高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.8 解三角形的综合应用课件 理.ppt

第四章三角函数 解三角形 4 8解三角形的综合应用 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 上方 下方 知识梳理 1 答案 2 方向角相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 正北 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 的关系为 180 3 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 4 如图 为了测量隧道口AB的长度 可测量数据a b 进行计算 思考辨析 答案 解析如图 在 ABC中 1 海面上有A B C三个灯塔 AB 10nmile 从A望C和B成60 视角 从B望C和A成75 视角 则BC nmile AB 10 A 60 B 75 考点自测 2 解析答案 解析答案 山高为18 11 4 6 6km 6 6 解析答案 4 轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C 两船航行方向的夹角为120 两船的航行速度分别为25nmile h 15nmile h 则下午2时两船之间的距离是 nmile 解析设两船之间的距离为d 则d2 502 302 2 50 30 cos120 4900 d 70 即两船相距70nmile 70 解析答案 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1 1 如图 设A B两点在河的两岸 一测量者在A的同侧 选定一点C 测出AC的距离为50m ACB 45 CAB 105 则A B两点的距离为 m 题型一求距离 高度问题 解析答案 2 2015 湖北 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达B处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 解析答案 思维升华 在Rt BCD中 CBD 30 解析在 ABC中 AB 600 BAC 30 ACB 75 30 45 思维升华 思维升华 求距离 高度问题应注意 1 理解俯角 仰角的概念 它们都是视线与水平线的夹角 理解方向角的概念 2 选定或确定要创建的三角形 要首先确定所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 3 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 1 一船自西向东航行 上午10时到达灯塔P的南偏西75 的方向上 距塔68海里的M处 下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处 则这只船航行的速度为 海里 小时 解析由题意知 在 PMN中 PM 68海里 MPN 75 45 120 MNP 45 跟踪训练1 解析答案 2 如图所示 为测一树的高度 在地面上选取A B两点 从A B两点分别测得树尖的仰角为30 45 且A B两点间的距离为60m 则树的高度为 m 解析答案 解析在 PAB中 PAB 30 APB 15 AB 60 sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 例2 1 如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等 灯塔A在观察站C的北偏东40 灯塔B在观察站C的南偏东60 则灯塔A在灯塔B的 方向 解析由已知 ACB 180 40 60 80 又AC BC 所以 A ABC 50 60 50 10 所以灯塔A位于灯塔B的北偏西10 北偏西10 题型二求角度问题 解析答案 2 如图 两座相距60m的建筑物AB CD的高度分别为20m 50m BD为水平面 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角 CAD 解析答案 思维升华 又0 CAD 180 所以 CAD 45 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45 答案45 思维升华 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正弦 余弦定理的 联袂 使用 如图 某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练 已知点A到墙面的距离为AB 某目标点P沿墙面上的射线CM移动 此人为了准确瞄准目标点P 需计算由点A观察点P的仰角 的大小 若AB 15m AC 25m BCM 30 则tan 的最大值是 仰角 为直线AP与平面ABC所成角 跟踪训练2 解析答案 解析如图 过点P作PO BC于点O 连结AO 则 PAO 在Rt ABC中 AB 15m AC 25m 所以BC 20m 解析答案 1 求函数f x 的单调递增区间 题型三三角形与三角函数的综合问题 解析答案 解析答案 思维升华 解析答案 思维升华 思维升华 思维升华 三角形与三角函数的综合问题 要借助三角函数性质的整体代换思想 数形结合思想 还要结合三角形中角的范围 充分利用正弦定理 余弦定理解题 跟踪训练3 解析答案 返回 ABD为正三角形 解析答案 返回 思想与方法系列 典例 14分 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口O北偏西30 且与该港口相距20海里的A处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 思想与方法系列 9 函数思想在解三角形中的应用 温馨提醒 解析答案 返回 思维点拨 思维点拨 1 利用三角形中的余弦定理 将航行距离表示为时间t的函数 将原题转化为函数最值问题 2 注意t的取值范围 温馨提醒 解析答案 规范解答 温馨提醒 解析答案 2 设小艇与轮船在B处相遇 则v2t2 400 900t2 2 20 30t cos 90 30 9分 0 v 30 温馨提醒 解析答案 此时 在 OAB中 有OA OB AB 20 13分 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为30海里 小时 14分 温馨提醒 温馨提醒 1 三角形中的最值问题 可利用正弦 余弦定理建立函数模型 或三角函数模型 转化为函数最值问题 2 求最值时要注意自变量的范围 要考虑问题的实际意义 返回 思想方法感悟提高 1 利用解三角形解决实际问题时 1 要理解题意 整合题目条件 画出示意图 建立一个三角形模型 2 要理解仰角 俯角 方位角 方向角等概念 3 三角函数模型中 要确定相应参数和自变量范围 最后还要检验问题的实际意义 2 在三角形和三角函数的综合问题中 要注意边角关系相互制约 推理题中的隐含条件 方法与技巧 1 不要搞错各种角的含义 不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易出现错误 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 在相距2km的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为 km 解析如图 在 ABC中 由已知可得 ACB 45 解析答案 2 一艘海轮从A处出发 以每小时40海里的速度沿南偏东40 的方向直线航行 30分钟后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向是南偏东70 在B处观察灯塔 其方向是北偏东65 那么B C两点间的距离是 海里 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在 ABC中 AB 20 CAB 30 ACB 45 解析如图所示 易知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 如图 一条河的两岸平行 河的宽度d 0 6km 一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B 已知AB 1km 水的流速为2km h 若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min 则客船在静水中的速度为 km h 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设AB与河岸线所成的角为 客船在静水中的速度为vkm h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为75 30 此时气球的高是60m 则河流的宽度BC等于 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析如图 ACD 30 ABD 75 AD 60m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 如图 测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 测得 BCD 15 BDC 30 CD 30 并在点C测得塔顶A的仰角为60 则塔高AB等于 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析在 BCD中 CBD 180 15 30 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 由炮台顶部测得俯角分别为45 和60 而且两条船与炮台底部的连线成30 角 则两条船相距 m 解析如图 OM AOtan45 30 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30 60 则塔高为 m 解析如图 由已知可得 BAC 30 CAD 30 BCA 60 ACD 30 ADC 120 在 ACD中 由余弦定理得 AC2 2CD2 2CD2 cos120 3CD2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 在Rt ABC中 C 90 且内角A B C所对的边a b c满足a b cx 则实数x的取值范围是 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 如图 渔船甲位于岛屿A的南偏西60 方向的B处 且与岛屿A相距12海里 渔船乙以10海里 小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2小时追上 1 求渔船甲的速度 解依题意知 BAC 120 AB 12 AC 10 2 20 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求sin 的值 解在 ABC中 因为AB 12 BAC 120 BC 28 BCA 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由已知得 PBC 60 所以 PBA 30 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若 APB 150 求tan PBA 解设 PBA 由已知得PB sin 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱 为了测量喷水柱喷出的水柱的高度 某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45 沿点A向北偏东30 前进100m到达点B 在B点测得水柱顶端的仰角为30 则水柱的高度是 m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在 ABC中 BAC 60 AC h AB 100 即h2 50h 5000 0 即 h 50 h 100 0 即h 50 故水柱的高度是50m 答案50 解析设水柱高度是hm 水柱底端为C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析设航速为vnmile h 32 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 如图 某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形AOB C是该小区的一个出入口 且小区里有一条平行于AO的小路CD 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟 从D沿DC走到C用了3分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 则该扇形的半径为 米 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由余弦定理得OC2 1002 1502 2 100 150 cos60 17500 解析如图 连结OC 在 OCD中 OD 100 CD 150 CDO 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 如图 为了测量A C两点间的距离 选取同一平面上B D两点 测出四边形ABCD各边的长度 单位 km AB 5 BC 8 CD 3 DA 5 且A B C D四点共圆 则AC的长为 km 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故AC 7 答案7 解析因为A B C D四点共圆 所以D B 在 ABC和 ADC中 由余弦定理可得82 52 2 8 5 cos D 32 52 2 3 5 cosD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物顶端相对于山坡的斜度为15 如图所示 向山顶前进100m后 又从B点处测得斜度为45 设建筑物的高为50m 设此山对于地平面的斜度为 则cos 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析在 ABC中 BAC 15 CBA 180 45 135 所以 ACB 30 又AB 100m 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 CBD 45 CDB 90 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15