高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件(理).ppt

第二节二元一次不等式 组 与简单的线性规划问题 知识梳理 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域 边界直线 公共部分 2 线性规划中的有关概念 不等式 组 不等式 组 解析式 一次 可行解 最大值或最小值 最大值 最小值 3 确定二元一次不等式 组 表示的平面区域的方法确定二元一次不等式 组 表示的平面区域时 经常采用 直线定界 特殊点定域 的方法 1 直线定界 不等式含等号 直线在区域内 不含等号 直线不在区域内 2 特殊点定域 在直线上方 下方 取一点 代入不等式成立 则区域就为上方 下方 否则就是下方 上方 特别地 当C 0时 常把原点作为测试点 当C 0时 常选点 1 0 或者 0 1 作为测试点 特别提醒 1 判断二元一次不等式表示的平面区域的常用结论把Ax By C 0或Ax By Ckx b或ykx b则区域为直线Ax By C 0上方 2 若y kx b则区域为直线Ax By C 0下方 2 最优解与可行解的关系最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 小题快练 链接教材练一练1 必修5P86练习T3改编 不等式组表示的平面区域是 解析 选C x 3y 6 0表示直线x 3y 6 0左上方部分 x y 2 0表示直线x y 2 0及其右下方部分 故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分 2 必修5P93习题3 3A组T2改编 已知x y满足则z 3x y的最小值为 解析 由题意画出平面区域如图 当直线z 3x y经过点A时 z取得最小值 由可得即点A 1 3 所以zmin 3x y 3 1 3 0 答案 0 感悟考题试一试3 2015 安徽高考 已知x y满足约束条件则z 2x y的最大值是 A 1B 2C 5D 1 解题提示 正确画出平面区域的可行域 是一个三角形 再数形结合计算求值 解析 选A 根据题意画出约束条件确定的可行域 如图所示 因为z 2x y 则y 2x z 可知过图中点A 1 1 时 z 2x y取得最大值 1 故选A 4 2015 广东高考 若变量x y满足约束条件则z 3x 2y的最小值为 解析 选C 不等式组所表示的可行域如图所示 由z 3x 2y得y 依题当目标函数直线l y 经过A时 z取得最小值 即zmin 3 1 2 5 2015 全国卷 若x y满足约束条件则z 3x y的最大值为 解析 画出可行域如图所示 目标函数y 3x z 当z取到最大值时 y 3x z的纵截距最大 即将直线移到点C时 解得C 1 1 zmax 3 1 1 4 答案 4 考向一平面区域的面积问题 典例1 1 2016 北京模拟 在平面直角坐标系xOy中 不等式组表示图形的面积等于 A 1B 2C 3D 4 2 2016 郑州模拟 已知不等式组表示的平面区域为D 若直线y kx 1将区域D分成面积相等的两部分 则实数k的值是 解题导引 1 画出不等式组所表示的平面区域 根据图形便可计算面积 2 画出不等式组表示的平面区域 直线y kx 1过定点 0 1 利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点 然后代入求k值 规范解答 1 选B 不等式组对应的平面区域如图 对应的区域为正方形ABCD 其中A 0 1 D 1 0 边长AD 则正方形的面积S 2 故选B 2 区域D如图中的阴影部分所示 直线y kx 1经过定点C 0 1 如果其把区域D划分为面积相等的两个部分 则直线y kx 1只要经过AB的中点即可 由方程组解得A 1 0 由方程组解得B 2 3 所以AB的中点坐标为代入直线方程y kx 1得 解得答案 规律方法 求平面区域面积的方法 1 利用一般方法求解 画出不等式组表示的平面区域 若不能直接画出 应利用题目的已知条件转化为不等式组问题 再作出平面区域 对平面区域进行分析 若为三角形应确定底与高 若为规则的四边形 如平行四边形或梯形 可利用面积公式直接求解 若为不规则四边形 可分割成几个三角形分别求解再求和即可 2 利用几何意义求解 利用几何意义求解的平面区域问题 也应作出平面图形 利用数形结合的方法去求解 变式训练 2014 安徽高考 不等式组表示的平面区域的面积为 解析 如图所示 可得点A 0 2 B 2 0 C 8 2 根据图形计算可得S ABC 2 2 2 2 4 答案 4 加固训练 1 不等式组所表示的平面区域的面积等于 解析 选C 平面区域如图所示 解得A 1 1 易得B 0 4 C BC 所以S ABC 2 2016 汕头模拟 已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域 则实数k的值为 A 1B 1C 0D 2 解析 选A 先作出不等式组对应的平面区域 如图 要使阴影部分为直角三角形 当k 0时 此三角形的面积为 3 3 1 所以不成立 所以k 0 则必有BC AB 因为x y 4 0的斜率为 1 所以直线kx y 0的斜率为1 即k 1 故选A 3 设动点P x y 在区域 上 过点P任作直线l 设直线l与区域 的公共部分为线段AB 则以AB为直径的圆的面积的最大值为 A B 2 C 3 D 4 解析 选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示 则根据图形可知 以AB为直径的圆的面积的最大值S 4 4 求不等式组所表示的平面区域的面积 解析 如图 平面区域为直角梯形 易得A 0 2 B 2 2 C 2 7 D 0 5 所以AD 3 AB 2 BC 5 故所求区域的面积为S 3 5 2 8 考向二线性规划相关问题 考情快递 考题例析 命题方向1 求目标函数的最值 典例2 1 2015 全国卷 若x y满足约束条件则z 2x y的最大值为 本题源自人A必修5P91练习T1 2 2015 全国卷 若x y满足约束条件则的最大值为 解题导引 1 此题为截距型 根据约束条件画出可行域 在三角区域的顶点处取得最值 2 此题为斜率型 作出可行域 由斜率的意义知 是可行域内一点与原点连线的斜率 数形结合可求最值 规范解答 1 画出可行域如图所示 目标函数y 2x z 当z取到最大值时 y 2x z的纵截距最大 故将直线移到点B 3 2 时 zmax 2 3 2 8 答案 8 2 作出可行域如图中阴影部分所示 由斜率的意义知 是可行域内一点与原点连线的斜率 由图可知 点A 1 3 与原点连线的斜率最大 故的最大值为3 答案 3 母题变式 1 本例题 1 条件不变 求z 2x y的最小值 解析 由例题解析知 当将直线移到点A时 取得最小值 A点是直线2x y 1 0和x 2y 1 0的交点 所以A点坐标为 1 1 所以z的最小值为zmin 2 1 1 3 2 本例题 1 条件变为求z 2x y的最大值 解析 作图易知可行域为一个三角形 当直线z 2x y过点A 2 1 时 z取最大值 最大值是3 命题方向2 求参数的值或范围 典例3 1 2015 福建高考 变量x y满足约束条件若z 2x y的最大值为2 则实数m等于 A 2B 1C 1D 2 2 2014 安徽高考 x y满足约束条件若z y ax取得最大值的最优解不唯一 则实数a的值为 A 或 1B 2或C 2或1D 2或 1 解题导引 1 将目标函数变形为y 2x z 结合题意 对m分类讨论 画出可行域 结合图象 可找出最优解 进而求出m的值 2 作出可行域 分析题干可知线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合 进而可求解 规范解答 1 选C 如图所示 当m 0时 比如在 的位置 此时为开放区域无最大值 当m 2时 比如在 的位置 此时在原点取得最大值不满足题意 当0 m 2时 在点A取得最大值 所以代入得m 1 2 选D 由线性约束条件可得其图象如图所示 由图象可知直线z y ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一 此时a 2或 1 技法感悟 线性规划两类问题的解决方法 1 求目标函数的最值 画出可行域后 要根据目标函数的几何意义求解 常见的目标函数有 截距型 形如z ax by 距离型 形如 斜率型 形如 2 求参数的值或范围 参数的位置可能在目标函数中 也可能在约束条件中 求解步骤为 注意对参数取值的讨论 将各种情况下的可行域画出来 在符合题意的可行域里 寻求最优解 题组通关 1 2015 福建高考 若变量x y满足约束条件则z 2x y的最小值等于 解析 选A 画出可行域如图所示 当目标函数平移至B点时截距最大 所以把点B坐标代入目标函数可得zmin 2 1 2 2014 全国卷 设x y满足约束条件且z x ay的最小值为7 则a A 5B 3C 5或3D 5或 3 解析 选B 方法一 画出不等式组对应的平面区域 如图所示 联立解得所以当a 0时A为z x ay的最小值为 不满足题意 当a 0时 由z x ay得y 要使z最小 则直线y 在y轴上的截距最大 此时最优解不存在 当a 0时 当直线过点A时截距最小 z最小 此时z 7 解得a 5 舍去 或a 3 方法二 先画出可行域 然后根据图形结合选项求解 当a 5时 作出不等式组表示的可行域 如图1 阴影部分 由得交点A 3 2 则目标函数z x 5y过A点时取得最大值 zmax 3 5 2 7 不满足题意 排除A C选项 当a 3时 作出不等式组表示的可行域 如图2 阴影部分 由得交点B 1 2 则目标函数z x 3y过B点时取得最小值 zmin 1 3 2 7 满足题意 3 2014 浙江高考 当实数x y 满足时 1 ax y 4恒成立 则实数a的取值范围是 解析 作出不等式组所表示的区域 由1 ax y 4 由图可知 a 0且在 1 0 点取得最小值 在 2 1 点取得最大值 所以a 1 2a 1 4 故a的取值范围为答案 考向三线性规划实际应用 典例4 1 2015 陕西高考 某企业生产甲 乙两种产品均需用A B两种原料 已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示 如果生产1吨甲 乙产品可获利润分别为3万元 4万元 则该企业每天可获得最大利润为 A 12万元B 16万元C 17万元D 18万元 2 2016 芜湖模拟 某玩具生产公司每天计划生产卫兵 骑兵 伞兵这三种玩具共100个 生产一个卫兵需5分钟 生产一个骑兵需7分钟 生产一个伞兵需4分钟 已知总生产时间不超过10小时 若生产一个卫兵可获利润5元 生产一个骑兵可获利润6元 生产一个伞兵可获利润3元 用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y 表示每天的利润W 元 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大 最大利润是多少 解题导引 1 把企业的生产实际抽象为不等式组 表示出目标函数 画出可行域 根据可行域可找出最优解 2 把公司生产的约束条件 翻译 成不等式组 画出可行域 可求目标函数最值 规范解答 1 选D 设每天生产甲 乙两种产品分别为x吨 y吨 利润为z万元 则目标函数为z 3x 4y 作出二元一次不等式组所表示的平面区域 阴影部分 即可行域 由z 3x 4y得平移直线由图象可知当直线经过点A时 直线在y轴上的截距最大 此时z最大 解方程组即A的坐标为 2 3 所以zmax 3x 4y 6 12 18 即每天生产甲 乙两种产品分别为2吨 3吨 能够产生最大的利润 最大的利润是18万元 2 依题意 每天生产的伞兵个数为100 x y 所以利润W 5x 6y 3 100 x y 2x 3y 300 约束条件为整理 得 目标函数为W 2x 3y 300 如图所示 作出可行域 初始直线l0 2x 3y 0 平移初始直线经过点A时 W有最大值 最优解为A 50 50 所以Wmax 2 50 3 50 300 550 元 答 每天生产卫兵50个 骑兵50个 伞兵0个时利润最大 为550元 易错警示 解答本例题 2 容易出现以下错误 1 弄不清约束条件 列不等式组时写错不等号的方向 2 忽略总生产时间不超过10小时的条件 或用不等式表示不准确 规律方法 利用线性规划解决实际问题的一般步骤 1 审题 仔细阅读材料 抓住关键 准确理解题意 明确有哪些限制条件 借助表格或图形理清变量之间的关系 2 设元 设问题中起关键作用的 或关联较多的 量为未知量x y 并列出相应的不等式组和目标函数 3 作图 准确作出可行域 平移找点 最优解 4 求解 代入目标函数求解 最大值或最小值 5 检验 根据结果 检验反馈 变式训练 2016 南安模拟 某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机 每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位 而生产一台A型或B型电视机所耗原料分别为2和3个单位 所需工时分别为4和2个单位 如果允许使用的原料为100个单位 工时为120个单位 且A或B型电视机产量分别不低于5台和10台 应当生产每种类型电视机多少台 才能使利润最大 解析 设生产A型电视机x台 B型电视机y台 则根据已知条件知线性约束条件为 线性目标函数为z 6x 4y 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示 作直线l0 3x 2y 0 当直线l0平移至过点A时 z取最大值 解方程组所以生产两种类型电视机各20台 所获利润最大 加固训练 1 某旅行社租用A B两种型号的客车安排900名客人旅行 A B两种车辆的载客量分别为36人和60人 租金分别为1600元 辆和2400元 辆 旅行社要求租车总数不超过21辆 且B型车不多于A型车7辆 则租金最少为 A 31200元B 36000元C 36800元D 38400元 解析 选C 设旅行社租用A型客车x辆 B型客车y辆 租金为z 则线性约束条件为目标函数为z 1600 x 2400y 画出可行域 图中阴影部分所示 可知目标函数过点N 5 12 时 有最小值zmin 36800 元 2 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过50亩 投入资金不超过54万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位 亩 分别为 A 50 0B 30 20C 20 30D 0 50 解析 选B 设黄瓜 韭菜的种植面积分别为x y亩 则总利润z 4 0 55x 6 0 3y 1 2x 0 9y x 0 9y 此时x y满足条件画出可行域如图 得最优解为A 30 20 3 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克 B原料2千克 生产乙产品1桶需耗A原料2千克 B原料1千克 每桶甲产品的利润是300元 每桶乙产品的利润是400元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗A B原料都不超过12千克 通过合 理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最大利润是 A 1800元B 2400元C 2800元D 3100元 解析 选C 设某公司生产甲产品x桶 生产乙产品y桶 获利为z元 则x y满足的线性约束条件为目标函数z 300 x 400y 作出可行域 如图中四边形OABC的边界及其内部整点 作直线l0 3x 4y 0 平移直线l0经可行域内点B时 z取最大值 由得B 4 4 满足题意 所以zmax 4 300 4 400 2800 元 4 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C 一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物 6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C 另外 该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水 化合物 42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是2 5元和4元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花的费用为z元 则依题意得 z 2 5x 4y 且x y满足 作出可行域如图 利用平移法可知z的最小值一定在A B C D四点处的某一点处取得 z在可行域的四个顶点A 9 0 B 4 3 C 2 5 D 0 8 处的值分别是 zA 2 5 9 4 0 22 5 zB 2 5 4 4 3 22 zC 2 5 2 4 5 25 zD 2 5 0 4 8 32 比较之 zB最小 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求 一题多解 本题还可以使用以下解法 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位 所花的费用为z元 z 2 5x 4y 且x y满足 让目标函数表示的直线2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在 4 3 处取得最小值 因此 应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐 就可满足要求