高考数学一轮总复习 第九章 概率与统计 第4讲 古典概型与几何概型课件(理).ppt

第4讲 古典概型与几何概型 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是互斥的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成基本事件的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 2 每个基本事件出现的可能性 相等 3 古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个 而且所有结果出模型即为古典概型 如果某个事件A包括的结果有m个 那么事件A的概率 P A 4 几何概型 长度 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 5 几何概型中 事件A的概率计算公式 6 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 注意 几何概型的试验中 事件A的概率P A 只与子区域A的几何度量 长度 面积或体积 成正比 而与A的位置和形状无关 求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和 整个区域 的几何度量 然后代入公式即可求解 4 5 共10种 P 1 2013年新课标 从1 2 3 4 5中任意取出两个不同的数 其和为5的概率是 0 2 解析 两数之和等于5有两种情况 1 4 和 2 3 总的基本事件有 1 2 1 3 1 4 1 5 2 3 2 4 2 5 3 4 3 5 210 0 2 2 2013年新课标 从1 2 3 4中任取2个不同的数 则取 出的2个数之差的绝对值为2的概率是 B A 12 B 13 C 14 D 16 解析 从1 2 3 4中任取2个不同的数 有 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 共12种情形 而满足条件 2个数之差的绝对值为2 的只有 1 3 2 4 3 1 4 2 共4种情形 所以取出的2个数之 差的绝对值为2的概率为 41123 3 2013年福建 利用计算机产生0 1之间的均匀随机数a 则事件 3a 1 0 发生的概率为 4 如图9 4 1的矩形 长为5 宽为2 在矩形内随机地撒300颗黄豆 数得落在阴影部分的黄豆数为138颗 则我们可以估计 出阴影部分的面积为 图9 4 1 考点1古典概型例1 1 2015年新课标 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的 概率为 A 310 B 15 C 110 D 120 解析 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数共有10种不同的取法 其中的勾股数只有3 4 5 故3个数构成一组勾股数的取法 只有1种 故所求概率为 110 故选C 答案 C 2 2014年新课标 将2本不同的数学书和1本语文书在 书架上随机排成一行 则2本数学书相邻的概率为 解析 根据题意显然这是一个古典概型 其基本事件有 数1 数2 语 数1 语 数2 数2 数1 语 数2 语 数1 语 数2 数1 语 数1 数2共有6种 其中2本数 答案 23 规律方法 本题是考查古典概型 利用公式P A 古 m n 典概型必须明确判断两点 对于每个随机试验来说 所有可能出现的试验结果数n必须是有限个 出现的所有不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的 解决这类问题的关键是列举做到不重不漏 互动探究 1 2014年江西 掷两颗均匀的骰子 则点数之和为5的概 率等于 B A 118 B 19 C 16 D 112 解析 掷两颗均匀的骰子 点数的可能情况有 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 此问题中含有36个等可能基本事件 点数之和为5的概率有 1 4 4 1 2 3 3 2 4种 因此所求 2 2014年湖北 随机投掷两枚均匀的骰子 它们向上的点数之和不超过5的概率为P1 点数之和大于5的概率为P2 点 数之和为偶数的概率为P3 则 C A P1 P2 P3B P2 P1 P3C P1 P3 P2D P3 P1 P2 PBC的面积不小于的概率是 考点2几何概型例2 1 在面积为S的 ABC的边AB上任取一点 则 A 23 B 13 C 34 D 14 图D62答案 A 于的概率为 2 向面积为S的 ABC内任投一点 则PPBC的面积小 解析 取AB AC的中点E F 如图D63 如果点P在线段EF上 PBC的面积EF下方 即四边形EFCB内 PBC的面积 答案 34 图D63 3 如图9 4 2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 有一动点在此长方体内随机运动 则此动点在三棱椎A A1BD内的概率 为 图9 4 2 答案 16 A p1 p2 p3B p2 p3 p1C p3 p1 p2D p3 p2 p1 1 2 3 图D64 答案 B 规律方法 应用几何概型求概率的步骤 把每一次试验当作一个事件 看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个 若是则考虑用几何概型 将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形 并加以度量 将几何概型转化为长度 面积 体积之比 应用几何概 型的概率公式求概率 互动探究 3 2014年辽宁 若将一个质点随机投入如图9 4 3所示的长方形ABCD中 其中AB 2 BC 1 则质点落在以AB为直径 的半圆内的概率是 图9 4 3 B 考点3 与线性规划有关的几何概型 例3 甲 乙两人约定上午9时至12时在某地点见面 并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时 一小时之内若对方不来 则离去 如果他们两人在9时到12时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的 求他们见到面的概率 思维点拨 1 考虑甲 乙两人分别到达某处的时间 在平面直角坐标系内分别用x轴 y轴表示甲 乙到达约定地点的时间 用0时到3时表示9时至12时的时间段 则试验发生包含的条件是 x y 0 x 3 0 y 3 2 两人能会面的时间必须满足 x y 1 这就将问题化归为几何概型问题 解 设9时后过了x小时甲到达 9时后过了y小时乙到达 取点Q x y 则0 x 3 0 y 3 两人见到面的充要条件是 x y 1 如图9 4 4 作出两部分对应图形的区域 得所求概率是 图9 4 4 规律方法 将随机事件转化为面积之比时 要注意总的基本事件和所求事件分别表示的区域 互动探究 4 2014年重庆 由人教版必修3P137 例2改编 某校早上8 00开始上课 假设该校学生小张与小王在早上7 30 7 50之间到校 且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的 则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 用数字作答 解析 用x表示小王到校的时间 30 x 50 用y表示小张到校的时间 30 y 50 则所有可能的结果对应如图D65所示的直角坐标系中的正方形ABCD区域 小张比小王至少早5分钟到校 即x y 5 所对应的区域为 答案 932 图D65 易错 易混 易漏 几何概型中容易混淆几何量的比例题 1 在直角三角形ABC中 A 30 过直角顶 点C作射线CM交线段AB于M 则使 AM AC 的概率为 正解 如图9 4 5 取AD AC A 30 此时 ACD 75 则 BCD 15 欲使 AM AC CM必须在 BCD内 其 图9 4 5 答案 B 2 在直角三角形ABC中 A 30 在斜边AB上任取一 点M 则使 AM AC 的概率为 答案 C 失误与防范 请注意两题的区别 过直角顶点C作射线CM交线段AB于M 与 在斜边AB上任取一点M 前者CM在直角内等可能 结果应该为角度的比 后者M为斜边AB上任一点 结果应该为斜边AB上的长度比 1 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型 二者的共同点是基本事件都是等可能的 不同点是基本事件的个数一个是无限的 一个是有限的 对于古典概型问题 处理基本事件的数量是关键 而对于几何概型中的概率问题转化为长度 面积或体积之比是关键 2 古典概型中的基本事件的数量容易计算出 如果能直接列出时 要注意书写时避免重复和遗漏 有时候也利用排列组合的相关知识来解决基本事件的数量 3 处理几何概型的难点一方面在于从题目中提取几何概型的模型 另一方面在于计算 这点有时候会与定积分结合起来考查