高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.1 分类计数原理与分步计数原理课件 理.ppt

第十章计数原理 10 1分类计数原理与分步计数原理 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 分类计数原理如果完成一件事 有n类方式 在第1类方式中有m1种不同的方法 在第2类方式中有m2种不同的方法 在第n类方式中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 2 分步计数原理如果完成一件事 需要分成n个步骤 做第1步有m1种不同的方法 做第2步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法 m1 m2 mn 知识梳理 1 答案 3 分类计数原理与分步计数原理 都涉及完成一件事的不同方法的种数 它们的区别在于 分类计数原理与分类有关 各种方法相互独立 用其中的任一种方法都可以完成这件事 分步计数原理与分步有关 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在分类计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类计数原理中 每类方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步计数原理中 事情是分步完成的 其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事 只有每个步骤都完成后 这件事情才算完成 4 如果完成一件事情有n个不同步骤 在每一步中都有若干种不同的方法mi i 1 2 3 n 那么完成这件事共有m1m2m3 mn种方法 5 在分步计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 答案 思考辨析 1 教材改编 三个人踢毽子 互相传递 每人每次只能踢一下 由甲开始踢 经过3次传递后 毽子又被踢回给甲 则不同的传递方式共有 种 解析传递方式有甲 乙 丙 甲 甲 丙 乙 甲 2 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会 则不同的选法种数为 解析5个人中每一个都可主持 所以共有5种选法 5 解析答案 1 2 3 4 5 3 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色 则不同的着色方法共有 种 解析按A B C D顺序分四步涂色 共有4 3 2 2 48种 48 解析答案 1 2 3 4 5 4 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 则这样的四位数共有 个 用数字作答 解析数字2 3至少都出现一次 包括以下情况 综上所述 共可组成14个这样的四位数 14 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改编 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中一个小组 则不同的报名方法有 种 解析每位同学都有2种报名方法 因此 可分五步安排5名同学报名 由分步计数原理 总的报名方法共2 2 2 2 2 32 种 32 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1高三一班有学生50人 男生30人 女生20人 高三二班有学生60人 男生30人 女生30人 高三三班有学生55人 男生35人 女生20人 1 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席 有多少种不同的选法 解完成这件事有三类方法 第一类 从高三一班任选一名学生共有50种选法 第二类 从高三二班任选一名学生共有60种选法 第三类 从高三三班任选一名学生共有55种选法 根据分类计数原理 任选一名学生任学生会主席共有50 60 55 165种选法 题型一分类计数原理的应用 解析答案 2 从高三一班 二班男生中 或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长 有多少种不同的选法 解完成这件事有三类方法 第一类 从高三一班男生中任选一名共有30种选法 第二类 从高三二班男生中任选一名共有30种选法 第三类 从高三三班女生中任选一名共有20种选法 综上知 共有30 30 20 80种选法 解析答案 思维升华 思维升华 分类标准是运用分类计数原理的难点所在 重点在于抓住题目中的关键词或关键元素 关键位置 首先根据题目特点恰当选择一个分类标准 其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 2015 四川 用数字0 1 2 3 4 5组成没有重复数字的五位数 其中比40000大的偶数共有 个 故比40000大的偶数共有72 48 120个 120 跟踪训练1 解析答案 例2 1 将字母a a b b c c排成三行两列 要求每行的字母互不相同 每列的字母也互不相同 则不同的排列方法共有 种 解析先排第一列 由于每列的字母互不相同 因此共有6种不同排法 再排第二列 其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法 第二列第二 三行的字母只有1种排法 因此共有6 2 1 12种不同的排列方法 12 题型二分步计数原理的应用 解析答案 2 有六名同学报名参加三个智力项目 每项限报一人 且每人至多参加一项 则共有 种不同的报名方法 解析每项限报一人 且每人至多参加一项 因此可由项目选人 第一个项目有6种选法 第二个项目有5种选法 第三个项目有4种选法 根据分步计数原理 可得不同的报名方法共有6 5 4 120种 120 解析答案 1 本例 2 中将条件 每项限报一人 且每人至多参加一项 改为 每人恰好参加一项 每项人数不限 则有多少种不同的报名方法 解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项 各有3种不同的报名方法 根据分步计数原理 可得不同的报名方法共有36 729种 引申探究 解析答案 2 本例 2 中将条件 每项限报一人 且每人至多参加一项 改为 每项限报一人 但每人参加的项目不限 则有多少种不同的报名方法 解每人参加的项目不限 因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛 根据分步计数原理 可得不同的报名方法共有63 216种 解析答案 1 某体育彩票规定 从01至36共36个号中抽出7个号为一注 每注2元 某人想从01至10中选3个连续的号 从11至20中选2个连续的号 从21至30中选1个号 从31至36中选1个号组成一注 则这人把这种特殊要求的号买全 至少要花 元 解析从01至10中选3个连续的号共有8种选法 从11至20中选2个连续的号共有9种选法 从21至30中选1个号有10种选法 从31至36中选1个号有6种选法 根据分步计数原理 得共有8 9 10 6 4320种 所以至少需花4320 2 8640 元 8640 解析答案 跟踪训练2 2 用0 1 2 3 4 5可组成无重复数字的三位数的个数为 解析可分三步给百 十 个位放数字 第一步 百位数字有5种放法 第二步 十位数字有5种放法 第三步 个位数字有4种放法 根据分步计数原理 三位数的个数为5 5 4 100 100 解析答案 例3如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法种数 题型三两个计数原理的综合应用 解析答案 思维升华 解方法一可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步计数原理即可得出结论 由题设 四棱锥S ABCD的顶点S A B所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60种染色方法 当S A B染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若C染2 则D可染3或4或5 有3种染法 若C染4 则D可染3或5 有2种染法 解析答案 思维升华 若C染5 则D可染3或4 有2种染法 可见 当S A B已染好时 C D还有3 2 2 7种染法 故不同的染色方法有60 7 420种 方法二以S A B C D顺序分步染色 第一步 S点染色 有5种方法 第二步 A点染色 与S在同一条棱上 有4种方法 第三步 B点染色 与S A分别在同一条棱上 有3种方法 解析答案 思维升华 第四步 C点染色 也有3种方法 但考虑到D点与S A C相邻 需要针对A与C是否同色进行分类 当A与C同色时 D点有3种染色方法 当A与C不同色时 因为C与S B也不同色 所以C点有2种染色方法 D点也有2种染色方法 由分步 分类计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420种 解析答案 思维升华 方法三按所用颜色种数分类 第二类 只用4种颜色 第三类 只用3种颜色 由分类计数原理 得不同的染色方法种数为 思维升华 思维升华 1 应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步 2 分类要做到 不重不漏 正确把握分类标准是关键 3 分步要做到 步骤完整 步步相连能将事件完成 4 较复杂的问题可借助图表完成 如图 正五边形ABCDE中 若把顶点A B C D E染上红 黄 绿三种颜色中的一种 使得相邻顶点所染颜色不相同 则不同的染色方法共有 种 跟踪训练3 解析答案 返回 解析由题意知本题需要分类来解答 首先A选取一种颜色 有3种情况 如果A的两个相邻点颜色相同 有2种情况 这时最后两个点也有2种情况 如果A的两个相邻点颜色不同 有2种情况 这时最后两个点有3种情况 所以方法共有3 2 2 2 3 30种 答案30 返回 易错警示系列 典例 1 把3封信投到4个信箱 所有可能的投法共有 种 易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步 然后应用加法原理和乘法原理来计算 解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误 对于 1 选择的标准不同 误认为每个信箱有三种选择 所以可能的投法有34种 没有注意到一封信只能投在一个信箱中 13 对两个基本计数原理认识不清致误 易错警示系列 解析答案 易错分析 解析第1封信投到信箱中有4种投法 第2封信投到信箱中也有4种投法 第3封信投到信箱中也有4种投法 只要把这3封信投完 就做完了这件事情 由分步计数原理可得共有43种方法 即64种 答案64 2 某人从甲地到乙地 可以乘火车 也可以坐轮船 在这一天的不同时间里 火车有4趟 轮船有3次 问此人的走法可有 种 易错分析易混淆 类 与 步 误认为到达乙地先坐火车后坐轮船 使用乘法原理计算 解析答案 易错分析 返回 温馨提醒 解析因为某人从甲地到乙地 乘火车的走法有4种 坐轮船的走法有3种 每一种方法都能从甲地到乙地 根据分类计数原理 可得此人的走法可有4 3 7种 答案7 温馨提醒 返回 温馨提醒 1 每封信只能投到一个信箱里 而每个信箱可以装1封信 也可以装2封信 其选择不是唯一的 所以应注意由信来选择信箱 每封信有4种选择 2 在处理具体的应用问题时 首先必须弄清楚 分类 与 分步 的具体标准是什么 选择合理的标准处理事情 可以避免计数的重复或遗漏 思想方法感悟提高 1 分类和分步计数原理 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题 区别在于 分类计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了才算完成这件事 2 分类标准要明确 做到不重复不遗漏 3 混合问题一般是先分类再分步 4 要恰当画出示意图或树状图 使问题的分析更直观 清楚 便于探索规律 方法与技巧 1 切实理解 完成一件事 的含义 以确定需要分类还是需要分步进行 2 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 3 确定题目中是否有特殊条件限制 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 从0 2中选一个数字 从1 3 5中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为 解析三位数可分成两种情况 1 奇偶奇 2 偶奇奇 对于 1 个位 3种选择 十位 2种选择 百位 2种选择 共12种 对于 2 个位 3种选择 十位 2种选择 百位 1种选择 共6种 即12 6 18 15 18 解析答案 2 小明有4枚完全相同的硬币 每个硬币都分正反两面 他想把4个硬币摆成一摞 且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对 不同的摆法有 种 解析记反面为1 正面为2 则正反依次相对有12121212 21212121两种 有两枚反面相对有21121212 21211212 21212112三种 共5种摆法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 解析答案 3 如果一个三位正整数 a1a2a3 满足a1 a2且a3 a2 则称这样的三位数为凸数 如120 343 275 那么所有凸数的个数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析分8类 当中间数为2时 有1 2 2个 当中间数为3时 有2 3 6个 当中间数为4时 有3 4 12个 当中间数为5时 有4 5 20个 当中间数为6时 有5 6 30个 当中间数为7时 有6 7 42个 当中间数为8时 有7 8 56个 当中间数为9时 有8 9 72个 故共有2 6 12 20 30 42 56 72 240个 答案240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 集合P x 1 Q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且P Q 把满足上述条件的一对有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是 解析当x 2时 x y 点的个数为1 7 7 当x 2时 x y 点的个数为7 1 7 则共有14个点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 解析答案 5 从 2 1 0 1 2 3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ax2 bx c的系数a b c 则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为 解析分三步 第一步c 0只有1种方法 第二步确定a a从 2 1中选一个 有2种不同方法 第三步确定b b从1 2 3中选一个 有3种不同的方法 根据分步计数原理得1 2 3 6种不同的方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2015北京世界田径锦标赛上 8名女运动员参加100米决赛 其中甲 乙 丙三人必须在1 2 3 4 5 6 7 8八条跑道的奇数号跑道上 则安排这8名运动员比赛的方式共有 种 解析分两步安排这8名运动员 第一步 安排甲 乙 丙三人 共有1 3 5 7四条跑道可安排 所以安排方式有4 3 2 24种 第二步 安排另外5人 可在2 4 6 8及余下的一条奇数号跑道安排 所以安排方式有5 4 3 2 1 120种 所以安排这8人的方式有24 120 2880种 2880 解析答案 7 如图 将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移 组成一个首尾相接的三角形 则三条线段一共至少需要移动 格 解析如图 将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形 根据平移的基本性质知 左边的线段向右平移3格 中间的线段向下平移2格 最右边的线段先向左平移2格 再向上平移2格 此时平移的格数最少为3 2 2 2 9 其他平移方法都超过9格 至少需要移动9格 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 将数字1 2 3 4填入标号为1 2 3 4的四个方格 每格填一个数 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 种 解析编号为1的方格内填数字2 共有3种不同填法 编号为1的方格内填数字3 共有3种不同填法 编号为1的方格内填数字4 共有3种不同填法 于是由分类计数原理 得共有3 3 3 9种不同的填法 9 解析答案 9 有一项活动需在3名老师 6名男同学和8名女同学中选人参加 1 若只需一人参加 有多少种不同选法 解只需一人参加 可按老师 男同学 女同学分三类各自有3 6 8种方法 总方法数为3 6 8 17种 2 若需一名老师 一名学生参加 有多少种不同选法 解分两步 先选教师共3种选法 再选学生共6 8 14种选法 由分步计数原理知 总方法数为3 14 42种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 若需老师 男同学 女同学各一人参加 有多少种不同选法 解教师 男同学 女同学各一人可分三步 每步方法依次为3 6 8种 由分步计数原理知总方法数为3 6 8 144种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 为了做好阅兵人员的运输 从某运输公司抽调车辆支援 该运输公司有7个车队 每个车队的车辆均多于4辆 现从这个公司中抽调10辆车 并且每个车队至少抽调1辆 那么共有多少种不同的抽调方法 解在每个车队抽调1辆车的基础上 还需抽调3辆车 一类是从2个车队中抽调 其中1个车队抽调1辆 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 种 解析分两步 第一步 选派一名教师到甲地 另一名到乙地 第二步 选派两名学生到甲地 另外两名到乙地 由分步计数原理 不同选派方案共有2 6 12种 12 解析答案 12 已知集合M 1 2 3 N 1 2 3 4 定义函数f M N 若点A 1 f 1 B 2 f 2 C 3 f 3 ABC的外接圆圆心为D 且 R 则满足条件的函数f x 有 种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 且BA BC 必有f 1 f 3 f 1 f 2 当f 1 f 3 1时 f 2 2 3 4 有三种情况 f 1 f 3 2 f 2 1 3 4 有三种情况 f 1 f 3 3 f 2 2 1 4 有三种情况 f 1 f 3 4 f 2 2 3 1 有三种情况 因而满足条件的函数f x 有12种 答案12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数 如22 121 3443 94249等 显然2位回文数有9个 11 22 33 99 3位回文数有90个 101 111 121 191 202 999 则 1 4位回文数有 个 解析4位回文数相当于填4个方格 首尾相同 且不为0 共9种填法 中间两位一样 有10种填法 共计9 10 90种填法 即4位回文数有90个 90 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2n 1 n N 位回文数有 个 解析根据回文数的定义 此问题也可以转化成填方格 结合分步计数原理 知有9 10n种填法 9 10n 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 某外语组有9人 每人至少会英语和日语中的一门 其中7人会英语 3人会日语 从中选出会英语和日语的各一人 有多少种不同的选法 解由题意得有1人既会英语又会日语 6人只会英语 2人只会日语 第一类 从只会英语的6人中选1人说英语 共有6种方法 则说日语的有2 1 3种 此时共有6 3 18种 第二类 不从只会英语的6人中选1人说英语 则只有1种方法 则选会日语的有2种 此时共有1 2 2种 所以根据分类计数原理知共有18 2 20 种 选法 解析答案 15 将红 黄 绿 黑4种不同的颜色分别涂入图中的五个区域内 要求相邻的两个区域的颜色都不相同 则有多少种不同涂色方法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解方法一本题利用了分步计数原理求涂色问题 给出区域标记号A B C D E 如图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则A区域有4种不同的涂色方法 B区域有3种 C区域有2种 D区域有2种 但E区域的涂色依赖于B与D涂的颜色 如果B与D颜色相同有2种涂色方法 不相同 则只有1种 因此应先分类后分步 解析答案 当B与D同色时 有4 3 2 1 2 48种 当B与D不同色时 有4 3 2 1 1 24种 故共有48 24 72种不同的涂色方法 方法二按用3种或用4种颜色分两类 第一类用3种 此时A与E B与D分别同色 第二类用4种 此时A与E B与D有且只有一组同色 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 由分类计数原理知涂法总数为24 48 72种 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15