高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量 10.7 离散型随机变量及其分布列课件(理).ppt

第七节离散型随机变量及其分布列 知识梳理 1 随机变量随着试验结果变化 的变量 常用字母X Y 表示 2 离散型随机变量所有取值可以 的随机变量 而变化 一一列出 3 离散型随机变量分布列 1 定义 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1 x2 xi xn X取每一个值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 则表 称为离散型随机变量X的概率分布列 简称为X的分布列 有时也用等式 表示X的分布列 2 性质 1 P X xi pi i 1 2 n pi 0 i 1 2 n 4 常见两类特殊的分布列 1 两点分布 若随机变量X服从两点分布 即其分布列为其中p 称为成功概率 1 p P X 1 2 超几何分布 在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品 则P X k k 0 1 2 m 其中m 且n N M N n M N N 即如果随机变量X的分布列具有下表形式 min M n 则称随机变量X服从超几何分布 特别提醒 1 确定随机变量取值时的关注点 每个取值对应的实际结果及各个取值表示的结果是彼此互斥的 2 某指定范围的概率 某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和 3 两点分布与二项分布的关系 两点分布实际上是n 1时的二项分布 小题快练 链接教材练一练1 选修2 3P49习题2 1A组T5改编 若某一射手射击所得环数X的分布列为 则此射手 射击一次命中环数X 7 的概率是 A 0 88B 0 12C 0 79D 0 09 解析 选A P X 7 P X 7 P X 8 P X 9 P X 10 0 09 0 28 0 29 0 22 0 88 2 选修2 3P47例2改编 有一批产品共12件 其中次品3件 每次从中任取一件 在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是 解析 可能第一次就取到合格品 也可能取完次品后才取得合格品 所以X的所有可能取值为0 1 2 3 答案 0 1 2 3 感悟考题试一试3 2016 洛阳模拟 设随机变量Y的分布列为则 Y 的概率为 解析 选C 因为 1 所以所以P P 2 P 3 4 2016 南昌模拟 在含有3件次品的10件产品中 任取4件 则取到次品数X的分布列为 解析 由题意 X服从超几何分布 其中N 10 M 3 n 4 所以分布列为P X k k 0 1 2 3 答案 P X k k 0 1 2 3 5 2016 成都模拟 设随机变量X的分布列为则P X 3 1 解析 根据概率分布列的性质得出 1 得m 随机变量X的概率分布列为所以P X 3 1 P 4 P 2 答案 考向一离散型随机变量分布列的性质 典例1 1 2016 长春模拟 若离散型随机变量X的分布列为则常数c的值为 2 设离散型随机变量X的分布列为求 X 1 的分布列 解题导引 1 根据离散型随机变量分布列的性质列出关于c的不等式和方程求解 2 先利用离散型随机变量分布列的性质求出m的值 再求 X 1 的分布列 规范解答 1 选C 根据离散型随机变量分布列的性质知得c 2 由分布列的性质 知0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 所以m 0 3 列表所以P 1 P X 0 P X 2 0 2 0 1 0 3 P 0 P X 1 0 1 P 2 P X 3 0 3 P 3 P X 4 0 3 因此 X 1 的分布列为 母题变式 1 在本例题 2 的条件下 求P 1 X 4 解析 由例题 2 解析知m 0 3 所以P 1 X 4 P X 2 P X 3 P X 4 0 1 0 3 0 3 0 7 2 本例题 2 中条件不变 求P 1 2X 1 9 解析 P 1 2X 1 9 P 2X 1 3 P 2X 1 5 P 2X 1 7 0 1 0 1 0 3 0 5 易错警示 解答本例题 1 会出现以下错误 1 易忽略9c2 c 0 且3 8c 0这两个条件 而误选A 2 解方程9c2 c 3 8c 1时计算失误 规律方法 1 分布列性质的两个作用 1 利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性 2 随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的 利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率 易错提醒 求分布列中的参数值时 要保证每个概率值均为非负数 2 随机变量X的线性组合的概率及分布列问题 1 随机变量X的线性组合 aX b a b R 是随机变量 2 求 aX b的分布列可先求出相应随机变量的值 再根据对应的概率写出分布列 变式训练 1 2016 兰州模拟 设随机变量X等可能取值1 2 3 n 如果P X 4 0 3 那么 A n 3B n 4C n 10D n 9 解析 选C P X 4 P X 1 P X 2 P X 3 0 3 所以n 10 2 随机变量X的分布列如下 其中a b c成等差数列 则P X 1 解析 由题意知则2b 1 b 则所以P X 1 P X 1 P X 1 a c 答案 加固训练 1 2016 长沙模拟 设X是一个离散型随机变量 其分布列为则q等于 解析 选C 由分布列的性质知所以 2 设随机变量 的分布列为P k a k k 1 2 3 则a的值为 解析 选D 因为随机变量 的分布列为P k a k k 1 2 3 所以根据分布列的性质有所以所以 考向二超几何分布的应用 典例2 2015 重庆高考改编 端午节吃粽子是我国的传统习俗 设一盘中装有10个粽子 其中豆沙粽2个 肉粽3个 白粽5个 这三种粽子的外观完全相同 从中任意选取3个 1 求三种粽子各取到1个的概率 2 设X表示取到的豆沙粽个数 求X的分布列 解题导引 1 由于每个粽子被取到的机会均等 且所有选法是一定的 因此可直接用古典概型的概率计算公式计算 2 该问题符合超几何分布的定义 利用超几何分布求出分布列即可 规范解答 1 令A表示事件 三种粽子各取到1个 则由古典概型的概率计算公式有P A 2 X的所有可能值为0 1 2 且P X 0 P X 1 P X 2 综上知 X的分布列为 规律方法 1 超几何分布的两个特点 1 超几何分布是不放回抽样问题 2 随机变量为抽到的某类个体的个数 2 超几何分布的应用条件及实质 1 条件 考察对象分两类 已知各类对象的个数 从中抽取若干个个体 考察某类个体个数 的概率分布 2 实质 古典概型问题 变式训练 2016 衡水模拟 PM2 5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2 5微米的可入肺颗粒物 根据现行国家标准 PM2 5日均值在35微克 立方米以下空气质量为一级 在35微克 立方米 75微克 立方米之间空气质量为二级 在75微克 立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2014年全年每天的PM2 5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本 监测值频数如下表所示 1 从这10天的PM2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 求恰有一天空气质量达到一级的概率 2 从这10天的数据中任取3天数据 记 表示抽到PM2 5监测数据超标的天数 求 的分布列 解析 1 记 10天的PM2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 恰有一天空气质量达到一级 为事件A 则P A 2 依据条件 服从超几何分布 其中N 10 M 3 n 3 且随机变量 可能取值为0 1 2 3 P k k 0 1 2 3 所以P 0 P 1 P 2 P 3 因此 的分布列为 加固训练 2016 邢台模拟 袋中装有编号为1的球5个 编号为2的球3个 这些球的大小完全一样 1 从中任意取出四个 求剩下的四个球都是1号球的概率 2 从中任意取出三个 记 为这三个球的编号之和 求随机变量 的分布列 解析 1 记 任意取出四个 剩下的四个球都是1号球 为事件A 则P A 2 的可能取值为3 4 5 6 则P 3 P 4 P 5 P 6 概率分布列如下 考向三求离散型随机变量的分布列 考情快递 考题例析 命题方向1 以某对象当选 个数 为随机变量 典例3 2015 天津高考 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员3名 其中种子选手2名 乙协会的运动员5名 其中种子选手3名 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛 1 设A为事件 选出的4人中恰有2名种子选手 且这2名种子选手来自同一个协会 求事件A发生的概率 2 设X为选出的4人中种子选手的人数 求随机变量X的分布列和数学期望 本题源自A版选修2 3P50习题2 1A组T6 解题导引 1 借助古典概型和互斥事件的概率公式求解 2 先根据题意写出随机变量即选出4人中种子选手的人数X的所有可能值 进而求出其相应的概率 得到其分布列 再利用数学期望公式求解 规范解答 1 由已知 有P A 所以事件A发生的概率为 2 随机变量X的所有可能取值为1 2 3 4 P X k k 1 2 3 4 所以 随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E X 命题方向2 以实际生产 生活中的 量 为随机变量 典例4 2015 安徽高考改编 已知2件次品和3件正品混放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 2 已知每检测一件产品需要费用100元 设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用 单位 元 求X的分布列 解题导引 1 利用排列组合知识及古典概型概率计算公式求解 2 根据问题的实际意义 确定X的所有可能值 并确定其对应的概率 得到其分布列 规范解答 1 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为P 2 由题意可知X的可能取值为200 300 400 则P X 200 P X 300 P X 400 1 P X 200 P X 300 所以X的分布列如下表所示 技法感悟 1 以某对象当选 个数 为随机变量分布列的求解步骤 1 找 根据该对象在该问题中可能当选的 个数 确定 xi的实际意义 找出随机变量 的所有可能的取值xi i 1 2 n 2 求 借助概率的有关知识求出随机变量 取每一个值的概率P xi pi i 1 2 n 注意应用计数原理 古典概型等知识 3 列 列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质 2 求解以实际生产 生活中的 量 为随机变量分布列的关键点根据生产 生活的实际意义正确确定出涉及 量 为随机变量的可能取值及其概率 题组通关 1 2014 重庆高考 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片 其中4张卡片上的数字是1 3张卡片上的数字是2 2张卡片上的数字是3 从盒中任取3张卡片 1 求所取3张卡片上的数字完全相同的概率 2 X表示所取3张卡片上的数字的中位数 求X的分布列与数学期望 注 若三个数a b c满足a b c 则称b为这三个数的中位数 解析 1 由古典概型的概率计算公式知所求概率为 2 X的所有可能取值为1 2 3 且P X 1 P X 2 P X 3 故X的分布列为从而E X 2 2016 韶关模拟 甲 乙两人为了响应政府 节能减排 的号召 决定各购置一辆纯电动汽车 经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车 按行驶里程数R 单位 公里 可分为三类车型 A 80 R 150 B 150 R 250 C R 250 甲从A B C三类车型中挑选 乙从B C两类车型中挑选 甲 乙二人选择各类车型的概率如下表 若甲 乙都选C类车型的概率为 1 求p q的值 2 求甲 乙选择不同车型的概率 3 某市对购买纯电动汽车进行补贴 补贴标准如下表 记甲 乙两人购车所获得的财政补贴和为X 求X的分布列 解析 1 因为所以 2 设 甲 乙选择不同车型 为事件A 则P A 答 所以甲 乙选择不同车型的概率是 3 X可能取值为7 8 9 10 P X 7 P X 8 P X 9 P X 10 所以X的分布列为 3 2016 兰州模拟 经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出1t该产品获利润500元 未售出的产品 每1t亏损300元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经销农产品的利润 1 将T表示为X的函数 2 根据直方图估计利润T不少于57000元的概率 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点的概率 例如 若X 100 110 则取X 105 且X 105的概率等于需求量落入 100 110 的频率 求T的分布列 解析 1 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39000 当X 130 150 时 T 500 130 65000 所以T 2 由 1 知利润T不少于57000元当且仅当120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为0 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0 7 3 依题意可得T的分布列为