2019届高考数学二轮复习 第一篇 思想、方法与技巧 1.1 函数与方程思想课件.ppt

第一篇思想方法技巧第一讲函数与方程思想 微题型一函数与方程思想在函数 方程 不等式中的应用 典例1 1 已知f x log2x x 2 16 对于函数f x 值域内的任意实数m 则使x2 mx 4 2m 4x 恒成立的实数x的取值范围为 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 2 直线y a分别与曲线y 2 x 1 y x lnx交于A B两点 则 AB 的最小值 为 A 3B 2C D 思路点拨 解析 1 选D 因为x 2 16 所以f x log2x 1 4 即m 1 4 不等式x2 mx 4 2m 4x恒成立 即为m x 2 x 2 2 0恒成立 设g m x 2 m x 2 2 则此函数在 1 4 上恒大于0 解得x2 2 选D 当y a时 2 x 1 a 所以 设方程x lnx a的根为t t 0 则t lnt a 则设令g t 0 得t 1 当t 0 1 时 g t 0 所以所以 AB 的最小值为 方法点睛 函数与方程思想在函数 方程 不等式中的应用技巧 1 求字母 式子 的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母 式子 为元的方程 组 然后由方程 组 求得 2 求参数的取值范围一般有两种途径 其一 充分挖掘题设条件中的不等关系 构建以待求字母为元的不等式 组 求解 其二 充分应用题设中的等量关系 将待求参数表示成其他变量的函数 然后应用函数知识求值域 3 在解决不等式问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 利用函数的图象和性质解决问题 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 一般地 已知存在范围的量为变量 而待求范围的量为参数 跟踪训练 1 已知函数g x x2 2bx 4 若对任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 则实数b的取值范围为 解析 对任意x1 0 2 x2 1 2 不等式f x1 g x2 恒成立 等价于f x min g x max 令f x 0得x2 4x 3 0 解得1 x 3 故函数f x 的单调递增区间是 1 3 单调递减区间是 0 1 和 3 故在区间 0 2 上 1是函数f x 的极小值点 这个极小值点是唯一的 故也是最小值点 所以f x min f 1 x 0 2 由于函数g x x2 2bx 4 x 1 2 当b2时 g x max g 2 4b 8 故问题等价于答案 微题型二函数与方程思想在三角函数 平面向量中的应用 典例2 1 若方程cos2x sinx a 0在上有解 则a的取值范围是 2 2018 秦皇岛一模 已知向量a 1 b 2 1 若 a b a b 则实数 的值为 A 1B 2C 1D 2 思路点拨 解析 1 方法一 把方程变形为a cos2x sinx 设f x cos2x sinx x 显然 当且仅当a属于f x 的值域时有解 因为f x 1 sin2x sinx 且由x 知sinx 0 1 易求得f x 的值域为 1 1 故a的取值范围是 1 1 方法二 令t sinx 由x 可得t 0 1 将方程变为t2 t 1 a 0 依题意 该方程在 0 1 上有解 设f t t2 t 1 a 其图象是开口向上的抛物线 对称轴 t 如图所示 因此 f t 0在 0 1 上有解等价于所以 1 a 1 故a的取值范围是 1 1 答案 1 1 2 选A 方法一 由 a b a b 可得a2 b2 2a b a2 b2 2a b 所以a b 0 故a b 1 2 1 2 2 1 0 解得 1 方法二 a b 2 2 2 a b 2 0 由 a b a b 可得 2 2 2 4 4 解得 1 方法点睛 函数与方程思想在三角函数 平面向量中的应用技巧 1 研究此类含参数的三角函数方程的问题 通常有两种处理思路 一是分离参数构建函数 将方程有解转化为求函数的值域 二是换元 将复杂方程问题转化熟悉的二次方程 进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决 2 平面向量中含函数 方程 的相关知识 对平面向量的模进行平方处理 把模问题转化为数量积问题 再利用函数与方程思想来分析与处理 这是解决此类问题的一种比较常见的思维方式 跟踪训练 2 如图 A是单位圆与x轴的交点 点P在单位圆上 AOP 0 四边形OAQP的面积为S 当取得最大值时 的值为 解析 选B 因为所以四边形OAQP是平行四边形 于是S 2S AOP 1 1 sin sin 因为所以 cos sin 故的最大值为 此时 微题型三函数与方程思想在数列问题中的应用 典例3 1 已知数列 an 满足a1 33 an 1 an 2n 则的最小值 为 2 2017 全国卷 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 等比数列 bn 的前n项和为Tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 若T3 21 求S3 思路点拨 解析 1 因为an 1 an 2n 所以当n 2时 an an 1 2 n 1 所以an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 2 2n 4 2 33 n2 n 33 n 2 又a1 33 1 1 33 故a1满足上式 所以an n2 n 33 n N 所以f x 在区间 0 上单调递减 在区间 上单调递增 又5 6 且f 5 5 1 所以当n 6时 有最小值 答案 2 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 由a3 b3 5得2d q2 6 联立 和 解得 因此 bn 的通项公式bn 2n 1 由b1 1 T3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则S3 21 当q 4时 由 得d 1 则S3 6 方法点睛 数列问题函数 方程 化法数列问题函数 方程 化法与形式结构函数 方程 化法类似 但要注意数列问题中n的取值范围为正整数 涉及的函数具有离散性特点 其一般解题步骤是 第一步 分析数列式子的结构特征 第二步 根据结构特征构造函数 方程 转化问题形式 第三步 研究函数性质 结合解决问题的需要研究函数 方程 的相关性质 主要涉及函数单调性与最值 值域问题的研究 第四步 回归问题 结合对函数 方程 相关性质的研究 回归问题 跟踪训练 3 已知数列 an 是各项均为正数的等差数列 a1 2 且a2 a3 a4 1成等比数列 1 求数列 an 的通项公式an 2 设数列 an 的前n项和为 若对任意的n N 不等式bn k恒成立 求实数k的最小值 解析 1 因为a1 2 a2 a4 1 又因为 an 是正项等差数列 故公差d 0 所以 2 2d 2 2 d 3 3d 列出方程 解得d 2或d 1 舍去 所以数列 an 的通项公式an 2n 2 由 1 知Sn n n 1 令f x 2x x 1 构造函数 则f x 2 当x 1时 f x 0恒成立 所以f x 在 1 上是增函数 故当x 1时 f x min f 1 3 即当n 1时 bn max 要使对任意的正整数n 不等式bn k恒成立 则需使k bn max 所以实数k的最小值为 微题型四函数与方程思想在解析几何问题中的应用 典例4 1 2016 全国卷 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A B两点 交C的准线于D E两点 已知 AB 4 DE 2 则C的焦点到准线的距离为 世纪金榜导学号 A 2B 4C 6D 8 2 已知椭圆的右焦点为F 1 0 如图 设左顶点为A 上顶点为B 且 求椭圆C的方程 若过F的直线l交椭圆于M N两点 试确定 的取值范围 思路点拨 解析 1 选B 以开口向右的抛物线为例来解答 其他开口同理可得 设抛物线为y2 2px p 0 设圆的方程为x2 y2 r2 题目条件翻译如图 设点A x0 2 在抛物线y2 2px上 所以8 2px0 点在圆x2 y2 r2上 所以5 r2 点A x0 2 在圆x2 y2 r2上 所以 8 r2 联立 解得 p 4 焦点到准线的距离为p 4 2 由已知 得A a 0 B 0 b F 1 0 则由 得b2 a 1 0 列出方程 因为b2 a2 1 所以a2 a 2 0 解得a 2 所以a2 4 b2 3 所以椭圆C的方程为 若直线l斜率不存在 则l x 1 此时 若直线l斜率存在 设l y k x 1 M x1 y1 N x2 y2 则由消去y得 4k2 3 x2 8k2x 4k2 12 0 列出方程 所以所以 x1 1 y1 x2 1 y2 1 k2 x1x2 x1 x2 1 转化为函数 因为k2 0 方法点睛 函数与方程思想在解析几何中的应用 1 利用方程求椭圆离心率的方法第一步 设椭圆的标准方程 第二步 转化几何 向量 三角等关系为数量关系 第三步 利用方程思想建立a b c的关系式 构建离心率 a b 0 2 解析几何中的最值问题解析几何中的最值是高考的热点 在圆锥曲线的综合问题中经常出现 求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中 抓住函数关系 将目标量表示为一个 或者多个 变量的函数 然后借助函数最值的探求来使问题得以解决 4 2018 安庆一模 已知圆M x2 y2 r2 r 0 与直线l1 x y 4 0相切 设点A为圆上一动点 AB x轴于点B 且动点N满足 设动点N的轨迹为曲线C 1 求曲线C的方程 2 直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P Q两点 求 OPQ O为坐标原点 面积的最大值 解析 1 设动点N x y A x0 y0 因为AB x轴于B 所以B x0 0 由题意得 所以圆M的方程为M x2 y2 4 因为 所以 0 y0 2 x0 x y 即将A x 2y 代入圆M x2 y2 4中 得动点N的轨迹方程为 2 由题意 设直线l x y m 0 P x1 y1 Q x2 y2 联立直线l与椭圆C的方程得消去y 得13x2 8mx 4m2 4 0 192m2 4 13 4m2 4 16 m2 13 0 解得m2 13 又点O到直线l的距离 当且仅当m2 13 m2 即m 时 等号成立 所以 OPQ面积的最大值为1