 m m Z且m 1 都有f x t 3ex 则m的最大值为 世纪金榜导学号 思路点拨 解析 1 选B f x 3x2 12x 4 因为a2 a2018是函数f x x3 6x2 4x 1的两个不同的极值点 所以a2 a2018是方程3x2 12x 4 0的两个不等实数根 所以a2 a2018 4 又因为数列 an 为等差数列 所以a2 a2018 2a1010 即a1010 2 从而 2 因为当t 1 且x 1 m 时 x t 0 所以f x t 3ex ex t ex t 1 lnx x 所以原命题等价转化为 存在实数t 1 使得不等式t 1 lnx x对任意x 1 m 恒成立 令h x 1 lnx x x 1 因为h x 1 0 所以函数h x 在 1 上为减函数 又因为x 1 m 所以h x min h m 1 lnm m 所以要使得对任意x 1 m t值恒存在 只需1 lnm m 1 因为 且函数h x 在 1 上为减函数 所以满足条件的最大整数m的值为3 答案 3 方法点睛 函数 方程与不等式相互转化的应用 1 函数与方程 不等式联系密切 解决方程 不等式的问题需要函数帮助 2 解决函数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助函数与方程 不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简 一般可将不等关系转化为最值 值域 问题 从而求出参变量的范围 跟踪训练 2 2018 保定一模 已知e为自然对数的底数 若对任意总存在唯一的y 1 1 使得lnx x 1 a y2ey成立 则实数a的取值范围是 解析 选B 设f x lnx x 1 a 当时 f x f x 是增函数 所以时 设g y y2ey 则g y eyy y 2 则g y 在 1 0 上单调递减 在 0 1 上单调递增 且g 1 g 1 e 因为对任意的存在唯一的y 1 1 使得f x g y 成立 所以 微题型三正难则反的转化 典例3 1 2018 太原一模 由命题 存在x0 R 使 是假命题 得m的取值范围是 a 则实数a的取值是 A 1 B 2 C 1D 2 2 若对于任意t 1 2 函数在区间 t 3 上总不为单调函数 则实数m的取值范围是 思路点拨 解析 1 选C 命题 存在x0 R 使 是假命题 可知它的否定形式 任意x R 使e x 1 m 0 是真命题 可得m的取值范围是 1 而 a 与 1 为同一区间 故a 1 2 g x 3x2 m 4 x 2 若g x 在区间 t 3 上总为单调函数 则 g x 0在 t 3 上恒成立 或 g x 0在 t 3 上恒成立 正反转化 由 得3x2 m 4 x 2 0 即m 4 3x 当x t 3 时恒成立 所以m 4 3t恒成立 则m 4 1 即m 5 由 得3x2 m 4 x 2 0 即m 4 3x 当x t 3 时恒成立 则m 4 9 即m 所以函数g x 在区间 t 3 上总不为单调函数的m的取值范围为答案 方法点睛 正与反的转化要点正与反的转化 体现 正难则反 的原则 先从反面求解 再取反面答案的补集即可 一般地 题目若出现多种成立的情形 则不成立的情形相对很少 从反面考虑较简单 因此 间接法多用于含有 至多 至少 及否定性命题情形的问题中 跟踪训练 3 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间 1 1 内至少存在一个值c 使得f c 0 则实数p的取值范围为 世纪金榜导学号 解析 如果在区间 1 1 内没有值满足f c 0 则取补集为 3 p 即为满足条件的p的取值范围 故实数p的取值范围为答案 微题型四主与次的相互转化 典例4 1 若不等式x2 ax 1 0对一切x 2 2 恒成立 则a的取值范围 为 A 2 B 2 2 C 0 2 D 2 2 设y log2x 2 t 2 log2x t 1 若t 2 2 时恒取正值 则x的取值范围 是 思路点拨 解析 1 选B 因为x 2 2 当x 0时 原式为02 a 0 1 0恒成立 此时a R 当x 0 2 时 原不等式可化为当且仅当x 1时等号成立 所以a的取值范围是 2 当x 2 0 时 可得由函数的单调性可知 f x max f 1 2 所以a 2 综上可知 a的取值范围是 2 2 2 设y f t log2x 1 t log2x 2 2log2x 1 则f t 是一次函数 当t 2 2 时 f t 0恒成立 解得log2x3 即08 故x的取值范围是 8 答案 8 方法点睛 主与次的转化要点在处理多变元的数学问题时 我们可以选取其中的常数 或参数 将其看作是 主元 而把其他变元看作是常量 从而达到减少变元简化运算的目的 通常给出哪个 元 的取值范围就将哪个 元 视为 主元 跟踪训练 4 已知函数f x x3 3ax 1 g x f x ax 5 其中f x 是f x 的导函数 对满足 1 a 1的一切a的值 都有g x 0 则实数x的取值范围为 解析 由题意 知g x 3x2 ax 3a 5 令 a 3 x a 3x2 5 1 a 1 主次转化 对 1 a 1 恒有g x 0 即 a 0 故当时 对满足 1 a 1的一切a的值 都有g x 0 答案