2019届高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列求和及综合应用课件 理.ppt

第2讲数列求和及综合应用 高考定位1 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现 通过分组转化 错位相减 裂项相消等方法求数列的和 难度中档偏下 2 在考查数列运算的同时 将数列与不等式 函数交汇渗透 解 1 因为a1 3a2 2n 1 an 2n 故当n 2时 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 真题感悟 又S2n 1 bnbn 1 bn 1 0 所以bn 2n 1 考点整合 2 数列求和 3 数列与函数 不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景 给出数列所满足的条件 通常利用点在曲线上给出Sn的表达式 还有以曲线上的切点为背景的问题 解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系 将条件进行准确的转化 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体 考查最值问题 不等关系或恒成立问题 解 1 因为an 5Sn 1 n N 所以an 1 5Sn 1 1 2 bn 1 log2 an 2n 1 数列 bn 的前n项和Tn n2 因此 An 是单调递增数列 探究提高1 给出Sn与an的递推关系求an 常用思路是 一是利用Sn Sn 1 an n 2 转化为an的递推关系 再求其通项公式 二是转化为Sn的递推关系 先求出Sn与n之间的关系 再求an 2 形如an 1 pan q p 1 q 0 可构造一个新的等比数列 1 解2 Sn 1 n 3 an 当n 2时 2 Sn 1 1 n 2 an 1 得 n 1 an n 2 an 1 热点二数列的求和考法1分组转化求和 例2 1 2018 合肥质检 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足S4 24 S7 63 1 求数列 an 的通项公式 2 若bn 2an 1 n an 求数列 bn 的前n项和Tn 因此 an 的通项公式an 2n 1 2 bn 2an 1 n an 22n 1 1 n 2n 1 2 4n 1 n 2n 1 探究提高1 在处理一般数列求和时 一定要注意运用转化思想 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和 在利用分组求和法求和时 常常根据需要对项数n的奇偶进行讨论 最后再验证是否可以合并为一个表达式 2 分组求和的策略 1 根据等差 等比数列分组 2 根据正号 负号分组 1 证明 Sn 2n2 5n 当n 2时 an Sn Sn 1 4n 3 又当n 1时 a1 S1 7也满足an 4n 3 故an 4n 3 n N 数列 3an 是公比为81的等比数列 2 解 bn 4n2 7n 探究提高1 裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项 使这些裂开的项出现有规律的相互抵消 要注意消去了哪些项 保留了哪些项 2 消项规律 消项后前边剩几项 后边就剩几项 前边剩第几项 后边就剩倒数第几项 解 1 设等比数列 an 的公比为q q 0 所以an a1qn 1 3n 2 由 1 得bn log332n 1 2n 1 解 1 设 an 的公差为d 由题设 解之得a1 1 且d 1 因此an n 探究提高1 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和时 可采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 2 在写 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确地写出 Sn qSn 的表达式 解 1 由题意知 当n 2时 an Sn Sn 1 6n 5 当n 1时 a1 S1 11 符合上式 所以an 6n 5 设数列 bn 的公差为d 所以bn 3n 1 又Tn c1 c2 cn 得Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2Tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 两式作差 得 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 所以Tn 3n 2n 2 an 1 f an 且a1 1 an 1 an 2则an 1 an 2 因此数列 an 是公差为2 首项为1的等差数列 an 1 2 n 1 2n 1 等比数列 bn 中 b1 a1 1 b2 a2 3 q 3 bn 3n 1 又n N n 1 或n 2故适合条件Tn Sn的所有n的值为1和2 探究提高1 求解数列与函数交汇问题注意两点 1 数列是一类特殊的函数 其定义域是正整数集 或它的有限子集 在求数列最值或不等关系时要特别重视 2 解题时准确构造函数 利用函数性质时注意限制条件 2 数列为背景的不等式恒成立 不等式证明 多与数列的求和相联系 最后利用数列或数列对应函数的单调性处理 解 1 由已知Sn 2an a1 有an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 从而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因为a1 a2 1 a3成等差数列 即a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 故an 2n 即2n 1000 又 n N 因为29 512 1000 1024 210 所以n 10 1 错位相减法的关注点 1 适用题型 等差数列 an 乘以等比数列 bn 对应项得到的数列 an bn 求和 2 步骤 求和时先乘以数列 bn 的公比 把两个和的形式错位相减 整理结果形式 2 裂项求和的常见技巧 3 数列与不等式综合问题 1 如果是证明不等式 常转化为数列和的最值问题 同时要注意比较法 放缩法 基本不等式的应用 2 如果是解不等式 注意因式分解的应用