高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.1 平面向量的概念及其线性运算课件(理).ppt

第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算 知识梳理 1 向量的有关概念 1 向量的定义 既有 又有 的量叫向量 常用a或表示 2 向量的模 向量的大小 即表示向量的有向线段的 叫做向量的模 记作 a 或 大小 方向 长度 3 几个特殊向量 任意 1 相同 相等 相反 相同或相反 2 向量的加法 减法与数乘 三角形 平行四边形 b a a b c 相反 向量 三角形 向量 相同 相反 a a a a b 3 共线向量定理向量a a 0 与b共线 当且仅当有唯一一个实数 使 b a 特别提醒 1 三个常用的结论 1 零向量与任何向量共线 2 平行向量与起点无关 3 若存在非零实数 使得或或 则A B C三点共线 2 两个注意点 1 作两个向量的差时 要注意向量的方向是指向被减向量的终点 2 在向量共线的重要条件中易忽视 a 0 否则 可能不存在 也可能有无数个 小题快练 链接教材练一练1 必修4P78习题2 1A组T5改编 已知 ABC 设D是BC边的中点 用与表示向量 则 解析 如图 答案 2 必修4P92习题2 2B组T5改编 在平行四边形ABCD中 若 则四边形ABCD的形状为 解析 如图 因为所以 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知 四边形ABCD是矩形 答案 矩形 感悟考题试一试3 2016 龙岩模拟 如图 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则 解析 选A 因为D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 所以则 4 2016 成都模拟 如图 在平行四边形ABCD中 对角线AC与BD交于点O 则 解析 在平行四边形ABCD中 而所以 故 2 答案 2 5 2016 石家庄模拟 设D E分别是 ABC的边AB BC上的点 AD AB BE BC 若 1 2为实数 则 1 2的值为 解析 由则 1 2的值为 答案 考向一平面向量的概念 典例1 1 2016 成都模拟 设a b都是非零向量 下列四个条件中 使成立的充分条件是 A a b 且a bB a bC a bD a 2b 2 已知下列结论 若a b b c 则a c 非零向量a与b同向是a b的必要不充分条件 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 为实数 若 a b 则a与b共线 其中正确的序号为 解题导引 1 利用单位向量与向量相等的概念求解 2 利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断 规范解答 1 选D 由表示与a同向的单位向量 表示与b同向的单位向量 故只要a与b同向即可 观察可知D满足题意 2 对于 当b 0时 条件满足但结论不成立 对于 因为向量a与b都是非零向量 所以该命题是正确的 对于 四边形是大前提 当时 即AB DC 且AB DC 所以四边形ABCD是平行四边形 反之 若四边形ABCD是平行四边形 则 所以 正确 对于 当 0时 a与b可为任意向量 不一定共线 所以 不正确 答案 母题变式 1 本例 2 中 若b 0 该结论是否正确 解析 若b 0 又a b b c 所以a c显然成立 故该结论正确 2 若本例 2 中的实数 满足 2 2 0 该结论是否正确 解析 由 2 2 0知实数 中至少有一个不为0 若 0 0 则 a 0 b 0 因为 0 所以a 0 又0与任何向量共线 所以结论正确 同理 若 0 0 结论也正确 若 0 0 由 a b得a b 由共线向量定理知结论正确 综上所述 该结论正确 易错警示 解答本例题 1 有两点容易出错 1 不清楚表示何种向量 不知道是a方向上的单位向量 2 求解时易忽视两向量是同向还是反向 是共线还是相等 规律方法 把握向量有关概念的关键点 1 定义 方向和长度 2 非零共线向量 方向相同或相反 长度没有限制 3 相等向量 方向相同且长度相等 4 单位向量 方向没有限制 但长度都是一个单位长度 5 零向量 方向没有限制 长度是0 规定零向量与任何向量共线 变式训练 设a0为单位向量 下述命题中 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 假命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 解析 选D 向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 加固训练 1 下列命题中正确的个数为 有向线段就是向量 向量就是有向线段 向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 向量与向量共线 则A B C D四点共线 如果a b b c 那么a c A 1B 2C 3D 0 解析 选A 不正确 向量可以用有向线段表示 但向量不是有向线段 有向线段也不是向量 不正确 若a与b中有一个为零向量 零向量的方向是不确定的 故两向量方向不一定相同或相反 不正确 共线向量所在的直线可以重合 也可以平行 正确 因为a b b c 由相等向量的概念可知a与c方向相同 大小相等 故a c 2 2016 南昌模拟 下列关于向量的叙述不正确的是 A 向量的相反向量是B 模长为1的向量是单位向量 其方向是任意的C 若A B C D四点在同一条直线上 且AB CD 则D 若向量a与b满足关系a b 0 则a与b共线 解析 选C A B显然正确 对于C 如图 A B C D四点满足条件 但 所以C不正确 对于D 由a b 0 得b a 由共线向量定理知 a与b共线 所以D正确 考向二平面向量的线性运算及应用 典例2 1 2014 全国卷 设D E F分别为 ABC的三边BC CA AB的中点 则 本题源自A版必修4P92A组T12 2 2015 北京高考 在 ABC中 点M N满足若则x y 解题导引 1 结合图形和三角形法则求解 2 结合图形利用向量线性运算的法则求解 规范解答 1 选A 如图所示 2 由得所以所以答案 规律方法 1 平面向量的线性运算技巧 1 不含图形的情况 可直接运用相应运算法则求解 2 含图形的情况 将它们转化到三角形或平行四边形中 充分利用相等向量 相反向量 三角形的中位线等性质 把未知向量用已知向量表示出来求解 2 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 1 没有图形的准确作出图形 确定每一个点的位置 2 利用平行四边形法则或三角形法则进行转化 转化为要求的向量形式 3 比较 观察可知所求 变式训练 2016 惠州模拟 已知点O A B不在同一条直线上 点P为该平面上一点 且则 A 点P在线段AB上B 点P在线段AB的反向延长线上C 点P在线段AB的延长线上D 点P不在直线AB上 解析 选B 即 所以点P在线段AB的反向延长线上 加固训练 1 2016 乐山模拟 如图 点M是 ABC的重心 则x y A B 1C D 2 解析 选D 由题意 得点F是AB的中点 所以因为点M是 ABC的重心 所以又 所以x y 1 故x y 2 2 2016 厦门模拟 如图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H 则 解析 选C 设a 以OP OQ为邻边作平行四边形 则夹在OP OQ之间的对角线对应的向量即为向量a 因为a和长度相等 方向相同 所以a 故选C 3 2016 亳州模拟 下列各式中不能化简为的是 解析 选D 显然由得不出所以不能化简为的式子是D 考向三共线向量定理及其应用 典例3 1 2016 杭州模拟 已知向量a与b不共线 若 a b与a b共线 则 2 如图 在 ABC中 D F分别是BC AC的中点 用a b表示向量 求证 B E F三点共线 解题导引 1 利用共线向量定理及向量相等的概念求解 2 利用线性运算几何意义求解 利用共线向量定理得出 规范解答 1 因为 a b与a b共线 所以存在实数x 使 a b x a b 即 a b xa x b 因为a与b不共线 所以即 2 1 所以 1 答案 1 2 由已知可得 a b 因为所以 a b a b 由得又有公共点B 故B E F三点共线 规律方法 共线向量定理的应用 1 证明向量共线 对于向量a b 若存在实数 使a b 则a与b共线 2 证明三点共线 若存在实数 使 则A B C三点共线 3 求参数的值 利用共线向量定理及向量相等的条件列方程 组 求参数的值 提醒 证明三点共线时 需说明共线的两向量有公共点 变式训练 2016 朔州模拟 设e1与e2是两个不共线向量 3e1 2e2 ke1 e2 3e1 2ke2 若A B D三点共线 则k的值为 A B C D 不存在 解析 选A 由题意 A B D三点共线 故必存在一个实数 使得又 3e1 2e2 ke1 e2 3e1 2ke2 所以 3e1 2ke2 ke1 e2 3 k e1 2k 1 e2 所以3e1 2e2 3 k e1 2k 1 e2 所以解得k 加固训练 1 a b R 是a与b共线的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 选A 当a b R 时 若b 0 则a 0 显然a与b共线 若b 0 则由共线向量定理知a与b共线 反之 若a与b共线 当b 0 而a 0时 a b R 不成立 故选A 2 2016 南昌模拟 已知向量a b c中任意两个都不共线 并且a b与c共线 b c与a共线 那么a b c等于 A aB bC cD 0 解析 选D 因为a b与c共线 所以a b 1c 又因为b c与a共线 所以b c 2a 由 得 b 1c a 所以b c 1 1 c a 2a 所以即所以a b c c c 0 3 设e1 e2是两个不共线向量 已知 2e1 8e2 e1 3e2 2e1 e2 1 求证 A B D三点共线 2 若 3e1 ke2 且B D F三点共线 求k的值 解析 1 由已知得 2e1 e2 e1 3e2 e1 4e2 因为 2e1 8e2 所以又有公共点B 所以A B D三点共线 2 由 1 可知 e1 4e2 且 3e1 ke2 又因为B D F三点共线 所以存在实数 使得即3e1 ke2 e1 4 e2 得解得k 12