2019-2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性课件新人教A版必修1 .ppt

1 3 2奇偶性 一 二 一 偶函数1 观察下列函数的图象 你能通过这些函数的图象 归纳出这三个函数的共同特征吗 提示 这三个函数的定义域关于原点对称 图象关于y轴对称 一 二 2 对于上述三个函数 f 1 与f 1 f 2 与f 2 f 3 与f 3 有什么关系 这说明关于y轴对称的点的坐标有什么关系 提示 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3 关于y轴对称的点的横坐标互为相反数 纵坐标相等 3 一般地 若函数y f x 的图象关于y轴对称 则f x 与f x 有什么关系 反之成立吗 提示 若函数y f x 的图象关于y轴对称 则f x f x 反之 若f x f x 则函数y f x 的图象关于y轴对称 4 填空 1 定义 对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 叫做偶函数 2 偶函数的图象特征 图象关于y轴对称 一 二 5 判断正误 定义在R上的函数f x 若f 1 f 1 f 2 f 2 则f x 一定是偶函数 答案 6 做一做 下列函数中 是偶函数的是 A f x x2B f x xC f x D f x x x3答案 A 一 二 二 奇函数1 观察函数f x x和f x 的图象 如图 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗 提示 容易得到定义域关于原点对称 图象关于原点对称 2 对于上述两个函数f 1 与f 1 f 2 与f 2 f 3 与f 3 有什么关系 提示 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 f 3 一 二 3 一般地 若函数y f x 的图象关于原点对称 则f x 与f x 有什么关系 反之成立吗 提示 若函数y f x 的图象关于原点对称 则f x f x 反之 若f x f x 则函数y f x 的图象关于原点对称 4 填空 1 定义 对于函数f x 定义域内任意一个x 都有f x f x 那么函数f x 叫做奇函数 2 奇函数的图象特征 图象关于原点对称 一 二 5 判断正误 1 若f x 是奇函数 则f 0 0 2 不存在既是奇函数又是偶函数的函数 答案 1 2 一 二 6 做一做 1 函数f x x的图象关于 对称 A y轴B 直线y xC 坐标原点D 直线y x 2 下列图象表示的函数具有奇偶性的是 一 二 解析 1 因为f x x是奇函数 所以该函数的图象关于坐标原点对称 2 选项A中的函数图象关于原点或y轴均不对称 故排除 选项C D中的图象所表示函数的定义域不关于原点对称 不具有奇偶性 故排除 选项B中的图象关于y轴对称 其表示的函数是偶函数 故选B 答案 1 C 2 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性 分析 利用奇函数 偶函数的定义判断函数的奇偶性时 先求出函数的定义域 看其是否关于原点对称 如果定义域关于原点对称 再判断f x 与f x 的关系 为了判断f x 与f x 的关系 既可以从f x 开始化简整理 也可以考虑f x f x 或f x f x 是否等于0 当f x 不等于0时也可考虑与1或 1的关系 还可以考虑使用图象法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 函数的定义域为 x x 1 不关于原点对称 f x 既不是奇函数又不是偶函数 2 函数的定义域为R 关于原点对称 f x x 3 2 x 2x x3 f x f x 是奇函数 函数的定义域为 1 1 关于原点对称 又f 1 f 1 0 f x 既是奇函数又是偶函数 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 4 函数的定义域关于原点对称 方法一 当x 0时 x0 f x x 1 x x 1 x f x f x f x f x 是奇函数 图象关于原点对称 f x 是奇函数 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 根据奇偶性可将函数分为奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数 2 判断函数奇偶性的两种方法 1 定义法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 2 图象法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1判断下列函数的奇偶性 2 f x x 2 x 2 3 f x 0 解 1 f x 的定义域是R 所以f x 是奇函数 2 f x 的定义域是R 又f x x 2 x 2 x 2 x 2 f x 所以f x 是偶函数 3 因为f x 的定义域为R 又f x 0 f x 且f x 0 f x 所以f x 既是奇函数又是偶函数 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二利用函数的奇偶性求解析式例2已知f x 为R上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 3x 1 1 求f 1 2 求f x 的解析式 分析 1 根据奇函数的性质 将f 1 转化为f 1 求解 2 先设出所求区间上的自变量 利用奇函数 偶函数的定义域关于原点对称的特点 把它转化到已知解析式的区间上 代入已知的解析式 再次利用函数的奇偶性求解即可 注意不要忽略x 0时f x 的解析式 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 因为函数f x 为奇函数 所以f 1 f 1 2 12 3 1 1 2 2 当x0 则f x 2 x 2 3 x 1 2x2 3x 1 由于f x 是奇函数 则f x f x 所以f x 2x2 3x 1 当x 0时 f 0 f 0 则f 0 f 0 即f 0 0 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 这类问题常见的情形是 已知当x a b 时 f x x 求当x b a 时f x 的解析式 若f x 为奇函数 则当x b a 时 f x f x x 若f x 为偶函数 则当x b a 时 f x f x x 2 若函数f x 的定义域内含0且为奇函数 则必有f 0 0 不能漏掉 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 延伸探究若将本例中的 奇 改为 偶 x 0 改为 x 0 其他条件不变 求f x 的解析式 解 当x0 此时f x 2 x 2 3 x 1 2x2 3x 1 由于f x 是偶函数 则f x f x 2x2 3x 1 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 探究三分段函数的奇偶性问题解析 当x0 f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 f x f x x2 2x f x x2 2x x2 mx m 2 答案 2反思感悟分段函数奇偶性的判断技巧 1 分段函数的奇偶性应分段说明f x 与f x 的关系 只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时 才能判断函数的奇偶性 否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数 2 若能画出分段函数的图象 则利用图象的对称性去判断分段函数的奇偶性 这是一种非常有效的方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练2判断f x x a x a a R 的奇偶性 分析 对a进行分类讨论 解 若a 0 则f x x x 0 因为x R 定义域R关于原点对称 所以f x 既是奇函数 又是偶函数 当a 0时 f x x a x a x a x a x a x a f x 故f x 是奇函数 综上 当a 0时 函数f x 既是奇函数 又是偶函数 当a 0时 函数f x 是奇函数 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 利用定义法 赋值法解决抽象函数奇偶性问题典例若定义在R上的函数f x 满足 对任意的x1 x2 R 都有f x1 x2 f x1 f x2 且当x 0时 f x 0 则 A f x 是奇函数 且在R上是增函数B f x 是奇函数 且在R上是减函数C f x 是奇函数 且在R上不是单调函数D 无法确定f x 的单调性和奇偶性 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 解析 令x1 x2 0 则f 0 2f 0 所以f 0 0 令x1 x x2 x 则f x f x f x x f 0 0 所以f x f x 故函数y f x 是奇函数 设x10 所以f x2 x1 0 故f x2 f x1 所以函数y f x 在R上是减函数 故选B 答案 B 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 反思感悟1 判断抽象函数的奇偶性 应利用函数奇偶性的定义 找准方向 巧妙赋值 合理 灵活变形 找出f x 与f x 的关系 从而判断或证明抽象函数的奇偶性 2 有时需要整体上研究f x f x 的和的情况 比如 上面典例中利用f x f x 0可得出y f x 是奇函数 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 变式训练定义在R上的函数y f x 满足 对任意 R 总有f f f 2019 则下列说法正确的是 A f x 1是奇函数B f x 1是奇函数C f x 2019是奇函数D f x 2019是奇函数解析 令 0 则f 0 f 0 f 0 2019 即f 0 2019 令 则f 0 f f 2019 即f f 4038 则f 2019 2019 f 2019 f 即f x 2019是奇函数 故选D 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 1 已知一个奇函数的定义域为 1 2 a b 则a b等于 A 1B 1C 0D 2解析 因为一个奇函数的定义域为 1 2 a b 根据奇函数的定义域关于原点对称 所以a与b有一个等于1 一个等于 2 所以a b 1 2 1 答案 A A 是奇函数B 是偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数又不是偶函数解析 由题意知函数的定义域是 4 4 不关于原点对称 所以该函数既不是奇函数又不是偶函数 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 3 设f x 是定义在R上的奇函数 当x 0时 f x 2x2 x 则f 1 A 1B 3C 1D 3解析 当x 0时 f x 2x2 x f 1 2 1 2 1 3 因为f x 是定义在R上的奇函数 故f 1 f 1 3 故选B 答案 B4 若函数f x x a x 4 为偶函数 则实数a 解析 f x x2 a 4 x 4a f x 是偶函数 a 4 0 即a 4 答案 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测 综上所述 在 0 0 上总有f x f x 因此函数f x 是奇函数 解法二作出函数的图象 如图所示 又因为函数的图象关于原点对称 所以是奇函数