高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型课件 文.ppt

11 2古典概型 第十一章概率 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 审题路线图系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 基本事件的特点 1 任何两个基本事件是的 2 任何事件 除不可能事件 都可以表示成的和 2 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型 简称古典概型 1 所有的基本事件 2 每个基本事件的发生都是 互斥 基本事件 只有有限个 等可能的 知识梳理 1 答案 3 如果1试验的等可能基本事件共有n个 那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件 那么事件A发生的概率为P A 4 古典概型的概率公式 P A 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 在适宜条件下 种下一粒种子观察它是否发芽 属于古典概型 其基本事件是 发芽与不发芽 2 掷一枚硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三个结果是等可能事件 3 从市场上出售的标准为500 5g的袋装食盐中任取一袋 测其重量 属于古典概型 思考辨析 答案 4 教材改编 有3个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 5 从1 2 3 4 5中任取出两个不同的数 其和为5的概率是0 2 6 在古典概型中 如果事件A中基本事件构成集合A 且集合A中的元素个数为n 所有的基本事件构成集合I 且集合I中元素个数为m 则事件A的概率为 答案 1 从1 2 3 4中任取2个不同的数 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 解析基本事件的总数为6 构成 取出的2个数之差的绝对值为2 这个事件的基本事件的个数为2 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 2014 陕西改编 从正方形四个顶点及其中心这5个点中 任取2个点 则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为 解析取两个点的所有情况为10种 所有距离不小于正方形边长的情况有6种 解析答案 1 2 3 4 5 3 2015 课标全国 改编 如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这3个数为一组勾股数 从1 2 3 4 5中任取3个不同的数 则这3个数构成一组勾股数的概率为 解析从1 2 3 4 5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 同时掷两个骰子 向上点数不相同的概率为 解析掷两个骰子一次 向上的点数共6 6 36种可能的结果 其中点数相同的结果共有6个 解析答案 1 2 3 4 5 5 从1 2 3 4 5 6这6个数字中 任取2个数字相加 其和为偶数的概率是 解析从6个数字中任取2个数字的可能情况有 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共15种 其中和为偶数的情况有 1 3 1 5 2 4 2 6 3 5 4 6 共6种 1 2 3 4 5 解析答案 返回 题型分类深度剖析 例1袋中有大小相同的5个白球 3个黑球和3个红球 每球有一个区别于其他球的编号 从中摸出一个球 1 有多少种不同的摸法 如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解由于共有11个球 且每个球有不同的编号 故共有11种不同的摸法 又因为所有球大小相同 因此每个球被摸中的可能性相等 故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型 题型一基本事件与古典概型的判断 解析答案 2 若按球的颜色为划分基本事件的依据 有多少个基本事件 以这些基本事件建立概率模型 该模型是不是古典概型 解由于11个球共有3种颜色 因此共有3个基本事件 分别记为A 摸到白球 B 摸到黑球 C 摸到红球 又因为所有球大小相同 显然这三个基本事件出现的可能性不相等 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型 解析答案 思维升华 一个试验是否为古典概型 在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性 只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型 思维升华 下列试验中 是古典概型的个数为 向上抛一枚质地不均匀的硬币 观察正面向上的概率 向正方形ABCD内 任意抛掷一点P 点P恰与点C重合 从1 2 3 4四个数中 任取两个数 求所取两数之一是2的概率 在线段 0 5 上任取一点 求此点小于2的概率 解析 中 硬币质地不均匀 不是等可能事件 所以不是古典概型 的基本事件都不是有限个 不是古典概型 符合古典概型的特点 是古典概型问题 1 跟踪训练1 解析答案 例2 1 已知5件产品中有2件次品 其余为合格品 现从这5件产品中任取2件 恰有一件次品的概率为 题型二古典概型的求法 解析答案 解析5件产品中有2件次品 记为a b 有3件合格品 记为c d e 从这5件产品中任取2件 结果有 a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10种 0 6 2 2015 江苏 袋中有形状 大小都相同的4只球 其中1只白球 1只红球 2只黄球 从中一次随机摸出2只球 则这2只球颜色不同的概率为 解析设取出的2只球颜色不同为事件A 基本事件有 白 红 白 黄 白 黄 红 黄 红 黄 黄 黄 共6种 事件A包含5种 解析答案 3 2014 四川 一个盒子里装有三张卡片 分别标记有数字1 2 3 这三张卡片除标记的数字外完全相同 随机有放回地抽取3次 每次抽取1张 将抽取的卡片上的数字依次记为a b c 求 抽取的卡片上的数字满足a b c 的概率 解析答案 解由题意知 a b c 所有的可能为 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 1 1 3 1 2 3 1 3 3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 3 1 3 3 2 3 3 3 共27种 设 抽取的卡片上的数字满足a b c 为事件A 则事件A包括 1 1 2 1 2 3 2 1 3 共3种 求 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 的概率 解设 抽取的卡片上的数字a b c不完全相同 为事件B 解析答案 1 本例 2 中 将4个球改为颜色相同 标号分别为1 2 3 4的四个小球 从中一次取两球 求标号和为奇数的概率 解基本事件数仍为6 设标号和为奇数为事件A 则A包含的基本事件为 1 2 1 4 2 3 3 4 共4种 引申探究 解析答案 2 本例 2 中 条件不变改为有放回地取球 取两次 求两次取得球的颜色相同的概率 解析答案 思维升华 解基本事件 白 白 白 红 白 黄 白 黄 红 红 红 白 红 黄 红 黄 黄 黄 黄 白 黄 红 黄 黄 黄 黄 黄 白 黄 红 黄 黄 共16种 求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数 这就需要正确列出基本事件 基本事件的表示方法有列举法 列表法和树形图法 具体应用时可根据需要灵活选择 思维升华 将一颗骰子先后抛掷2次 观察向上的点数 求 1 两数中至少有一个奇数的概率 2 以第一次向上的点数为横坐标x 第二次向上的点数为纵坐标y的点 x y 在圆x2 y2 15的外部或圆上的概率 跟踪训练2 解析答案 解由题意 先后抛掷2次 向上的点数 x y 共有n 6 6 36种等可能结果 为古典概型 1 记 两数中至少有一个奇数 为事件B 解析答案 2 点 x y 在圆x2 y2 15的内部记为事件C 又事件C包含基本事件 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 共8种 例3 2015 天津 设甲 乙 丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27 9 18 现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛 1 求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数 题型三古典概型与统计的综合应用 解析答案 解应从甲 乙 丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3 1 2 2 将抽取的6名运动员进行编号 编号分别为A1 A2 A3 A4 A5 A6 现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛 用所给编号列出所有可能的结果 解从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为 A1 A2 A1 A3 A1 A4 A1 A5 A1 A6 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A2 A6 A3 A4 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共15种 解析答案 设A为事件 编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到 求事件A发生的概率 解编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为 A1 A5 A1 A6 A2 A5 A2 A6 A3 A5 A3 A6 A4 A5 A4 A6 A5 A6 共9种 解析答案 思维升华 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型 已成为高考考查的热点 概率与统计结合题 无论是直接描述还是利用频率分布表 频率分布直方图 茎叶图等给出信息 只要能够从题中提炼出需要的信息 则此类问题即可解决 思维升华 2014 山东 海关对同时从A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从各地区进口此种商品的数量 单位 件 如下表所示 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测 1 求这6件样品中来自A B C各地区商品的数量 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 所以A B C三个地区的商品被选取的件数分别是1 3 2 跟踪训练3 解析答案 2 若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测 求这2件商品来自相同地区的概率 解析答案 返回 解设6件来自A B C三个地区的样品分别为 A B1 B2 B3 C1 C2 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为 A B1 A B2 A B3 A C1 A C2 B1 B2 B1 B3 B1 C1 B1 C2 B2 B3 B2 C1 B2 C2 B3 C1 B3 C2 C1 C2 共15个 每个样品被抽到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件D 抽取的这2件商品来自相同地区 则事件D包含的基本事件有 B1 B2 B1 B3 B2 B3 C1 C2 共4个 解析答案 返回 审题路线图系列 典例 14分 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 球的编号分别为1 2 3 4 1 从袋中随机取两个球 求取出的球的编号之和不大于4的概率 2 先从袋中随机取一个球 该球的编号为m 将球放回袋中 然后再从袋中随机取一个球 该球的编号为n 求n m 2的概率 审题路线图系列 六审细节更完善 温馨提醒 返回 审题路线图 解析答案 审题路线图 1 基本事件为取两个球 两球一次取出 不分先后 可用集合的形式表示 把取两个球的所有结果列举出来 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 两球编号之和不大于4 注意 和不大于4 应为小于4或等于4 1 2 1 3 温馨提醒 审题路线图 解析答案 利用古典概型概率公式求解 2 两球分两次取 且有放回 两球的编号记录是有次序的 用坐标的形式表示 基本事件的总数可用列举法表示 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 温馨提醒 审题路线图 解析答案 注意细节 m是第一个球的编号 n是第2个球的编号 n m 2的情况较多 计算复杂 将复杂问题转化为简单问题 计算n m 2的概率 n m 2的所有情况为 1 3 1 4 2 4 温馨提醒 解析答案 规范解答解 1 从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共6个 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有 1 2 1 3 2个 2 先从袋中随机取一个球 记下编号为m 放回后 再从袋中随机取一个球 记下编号为n 其一切可能的结果有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个 8分 温馨提醒 解析答案 又满足条件n m 2的事件为 1 3 1 4 2 4 共3个 故满足条件n m 2的事件的概率为 温馨提醒 1 本题在审题时 要特别注意细节 使解题过程更加完善 如第 1 问 注意两球一起取 实质上是不分先后 再如两球编号之和不大于4 即两球编号之和小于或等于4等 第 2 问 有先后顺序 2 在列举基本事件空间时 可以利用列举 画树状图等方法 以防遗漏 同时要注意细节 如用列举法 第 1 问写成 1 2 的形式 表示无序 第 2 问写成 1 2 的形式 表示有序 3 本题解答时 存在格式不规范 思维不流畅的严重问题 如在解答时 缺少必要的文字说明 没有按要求列出基本事件 在第 2 问中 由于不能将求事件n m 2的概率转化成先求n m 2的概率 导致数据复杂 易错 所以按要求规范解答是做好此类题目的基本要求 返回 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 古典概型计算三步曲第一 本试验是不是等可能的 第二 本试验的基本事件有多少个 第三 事件A是什么 它包含的基本事件有多少个 2 确定基本事件的方法 1 当基本事件总数较少时 可列举计算 2 列表法 树状图法 3 较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件 对立事件 相互独立事件的概率公式简化运算 方法与技巧 1 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性 一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时 它们是不是等可能的 2 概率的一般加法公式 P A B P A P B P A B 公式使用中要注意 1 公式的作用是求A B的概率 当A B 时 A B互斥 此时P A B 0 所以P A B P A P B 2 要计算P A B 需要求P A P B 更重要的是把握事件A B 并求其概率 3 该公式可以看作一个方程 知三可求一 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 袋中装有6个白球 5个黄球 4个红球 从中任取一球抽到白球的概率为 解析从15个球中任取一球有15种抽法 抽到白球有6种 解析答案 2 若某公司从五位大学毕业生甲 乙 丙 丁 戊中录用三人 这五人被录用的机会均等 则甲或乙被录用的概率为 解析由题意知 从五位大学毕业生中录用三人 所有不同的可能结果有 甲 乙 丙 甲 乙 丁 甲 乙 戊 甲 丙 丁 甲 丙 戊 甲 丁 戊 乙 丙 丁 乙 丙 戊 乙 丁 戊 丙 丁 戊 共10种 其中 甲与乙均未被录用 的所有不同的可能结果只有 丙 丁 戊 这1种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 2015年暑假里 甲乙两人一起去游泰山 他们约定 各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览 每个景点参观1小时 则最后1小时他们同在一个景点的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析最后一个景点甲有6种选法 乙有6种选法 共有36种 他们选择相同的景点有6种 4 连掷两次骰子分别得到点数m n 则向量 m n 与向量 1 1 的夹角 90 的概率是 解析 m n 1 1 m nn 基本事件总共有6 6 36 个 符合要求的有 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 4 6 1 6 5 共1 2 3 4 5 15 个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 5 现有10个数 它们能构成一个以1为首项 3为公比的等比数列 若从这10个数中随机抽取一个数 则它小于8的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析an 3 n 1 a2 3 a3 9 a4 27 小于8的项共有a1 a2 a4 a6 a8 a10 共6项 6 2014 浙江 在3张奖券中有一 二等奖各1张 另1张无奖 甲 乙两人各抽取1张 两人都中奖的概率是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析设中一 二等奖及不中奖分别记为1 2 0 那么甲 乙抽奖结果有 1 2 1 0 2 1 2 0 0 1 0 2 共6种 其中甲 乙都中奖有 1 2 2 1 共2种 7 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色 每个矩形只涂一种颜色 则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是 解析由于只有两种颜色 不妨将其设为1和2 若只用一种颜色有111 222 若用两种颜色有122 212 221 211 121 112 所以基本事件共有8种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 8 连续2次抛掷一枚骰子 六个面上分别标有数字1 2 3 4 5 6 记 两次向上的数字之和等于m 为事件A 则P A 最大时 m 解析1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 5 7 2 6 8 依次列出m的可能的值 知7出现次数最多 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 9 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m n 令平面向量a m n b 1 3 1 求使得事件 a b 发生的概率 解由题意知 m 1 2 3 4 5 6 n 1 2 3 4 5 6 故 m n 所有可能的取法共36种 a b 即m 3n 0 即m 3n 共有2种 3 1 6 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 求使得事件 a b 发生的概率 解 a b 即m2 n2 10 共有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 3 1 6种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 10 有7位歌手 1至7号 参加一场歌唱比赛 由500名大众评委现场投票决定歌手名次 根据年龄将大众评委分为五组 各组的人数如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 为了调查大众评委对7位歌手的支持情况 现用分层抽样方法从各组中抽取若干名大众评委 其中从B组中抽取了6人 请将其余各组抽取的人数填入下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解由题设知 分层抽样的抽取比例为6 所以各组抽取的人数如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 在 1 中 若A B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手 现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人 求这2人都支持1号歌手的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解记从A组抽到的3个评委为a1 a2 a3 其中a1 a2支持1号歌手 从B组抽到的6个评委为b1 b2 b3 b4 b5 b6 其中b1 b2支持1号歌手 从 a1 a2 a3 和 b1 b2 b3 b4 b5 b6 中各抽取1人的所有结果为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由以上树状图知所有结果共18种 其中2人都支持1号歌手的有a1b1 a1b2 a2b1 a2b2共4种 11 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 解析如图所示 从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点 可以看作随机选2个顶点 剩下的4个顶点构成四边形 有A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共15种 若要构成矩形 只要选相对顶点即可 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 已知集合M 1 2 3 4 N a b a M b M A是集合N中任意一点 O为坐标原点 则直线OA与y x2 1有交点的概率是 解析易知过点 0 0 与y x2 1相切的直线为y 2x 斜率小于0的无需考虑 集合N中共有16个元素 其中使OA斜率不小于2的有 1 2 1 3 1 4 2 4 共4个 13 一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球 其中一个编号为1 两个编号为2 三个编号为3 现从中任取一球 记下编号后放回 再任取一球 则两次取出的球的编号之和等于4的概率是 解析基本事件数为6 6 36 编号之和为4的有 10种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 14 甲 乙两人用4张扑克牌 分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4 玩游戏 他们将扑克牌洗匀后 背面朝上放在桌面上 甲先抽 乙后抽 抽出的牌不放回 各抽一张 1 设 i j 表示甲 乙抽到的牌的牌面数字 如果甲抽到红桃2 乙抽到红桃3 记为 2 3 写出甲 乙两人抽到的牌的所有情况 解方片4用4 表示 则甲 乙两人抽到的牌的所有情况为 2 3 2 4 2 4 3 2 3 4 3 4 4 2 4 3 4 4 4 2 4 3 4 4 共12种不同的情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 若甲抽到红桃3 则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少 解甲抽到3 乙抽到的牌只能是2 4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 甲 乙约定 若甲抽到的牌的牌面数字比乙大 则甲胜 否则 乙胜 你认为此游戏是否公平 请说明理由 解甲抽到的牌的牌面数字比乙大 有 3 2 4 2 4 3 4 2 4 3 共5种情况 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 2014 福建 根据世行2013年新标准 人均GDP低于1035美元为低收入国家 人均GDP为1035 4085美元为中等偏下收入国家 人均GDP为4085 12616美元为中等偏上收入国家 人均GDP不低于12616美元为高收入国家 某城市有5个行政区 各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为6400 4085 12616 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准 解析答案 2 现从该城市5个行政区中随机抽取2个 求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 从5个行政区中随机抽取2个 的所有的基本事件是 A B A C A D A E B C B D B E C D C E D E 共10个 设事件 抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准 为M 则事件M包含的基本事件是 A C A E C E 共3个 解析答案 返回