高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.10 圆锥曲线的综合问题课件(理).ppt

第十节圆锥曲线的综合问题 考向一圆锥曲线的定点问题 典例1 2016 洛阳模拟 椭圆C 1 a b 0 的离心率为 其左焦点到点P 2 1 的距离为 1 求椭圆C的标准方程 2 若直线l y kx m与椭圆C相交于A B两点 A B不是左 右顶点 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 解题导引 1 由左焦点到点P 2 1 的距离 即可求出c值 再由离心率得出a的值 从而得出椭圆方程 2 直线方程与椭圆方程联立 由圆过椭圆C的右顶点 得出k m的关系式 从而证明直线过定点 规范解答 1 因为左焦点 c 0 到点P 2 1 的距离为 所以解得c 1 又e 解得a 2 所以b2 a2 c2 3 所以所求椭圆C的方程为 1 2 设A x1 y1 B x2 y2 由消去y得 3 4k2 x2 8mkx 4 m2 3 0 64m2k2 16 3 4k2 m2 3 0 化为3 4k2 m2 所以 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 mk x1 x2 m2 因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D 2 0 kAD kBD 1 所以 1 所以y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 所以 0 化为7m2 16mk 4k2 0 解得m1 2k m2 且满足3 4k2 m2 0 当m 2k时 l y k x 2 直线过定点 2 0 与已知矛盾 当m 时 l y 直线过定点综上可知 直线l过定点 母题变式 1 若本例的条件 以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 改为 以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点 则直线l是否还过定点 若过定点 求出该定点的坐标 若不过定点 说明理由 解析 设A x1 y1 B x2 y2 由消去y得 3 4k2 x2 8mkx 4 m2 3 0 64m2k2 16 3 4k2 m2 3 0 化为3 4k2 m2 所以 y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 mk x1 x2 m2 因为以AB为直径的圆过椭圆左顶点D 2 0 kAD kBD 1 所以 1 所以y1y2 x1x2 2 x1 x2 4 0 所以 0 化为7m2 16mk 4k2 0 解得m1 2k m2 且满足3 4k2 m2 0 当m 2k时 l y k x 2 直线过定点 2 0 与已知矛盾 当m 时 l y 直线过定点综上可知 直线l过定点 2 若典例1条件不变 将 2 改为直线y kx m k0 与y轴交点为P 与x轴交点为Q 与椭圆C交于点M N 点M N在第一或第四象限 若求证 直线y kx m过定点 证明 直线y kx m k0 与y轴交于点P 0 m 与x轴交于点设M x1 y1 N x2 y2 则 PM PN PQ 因为所以由得 4k2 3 x2 8kmx 4m2 12 0 所以因此又m 0 所以m 3 因此直线y kx m过定点 0 3 规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 变式训练 2015 全国卷 在直角坐标系xOy中 曲线C y 与直线y kx a a 0 交于M N两点 1 当k 0时 分别求C在点M和N处的切线方程 2 y轴上是否存在点P 使得当k变动时 总有 OPM OPN 说明理由 解题提示 1 先求出M N的坐标 再利用导数求出在M N处切线的斜率 进而得到切线方程 2 先作出判定 再将y kx a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程 设出M N的坐标和P点坐标 利用设而不求思想 将直线PM PN的斜率之和用a表示出来 利用直线PM PN的斜率之和为0 即可求出a b关系 从而找出适合条件的P点坐标 解析 1 由题设可得M 2 a N 2 a 或M 2 a N 2 a 又y 故y 在x 2处的导数值为 曲线C在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 y 在x 2处的导数值为 曲线C在点 2 a 处的切线方程为y a x 2 即x y a 0 2 存在符合题意的点P 证明如下 设P 0 b 为符合题意的点 M x1 y1 N x2 y2 直线PM PN的斜率分别为k1 k2 将y kx a代入C的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 从而k1 k2 当b a时 有k1 k2 0 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以点P 0 a 符合题意 加固训练 1 2016 哈尔滨模拟 已知圆M x2 y 2 2 1 直线l y 1 动圆P与圆M相外切 且与直线l相切 设动圆圆心P的轨迹为E 1 求E的方程 2 若点A B是E上的两个动点 O为坐标原点 且 16 求证 直线AB恒过定点 解析 1 设P x y 则 y 1 1 x2 8y 所以E的方程为x2 8y 2 易知直线AB的斜率存在 设直线AB y kx b A x1 y1 B x2 y2 将直线AB的方程代入x2 8y中 得x2 8kx 8b 0 所以x1 x2 8k x1x2 8b x1x2 y1y2 x1x2 8b b2 16 b 4 所以直线AB恒过定点 0 4 2 2016 长春模拟 已知点E m 0 为抛物线y2 4x内一个定点 过点E斜率分别为k1 k2的两条直线交抛物线于点A B C D 且M N分别是AB CD的中点 1 若m 1 k1k2 1 求三角形EMN面积的最小值 2 若k1 k2 1 求证 直线MN过定点 解析 1 当m 1时 E为抛物线y2 4x的焦点 则AB方程为y k1 x 1 设A x1 y1 B x2 y2 由得k1y2 4y 4k1 0 y1 y2 y1y2 4 AB中点同理 点N 2k12 1 2k1 因为k1k2 1 所以AB CD 所以S EMN EM EN 当且仅当即k1 1时 EMN的面积取最小值 2 设AB方程为y k1 x m A x1 y1 B x2 y2 由得k1y2 4y 4k1m 0 y1 y2 y1y2 4m AB中点所以同理 点 因为k1 k2 1 所以kMN k1k2 所以lMN 即y k1k2 x m 2 所以直线MN恒过定点 m 2 考向二圆锥曲线中的定值问题 典例2 2015 全国卷 已知椭圆C 9x2 y2 m2 m 0 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点为M 1 证明 直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值 2 若l过点延长线段OM与C交于点P 四边形OAPB能否为平行四边形 若能 求此时l的斜率 若不能 说明理由 解题导引 1 将直线y kx b k 0 b 0 与椭圆C 9x2 y2 m2 m 0 联立 结合根与系数的关系及中点坐标公式证明 2 由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分求解证明 规范解答 1 设直线l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 将y kx b代入9x2 y2 m2得 k2 9 x2 2kbx b2 m2 0 故于是直线OM的斜率kOM 即kOM k 9 所以直线OM的斜率与l的斜率的积是定值 一题多解 解答本例 1 还有以下解法 设A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 因为A B两点在椭圆C 9x2 y2 m2上 所以9x12 y12 m2 9x22 y22 m2 两式相减得 9 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 又因为AB的中点为M xM yM 所以9 2xM x1 x2 2yM y1 y2 0 直线l的斜率kl 又因为kOM 所以kl kOM 9 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 2 四边形OAPB能为平行四边形 因为直线l过点所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k 0 k 3 由 1 得OM的方程为y 设点P的横坐标为xp 由得将点的坐标代入l的方程得b 因此xM 四边形OAPB为平行四边形 当且仅当线段AB与线段OP互相平分 即xP 2xM 于是解得k1 4 k2 4 因为ki 0 ki 3 i 1 2 所以当l的斜率为4 或4 时 四边形OAPB为平行四边形 规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 1 特点 特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值 2 两大解法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 引进变量法 其解题流程为 变式训练 2015 全国卷 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 点 2 在C上 1 求C的方程 2 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点为M 证明 直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 解题提示 1 可利用方程的思想 求出椭圆C的方程 2 设直线l的方程 同时和椭圆方程联立 利用一元二次方程的根与系数的关系求弦AB的中点 从而完成证明 解析 1 由题意有解得a2 8 b2 4 所以C的方程为 1 2 设直线l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 将y kx b代入 1得 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 xM yM kxM b 于是直线OM的斜率kOM 即kOM k 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 一题多解 解答本题 2 还有以下解法 设A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 因为A B两点在椭圆C 1上 所以 1 1 两式相减得 0 又因为AB的中点为M xM yM 所以 0 直线l的斜率kl 又因为kOM 所以kl kOM 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 加固训练 1 已知直线l y x 圆O x2 y2 5 椭圆E 1 a b 0 的离心率e 直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等 1 求椭圆E的方程 2 过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线 若切线都存在斜率 求证 两切线斜率之积为定值 解析 1 设椭圆半焦距为c 圆心O到l的距离d 所以b 由题意得 又b 所以a2 3 b2 2 所以椭圆E的方程为 1 2 设点P x0 y0 过点P的椭圆E的切线l0的方程为y y0 k x x0 联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得 3 2k2 x2 4k y0 kx0 x 2 kx0 y0 2 6 0 因为l0与椭圆E相切 所以 4k y0 kx0 2 4 3 2k2 2 kx0 y0 2 6 0 整理得 2 x02 k2 2kx0y0 y02 3 0 设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1 k2 则k1 k2 因为点P在圆O上 所以x02 y02 5 所以k1 k2 1 所以两条切线斜率之积为常数 1 2 设椭圆方程 1 a b 0 离心率为 过右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A B两点 AB 2 1 求该椭圆的标准方程 2 设动点P x0 y0 满足其中M N是椭圆上的点 直线OM与ON的斜率之积为 求证 x02 2y02为定值 解析 1 e2 即a2 2b2 因为过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A B两点 AB 2 所以由椭圆的对称性知 椭圆过点 c 1 即解得a2 4 b2 2 故椭圆方程为 1 2 设M x1 y1 N x2 y2 则kOMkON 化简为x1x2 2y1y2 0 因为M N是椭圆上的点 所以 由得所以x02 2y02 x1 2x2 2 2 y1 2y2 2 x12 2y12 4 x22 2y22 4 x1x2 2y1y2 4 4 4 0 20 考向三圆锥曲线中的范围 最值 问题 考情快递 考题例析 命题方向1 圆锥曲线中的范围问题 典例3 2015 天津高考 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为F c 0 离心率为 点M在椭圆上且位于第一象限 直线FM被圆x2 y2 截得的线段的长为c FM 1 求直线FM的斜率 2 求椭圆的方程 3 设动点P在椭圆上 若直线FP的斜率大于 求直线OP O为原点 的斜率的取值范围 解题导引 1 由椭圆知识先求出a b c的关系 设直线FM的方程为y k x c 求出圆心到直线的距离 由勾股定理可求斜率k的值 2 由 1 设椭圆方程为 1 直线与椭圆方程联立 求出点M的坐标 由 FM 可求出c 从而可求椭圆方程 3 设出直线FP y t x 1 与椭圆方程联立 求得t 求出x的范围 即可求直线OP的斜率的取值范围 规范解答 1 由已知有又由a2 b2 c2 可得a2 3c2 b2 2c2 设直线FM的斜率为k k 0 则直线FM的方程为y k x c 由已知 有解得k 2 由 1 得椭圆方程为 1 直线FM的方程为y 两个方程联立 消去y 整理得3x2 2cx 5c2 0 解得x c 或x c 因为点M在第一象限 可得M的坐标为 有解得c 1 所以椭圆的方程为 1 3 设点P的坐标为 x y 直线FP的斜率为t 得t 即y t x 1 x 1 与椭圆方程联立消去y 整理得2x2 3t2 x 1 2 6 又由已知 得t 解得 x 1 或 1 x 0 设直线OP的斜率为m 得m 即y mx x 0 与椭圆方程联立 整理可得m2 当x 时 有y t x 1 0 于是m 得m 当x 1 0 时 有y t x 1 0 因此m 0 于是m 得m 综上 直线OP的斜率的取值范围是 命题方向2 圆锥曲线中的最值问题 典例4 2014 全国卷 已知点A 0 2 椭圆E 1 a b 0 的离心率为 F是椭圆的焦点 直线AF的斜率为 O为坐标原点 1 求E的方程 2 设过点A的直线l与E相交于P Q两点 当 OPQ的面积最大时 求l的方程 解题导引 第 1 问根据及及b2 a2 c2求出椭圆方程 第 2 问将直线与椭圆联立 并结合均值不等式确定当 OPQ的面积最大时 直线的斜率 从而求出l的方程 规范解答 1 设F c 0 由条件知 得c 又 所以a 2 b2 a2 c2 1 故E的方程为 y2 1 2 当l x轴时不符合题意 故设l y kx 2 P x1 y1 Q x2 y2 将y kx 2代入 y2 1得 1 4k2 x2 16kx 12 0 当 16 4k2 3 0 即k2 时 x1 2 从而 PQ 又点O到直线PQ的距离d 所以 OPQ的面积S OPQ d PQ 设 t 则t 0 S OPQ 因为t 4 当且仅当t 2 即k 时等号成立 且满足 0 所以 当 OPQ的面积最大时 l的方程为y x 2或y x 2 误区警示 解答本题易出现以下错误 一是没有考虑直线斜率不存在的情况而失分 二是直线方程与椭圆方程联立后 没有考虑该方程的判别式而失分 技法感悟 1 圆锥曲线中常见的最值问题及其解法 1 两类最值问题 涉及距离 面积的最值以及与之相关的一些问题 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题 2 两种常见解法 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立起目标函数 再求这个函数的最值 最值常用基本不等式法 配方法及导数法求解 2 与椭圆有关范围问题的求解方法 1 代数法 从代数的角度考虑 通过建立函数 不等式等模型 利用二次函数和基本不等式 换元法 导数法等方法求范围 2 几何法 从椭圆几何性质的角度出发 根据椭圆几何意义求范围 题组通关 1 2015 泉州模拟 过椭圆 1上一点H作圆x2 y2 2的两条切线 点A B为切点 过A B的直线l与x轴 y轴分别交于P Q两点 则 POQ面积的最小值为 解析 选D 因为点H在椭圆 1上 所以H 3cos 2sin 因为过椭圆 1上一点H 3cos 2sin 作圆x2 y2 2的两条切线 点A B为切点 所以直线AB的方程为 3cos x 2sin y 2 因为过A B的直线l与x轴 y轴分别交于P Q两点 所以所以 POQ的面积S 因为 1 sin2 1 所以当sin2 1时 POQ的面积取最小值 2 2016 广州模拟 已知椭圆C的左 右焦点分别为F1 1 0 F2 1 0 且F2到直线x y 9 0的距离等于椭圆的短轴长 1 求椭圆C的方程 2 若圆P的圆心为P 0 t t 0 且经过F1 F2 Q是椭圆C上的动点且在圆P外 过点Q作圆P的切线 切点为M 当 QM 的最大值为时 求t的值 解析 1 设椭圆的方程为 1 a b 0 依题意可知 2b 4 所以b 2 又c 1 故a2 b2 c2 5 故椭圆C的方程为 1 2 设Q x0 y0 圆P的方程为x2 y t 2 t2 1 因为PM QM 所以 QM 若 4t 2 即t 当y0 2时 QM 取得最大值 QM max 解得t 舍去 若 4t 2 即0 t 当y0 4t时 QM 取最大值 且 QM max 解得t2 又0 t 所以t 综上可知 当t 时 QM 的最大值为 3 2016 孝感模拟 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且过点B 0 1 1 求椭圆的标准方程 2 直线l y k x 2 交椭圆于P Q两点 若点B始终在以PQ为直径的圆内 求实数k的取值范围 解析 1 由题意知解得椭圆的标准方程为 y2 1 2 设P x1 y1 Q x2 y2 联立消去y 得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 依题意直线l y k x 2 恒过点 2 0 此点为椭圆的左顶点 所以x1 2 y1 0 由方程的根与系数的关系可得 x1 x2 可得y1 y2 k x1 2 k x2 2 k x1 x2 4k 由 得由点B在以PQ为直径的圆内 得 PBQ为钝角或平角 即所以 2x2 y2 10 整理可得 20k2 4k 3 0 解得k 加固训练 2016 大连模拟 已知椭圆E 1 a b 0 的离心率为 过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A B两点 与抛物线y2 4x交于C D两点 且 1 求椭圆E的方程 2 若过点M 2 0 的直线与椭圆E相交于G H两点 设P为椭圆E上一点 且满足 t 0 O为坐标原点 当时 求实数t的取值范围 解析 1 因为直线l过右焦点F2且与x轴垂直 所以 AB CD 又因为椭圆E的离心率为 且 所以解得故椭圆E的方程为 1 2 由题意知直线GH的斜率不为零 设直线GH的方程为 x my 2 联立 1与x my 2 消去x得 m2 2 y2 4my 28 0 设P x y G x1 y1 H x2 y2 则y1 y2 y1y2 x1 x2 m y1 y2 4 因为所以 所以因为P点在椭圆上 所以将P点坐标代入椭圆方程得t2 因为 所以 GH 2 1 m2 y1 y2 2 1 m2 y1 y2 2 4y1y2 整理得14m4 11m2 25 0 所以0 m2 1 所以t2 所以t 所以实数t的取值范围为