高考数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版.ppt

第四章 4 1圆的方程 4 1 1圆的标准方程 学习目标 1 会用定义推导圆的标准方程 掌握圆的标准方程的特点 2 会根据已知条件求圆的标准方程 3 能准确判断点与圆的位置关系 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一圆的定义及圆的标准方程1 圆的定义 答案 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 r2 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 其中定点是圆的圆心 定长是圆的半径 2 圆的标准方程 思考方程 x a 2 y b 2 m2一定表示圆吗 答案 答不一定 当m 0时表示点 a b 当m 0时 表示圆 知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系 即点在圆外 点在圆上 点在圆内 判断点与圆的位置关系有两种方法 1 几何法 将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较 若 CM r 则点M在 若 CM r 则点M在 若 CM r 则点M在 答案 圆内 圆上 圆外 2 代数法 可利用圆C的标准方程 x a 2 y b 2 r2来确定 点M m n 在 m a 2 n b 2 r2 点M m n 在 m a 2 n b 2 r2 点M m n 在 m a 2 n b 2 r2 思考确定点与圆的位置关系的关键是什么 答关键是点与圆心的距离与半径的大小比较 答案 返回 圆C上圆C外圆C内 题型探究重点突破 题型一求圆的标准方程例1已知圆过两点A 3 1 B 1 3 且它的圆心在直线3x y 2 0上 求此圆的标准方程 解析答案 反思与感悟 解方法一设所求圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 解析答案 反思与感悟 故所求圆的标准方程为 x 2 2 y 4 2 10 所以线段AB的垂直平分线m的斜率为2 解析答案 反思与感悟 因此直线m的方程为y 2 2 x 1 即2x y 0 又因为圆心在直线3x y 2 0上 所以圆心是这两条直线的交点 设圆心为C 所以圆心坐标为 2 4 反思与感悟 所以所求圆的标准方程为 x 2 2 y 4 2 10 方法三设圆心为C 因为圆心在直线3x y 2 0上 所以可设圆心C的坐标为 a 3a 2 又因为 CA CB 解得a 2 故所求圆的标准方程为 x 2 2 y 4 2 10 求圆的标准方程的三种常用方法 方法一是待定系数法 方法二 方法三是由平面几何的性质直接求得圆心坐标和半径 其中待定系数法思路直接体现了方程的思想 是通用方法 方法二和方法三对像圆这样的有明确的几何性质的曲线解答较简捷 运算量也不大 在解题过程中 要仔细审题 充分利用圆的性质 如圆上一点到圆心的距离就是半径 圆的任一弦的垂直平分线均过圆心等 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 ABC的三个顶点分别为A 0 5 B 1 2 C 3 4 求其外接圆的标准方程 解析答案 解方法一设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 因为A 0 5 B 1 2 C 3 4 都在圆上 故所求外接圆的标准方程是 x 3 2 y 1 2 25 解析答案 方法二因为A 0 5 B 1 2 即x 7y 10 0 同理 线段BC的垂直平分线的方程是2x y 5 0 得圆心的坐标为 3 1 所以所求外接圆的标准方程是 x 3 2 y 1 2 25 解析答案 题型二点与圆的位置关系的判断例2已知点A 1 2 不在圆C x a 2 y a 2 2a2的内部 求实数a的取值范围 解由题意 得点A在圆C上或圆C的外部 1 a 2 2 a 2 2a2 2a 5 0 反思与感悟 反思与感悟 判断点P x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系有几何法与代数法两种 对于几何法 主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小 对于代数法 主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程 具体判断方法如下 当 x0 a 2 y0 b 2r2时 点在圆外 解析答案 跟踪训练2若点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的内部 则a的取值范围是 A 1 a 1B 0 a 1C a 1或a 1D 1 a 0 解析直接利用点与圆的位置关系来判断 点 1 1 在圆的内部 1 a 2 1 a 2 4 解得 1 a 1 A 解析答案 题型三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A 1 0 B 5 0 1 求此圆的标准方程 所求方程为 x 3 2 y2 4 解析答案 2 设P x y 为圆C上任意一点 求P x y 到直线x y 1 0的距离的最大值和最小值 反思与感悟 反思与感悟解答此类题目经常应用圆的性质 解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径 即过圆心作已知直线的垂线 便于求解 解析答案 跟踪训练3已知圆C x 3 2 y 4 2 1 点A 0 1 B 0 1 设P是圆C上的动点 令d PA 2 PB 2 求d的最大值及最小值 解设P x y 则d PA 2 PB 2 2 x2 y2 2 CO 2 32 42 25 5 1 2 x2 y2 5 1 2 即16 x2 y2 36 d的最小值为2 16 2 34 最大值为2 36 2 74 解析答案 解后反思 例4已知圆的圆心在x轴上 半径长为5 且截y轴所得的线段长为8 求该圆的标准方程 返回 求圆的标准方程 解题方法 分析由圆心在x轴上 即圆心的纵坐标为0 半径长为5 结合在y轴上截得的线段长为8 可构造直角三角形求解 也可设出圆的方程 利用待定系数法求解 解方法一如图 由题设 AC r 5 AB 8 所以 AO 4 在Rt AOC中 解析答案 解后反思 设点C的坐标为 a 0 则 OC a 3 解后反思 所以a 3 所以所求圆的标准方程为 x 3 2 y2 25或 x 3 2 y2 25 方法二由题意设所求圆的方程为 x a 2 y2 25 因为圆截y轴所得线段长为8 所以圆过点A 0 4 代入方程 得a2 16 25 所以a 3 所以所求圆的标准方程为 x 3 2 y2 25或 x 3 2 y2 25 解后反思 此题在求解圆的标准方程时 方法一注意不要漏掉圆心在x轴负半轴上的情况 借助图形解决数学问题直观但缺乏精细 若采用计算推理 则两种情况都可求得 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 C 解析答案 2 圆心是O 3 4 半径长为5的圆的方程为 A x 3 2 y 4 2 5B x 3 2 y 4 2 25C x 3 2 y 4 2 5D x 3 2 y 4 2 25 D 解析将O 3 4 r 5代入圆的标准方程可得 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 B 故圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 解析答案 4 点P 5a 1 12a 在圆 x 1 2 y2 1的外部 则a的取值范围为 D 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 解析由题意知圆C的圆心为 0 1 半径为1 所以圆C的标准方程为x2 y 1 2 1 5 若圆C的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆C的标准方程为 x2 y 1 2 1 课堂小结 1 确定圆的方程主要方法是待定系数法 即列出关于a b r的方程组求a b r或直接求出圆心 a b 和半径r 另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简 提高解题效率 2 讨论点与圆的位置关系可以从代数特征 点的坐标是否满足圆的方程 或几何特征 点到圆心的距离与半径的关系 去考虑 其中利用几何特征较为直观 快捷 返回