高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理.ppt

第九章平面解析几何 9 4直线与圆 圆与圆的位置关系 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 1 几何法 利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系 相交 相切 相离 d r d r d r 相交 相切 相离 知识梳理 1 答案 2 圆与圆的位置关系 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 0 d r1 r2 r1 r2 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解 答案 1 圆的切线方程常用结论 1 过圆x2 y2 r2上一点P x0 y0 的圆的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点P x0 y0 的圆的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点M x0 y0 作圆的两条切线 则两切点所在直线方程为x0 x y0y r2 知识拓展 2 圆与圆的位置关系的常用结论 1 两圆的位置关系与公切线的条数 内含 0条 内切 1条 相交 2条 外切 3条 外离 4条 2 当两圆相交时 两圆方程 x2 y2项系数相同 相减便可得公共弦所在直线的方程 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 k 1 是 直线x y k 0与圆x2 y2 1相交 的必要不充分条件 2 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解 则两圆外切 3 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和 则两圆相交 4 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 思考辨析 答案 5 过圆O x2 y2 r2上一点P x0 y0 的圆的切线方程是x0 x y0y r2 6 过圆O x2 y2 r2外一点P x0 y0 作圆的两条切线 切点分别为A B 则O P A B四点共圆且直线AB的方程是x0 x y0y r2 答案 1 教材改编 圆 x 1 2 y 2 2 6与直线2x y 5 0的位置关系是 相切 相交但直线不过圆心 相交过圆心 相离 所以直线与圆相交但不过圆心 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 若直线x y 1 0与圆 x a 2 y2 2有公共点 则实数a的取值范围是 3 1 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 湖南改编 若圆C1 x2 y2 1与圆C2 x2 y2 6x 8y m 0外切 则m 解析圆C1的圆心C1 0 0 半径r1 1 圆C2的方程可化为 x 3 2 y 4 2 25 m 9 解析答案 1 2 3 4 5 4 2015 山东改编 一条光线从点 2 3 射出 经y轴反射后与圆 x 3 2 y 2 2 1相切 则反射光线所在直线的斜率为 解析答案 1 2 3 4 5 解析由已知 得点 2 3 关于y轴的对称点为 2 3 由入射光线与反射光线的对称性 知反射光线一定过点 2 3 设反射光线所在直线的斜率为k 则反射光线所在直线的方程为y 3 k x 2 即kx y 2k 3 0 由反射光线与圆相切 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 教材改编 圆x2 y2 4 0与圆x2 y2 4x 4y 12 0的公共弦长为 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 1 已知点M a b 在圆O x2 y2 1外 则直线ax by 1与圆O的位置关系是 解析因为M a b 在圆O x2 y2 1外 所以a2 b2 1 所以直线与圆相交 相交 题型一直线与圆的位置关系 解析答案 2 若过点 1 2 总可以作两条直线与圆x2 y2 kx 2y k2 15 0相切 则实数k的取值范围是 解析答案 由题意知点 1 2 应在已知圆的外部 把点代入圆的方程得1 4 k 4 k2 15 0 解析答案 即 k 2 k 3 0 解得k 2或k 3 相切 解析答案 思维升华 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1 几何法 利用d与r的关系 2 代数法 联立方程之后利用 判断 3 点与圆的位置关系法 若直线恒过定点且定点在圆内 可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法 点与圆的位置关系法适用于动直线问题 已知直线l y kx 1 圆C x 1 2 y 1 2 12 1 试证明 不论k为何实数 直线l和圆C总有两个交点 消去y得 k2 1 x2 2 4k x 7 0 因为 4k 2 2 28 k2 1 0 所以不论k为何实数 直线l和圆C总有两个交点 跟踪训练1 解析答案 2 求直线l被圆C截得的最短弦长 解析答案 解设直线与圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 所以 16 4t t 3 0 解得 1 t 4 且t 0 例2 1 圆 x 2 2 y2 4与圆 x 2 2 y 1 2 9的位置关系为 3 2 d 3 2 两圆相交 相交 题型二圆与圆的位置关系 解析答案 2 过两圆x2 y2 4x y 1 x2 y2 2x 2y 1 0的交点的圆中面积最小的圆的方程为 解析答案 解析答案 3 如果圆C x2 y2 2ax 2ay 2a2 4 0与圆O x2 y2 4总相交 那么实数a的取值范围是 解析C的标准方程为 x a 2 y a 2 4 圆心坐标为 a a 半径为2 解析答案 思维升华 思维升华 判断圆与圆的位置关系时 一般用几何法 其步骤是 1 确定两圆的圆心坐标和半径长 2 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 求r1 r2 r1 r2 3 比较d r1 r2 r1 r2 的大小 写出结论 解析 圆C1 x2 y2 2y 0的圆心为 C1 0 1 半径r1 1 C1C2 r2 r1 2 圆C1与C2内切 内切 解析答案 跟踪训练2 解析答案 解析答案 再由M N 可得半圆和圆有交点 故半圆和圆相交或相切 命题点1求弦长问题 例3 2015 课标全国 过三点A 1 3 B 4 2 C 1 7 的圆交y轴于M N两点 则MN 题型三直线与圆的综合问题 解析答案 即AB BC 故过三点A B C的圆以AC为直径 得其方程为 x 1 2 y 2 2 25 命题点2由直线与圆相交求参数问题 例4 2015 课标全国 已知过点A 0 1 且斜率为k的直线l与圆C x 2 2 y 3 2 1交于M N两点 1 求k的取值范围 解由题设 可知直线l的方程为y kx 1 解析答案 解析答案 解设M x1 y1 N x2 y2 将y kx 1代入方程 x 2 2 y 3 2 1 整理得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 解析答案 所以直线l的方程为y x 1 故圆心C在直线l上 所以MN 2 命题点3直线与圆相切的问题 例5 1 过点P 2 4 引圆 x 1 2 y 1 2 1的切线 则切线方程为 解析答案 解析当直线的斜率不存在时 直线方程为x 2 此时 圆心到直线的距离等于半径 直线与圆相切 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线方程为y 4 k x 2 即kx y 4 2k 0 直线与圆相切 解析答案 即4x 3y 4 0 综上 切线方程为x 2或4x 3y 4 0 答案x 2或4x 3y 4 0 2 已知圆C x 1 2 y 2 2 10 求满足下列条件的圆的切线方程 与直线l1 x y 4 0平行 解设切线方程为x y b 0 解析答案 与直线l2 x 2y 4 0垂直 解设切线方程为2x y m 0 解析答案 过切点A 4 1 过切点A 4 1 的切线斜率为 3 过切点A 4 1 的切线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 解析答案 思维升华 思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 1 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法 即弦长的一半 弦心距 半径构成直角三角形 2 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径 从而建立关系解决问题 1 过点 3 1 作圆 x 2 2 y 2 2 4的弦 其中最短弦的长为 解析设P 3 1 圆心C 2 2 跟踪训练3 解析答案 2 已知圆C的方程为x2 y2 ax 2y a2 0 一定点为A 1 2 要使过A点作圆的切线有两条 则a的取值范围是 解析答案 返回 解析将圆C的方程化为标准方程为 当点A在圆外时 过点A可作圆的两条切线 解析答案 返回 即a2 a 9 0 解得a R 又4 3a2 0时x2 y2 ax 2y a2 0才表示圆 返回 高频小考点 7 高考中与圆交汇问题的求解 高频小考点 解析答案 答案7 解析由A B C在圆x2 y2 1上 且AB BC 2 2014 北京 已知圆C x 3 2 y 4 2 1和两点A m 0 B m 0 m 0 若圆C上存在点P 使得 APB 90 则m的最大值为 解析答案 则圆心C的坐标为 3 4 半径r 1 且AB 2m 因为 APB 90 连结OP 解析根据题意 画出示意图 如图所示 要求m的最大值 即求圆C上的点P到原点O的最大距离 所以OPmax OC r 6 即m的最大值为6 答案6 解析由于直线x ay 1 0是圆C x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 圆心C 2 1 在直线x ay 1 0上 2 a 1 0 a 1 A 4 1 AC2 36 4 40 又r 2 AB2 40 4 36 AB 6 二 直线与圆的综合问题典例 1 2015 重庆 已知直线l x ay 1 0 a R 是圆C x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点A 4 a 作圆C的一条切线 切点为B 则AB 6 解析答案 2 2014 江西改编 在平面直角坐标系中 A B分别是x轴和y轴上的动点 若以AB为直径的圆C与直线2x y 4 0相切 则圆C面积的最小值为 解析答案 温馨提醒 返回 解析 AOB 90 点O在圆C上 设直线2x y 4 0与圆C相切于点D 则点C与点O间的距离等于它到直线2x y 4 0的距离 点C在以O为焦点 以直线2x y 4 0为准线的抛物线上 当且仅当O C D共线时 圆的直径最小为OD 解析答案 温馨提醒 返回 温馨提醒 返回 返回 温馨提醒 1 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度 面积的最值 求点到直线的距离的最值 求相关参数的最值等方面 解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 2 直线与圆的综合问题主要包括弦长问题 切线问题及组成图形面积问题 解决方法主要依据圆的几何性质 思想方法感悟提高 1 直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合 代数法 与 几何法 是从不同的方面和思路来判断的 2 求过一点的圆的切线方程时 首先要判断此点是否在圆上 然后设出切线方程 注意 斜率不存在的情形 3 圆的弦长的常用求法 方法与技巧 1 求圆的弦长问题 注意应用圆的性质解题 即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质 可以用勾股定理或斜率之积为 1列方程来简化运算 2 过圆上一点作圆的切线有且只有一条 过圆外一点作圆的切线有且只有两条 若仅求得一条 除了考虑运算过程是否正确外 还要考虑斜率不存在的情况 以防漏解 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2015 广东 平行于直线2x y 1 0且与圆x2 y2 5相切的直线的方程是 解析设所求直线方程为2x y c 0 所以所求直线方程为2x y 5 0或2x y 5 0 2x y 5 0或2x y 5 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知直线ax y 2 0与圆心为C的圆 x 1 2 y a 2 4相交于A B两点 且 ABC为等边三角形 则实数a的值为 解析易知 ABC是边长为2的等边三角形 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 若圆C1 x2 y2 2ax a2 9 0 a R 与圆C2 x2 y2 2by b2 1 0 b R 内切 则ab的最大值为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ab的最大值为2 解析圆C1 x2 y2 2ax a2 9 0 a R 化为 x a 2 y2 9 圆心坐标为 a 0 半径为3 圆C2 x2 y2 2by b2 1 0 b R 化为x2 y b 2 1 圆心坐标为 0 b 半径为1 圆C1 x2 y2 2ax a2 9 0 a R 与圆C2 x2 y2 2by b2 1 0 b R 内切 答案2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2x y 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 若直线y kx与圆 x 2 2 y2 1的两个交点关于直线2x y b 0对称 则k b的值分别为 解析因为直线y kx与圆 x 2 2 y2 1的两个交点关于直线2x y b 0对称 则y kx与直线2x y b 0垂直 且2x y b 0过圆心 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由题意 圆心为O 0 0 半径为1 如图所示 OPA 30 APB 60 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 说明A是PQ的中点 Q的横坐标x 6 2 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 在平面直角坐标系xOy中 圆C的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线y kx 2上至少存在一点 使得以该点为圆心 1为半径的圆与圆C有公共点 则k的最大值是 解析圆C的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心为 4 0 由题意知 4 0 到kx y 2 0的距离应不大于2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 令y 0 得x1 0 x2 2t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即 OAB的面积为定值 2 设直线y 2x 4与圆C交于点M N 若OM ON 求圆C的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解 OM ON CM CN OC垂直平分线段MN 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆C与直线y 2x 4相交于两点 圆C与直线y 2x 4不相交 t 2不符合题意 舍去 圆C的方程为 x 2 2 y 1 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 2014 课标全国 已知点P 2 2 圆C x2 y2 8y 0 过点P的动直线l与圆C交于A B两点 线段AB的中点为M O为坐标原点 1 求M的轨迹方程 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故x 2 x y 4 2 y 0 即 x 1 2 y 3 2 2 由于点P在圆C的内部 所以M的轨迹方程是 x 1 2 y 3 2 2 解圆C的方程可化为x2 y 4 2 16 所以圆心为C 0 4 半径为4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 当OP OM时 求l的方程及 POM的面积 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 在平面直角坐标系xOy中 圆C1 x 1 2 y 6 2 25 圆C2 x 17 2 y 30 2 r2 若圆C2上存在一点P 使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A B 满足PA 2AB 则半径r的取值范围是 解析由题意可知满足PA 2AB的点P应在以C1为圆心 半径为25的圆上及其内部 且在圆C1的外部 记该圆为C3 若圆C2上存在满足条件的点P 则圆C2与圆C3有公共点 即 r 25 30 r 25 解得5 r 55 5 55 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知圆C x2 y 1 2 5 直线l mx y 1 m 0 1 求证 对m R 直线l与圆C总有两个交点 证明直线l恒过定点P 1 1 由12 1 1 2 5知点P在圆C内 所以直线l与圆C总有两个交点 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解方法一设A x1 y1 B x2 y2 所以x2 2x1 3 直线l的斜率存在 设其方程为y 1 k x 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 消去x1 x2解得k 1 故所求直线l的方程为x y 0或x y 2 0 方法二如图 过点C作CD AB于D 设AP t 则PB 2t AD 1 5t PD 0 5t 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在Rt CDP中 有CP2 CD2 PD2 得CD2 1 0 5t 2 解得m 1 故所求直线l的方程为x y 0或x y 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由于直线x 4与圆C1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 4 圆C1的圆心到直线l的距离为d 所以直线l的方程为y 0或7x 24y 28 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 设P为平面上的点 满足 存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 它们分别与圆C1和C2相交 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 试求所有满足条件的点P的坐标 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设点P a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 因为圆C1和圆C2的半径相等 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等 所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk 从而1 3k ak b 5k 4 a bk或1 3k ak b 5k 4 a bk 即 a b 2 k b a 3或 a b 8 k a b 5 因为k的取值有无穷多个 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回