高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件 文.ppt

第九章平面解析几何 9 3圆的方程 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 圆的定义在平面内 到的距离等于的点的叫圆 2 确定一个圆最基本的要素是和 3 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中为圆心 为半径 4 圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是 其中圆心为 半径r 定长 集合 定点 圆心 半径 a b r D2 E2 4F 0 知识梳理 1 答案 5 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法 大致步骤为 1 根据题意 选择标准方程或一般方程 2 根据条件列出关于a b r或D E F的方程组 3 解出a b r或D E F代入标准方程或一般方程 6 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 点M x0 y0 1 点在圆上 2 点在圆外 3 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 确定圆的几何要素是圆心与半径 2 已知点A x1 y1 B x2 y2 则以AB为直径的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 3 方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是A C 0 B 0 D2 E2 4AF 0 4 方程x2 2ax y2 0一定表示圆 答案 思考辨析 答案 1 教材改编 x2 y2 4x 6y 0的圆心坐标是 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心为 2 3 2 3 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 解析由题意知a2 4a2 4 2a2 a 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 3 2015 北京改编 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 x 1 2 y 1 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 4 教材改编 圆C的圆心在x轴上 并且过点A 1 1 和B 1 3 则圆C的方程为 解析设圆心坐标为C a 0 点A 1 1 和B 1 3 在圆C上 CA CB 解得a 2 圆心为C 2 0 圆C的方程为 x 2 2 y2 10 x 2 2 y2 10 解析答案 1 2 3 4 5 5 2015 湖北 如图 已知圆C与x轴相切于点T 1 0 与y轴正半轴交于两点A B B在A的上方 且AB 2 1 圆C的标准方程为 解析由题意 设圆心C 1 r r为圆C的半径 解析答案 1 2 3 4 5 2 圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1根据下列条件 求圆的方程 1 经过P 2 4 Q 3 1 两点 并且在x轴上截得的弦长等于6 题型一求圆的方程 解析答案 解设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 又令y 0 得x2 Dx F 0 设x1 x2是方程 的两根 由 x1 x2 6有D2 4F 36 由 解得D 2 E 4 F 8 或D 6 E 8 F 0 故所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 8 0 或x2 y2 6x 8y 0 2 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点P 3 2 解析答案 思维升华 解方法一如图 设圆心 x0 4x0 故圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 方法二设所求方程为 x x0 2 y y0 2 r2 解析答案 思维升华 因此所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 思维升华 思维升华 1 直接法 根据圆的几何性质 直接求出圆心坐标和半径 进而写出方程 2 待定系数法 若已知条件与圆心 a b 和半径r有关 则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a b r的方程组 从而求出a b r的值 若已知条件没有明确给出圆心或半径 则选择圆的一般方程 依据已知条件列出关于D E F的方程组 进而求出D E F的值 1 2014 陕西 若圆C的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆C的标准方程为 解析由题意知圆C的圆心为 0 1 半径为1 所以圆C的标准方程为x2 y 1 2 1 x2 y 1 2 1 跟踪训练1 解析答案 2 过点A 4 1 的圆C与直线x y 1 0相切于点B 2 1 则圆C的方程为 解析由已知kAB 0 所以AB的中垂线方程为x 3 过B点且垂直于直线x y 1 0的直线方程为y 1 x 2 即x y 3 0 所以圆心坐标为 3 0 所以圆C的方程为 x 3 2 y2 2 x 3 2 y2 2 解析答案 命题点1斜率型最值问题 题型二与圆有关的最值问题 解析答案 则圆心 2 0 到直线y kx的距离为半径时直线与圆相切 斜率取得最大 最小值 解析答案 命题点2截距型最值问题 例3在例2条件下 求y x的最小值和最大值 解设y x b 则y x b 仅当直线y x b与圆切于第四象限时 截距b取最小值 解析答案 命题点3距离型最值问题 例4在例2条件下 求x2 y2的最大值和最小值 解x2 y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 如图 解析答案 思维升华 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 1 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法 一般根据长度或距离的几何意义 利用圆的几何性质数形结合求解 2 与圆上点 x y 有关代数式的最值的常见类型及解法 形如u 型的最值问题 可转化为过点 a b 和点 x y 的直线的斜率的最值问题 形如t ax by型的最值问题 可转化为动直线的截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2型的最值问题 可转化为动点到定点 a b 的距离平方的最值问题 1 设P是圆 x 3 2 y 1 2 4上的动点 Q是直线x 3上的动点 则PQ的最小值为 解析PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径 因为圆的圆心为 3 1 半径为2 所以PQ的最小值d 3 3 2 4 4 跟踪训练2 解析答案 2 已知M为圆C x2 y2 4x 14y 45 0上任意一点 且点Q 2 3 求MQ的最大值和最小值 解由圆C x2 y2 4x 14y 45 0 可得 x 2 2 y 7 2 8 所以圆心C的坐标为 2 7 解析答案 设直线MQ的方程为y 3 k x 2 解析答案 例5设定点M 3 4 动点N在圆x2 y2 4上运动 以OM ON为两边作平行四边形MONP 求点P的轨迹 题型三与圆有关的轨迹问题 解析答案 思维升华 解如图所示 设P x y N x0 y0 解析答案 又N x 3 y 4 在圆上 故 x 3 2 y 4 2 4 因此所求轨迹为圆 x 3 2 y 4 2 4 思维升华 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下方法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆 直线等定义列方程 几何法 利用圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 已知圆x2 y2 4上一定点A 2 0 B 1 1 为圆内一点 P Q为圆上的动点 1 求线段AP中点的轨迹方程 解设AP的中点为M x y 由中点坐标公式可知 P点坐标为 2x 2 2y 因为P点在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段AP中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 跟踪训练3 解析答案 2 若 PBQ 90 求线段PQ中点的轨迹方程 解设PQ的中点为N x y 连结BN 在Rt PBQ中 PN BN 设O为坐标原点 连结ON 则ON PQ 所以OP2 ON2 PN2 ON2 BN2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段PQ中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 解析答案 返回 思想与方法系列 典例在平面直角坐标系xOy中 曲线y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆C上 求圆C的方程 思维点拨本题可采用两种方法解答 即代数法和几何法 19 利用几何性质巧设方程求半径 思想与方法系列 温馨提醒 巧妙解法 解析答案 思维点拨 返回 规范解答解一般解法 代数法 曲线y x2 6x 1与y轴的交点为 0 1 故圆的方程是x2 y2 6x 2y 1 0 设圆的方程是x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 温馨提醒 巧妙解法 所以圆C的方程为 x 3 2 y 1 2 9 温馨提醒 返回 1 一般解法 代数法 可以求出曲线y x2 6x 1与坐标轴的三个交点 设圆的方程为一般式 代入点的坐标求解析式 2 巧妙解法 几何法 利用圆的性质 知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上 从而设圆的方程为标准式 简化计算 显然几何法比代数法的计算量小 因此平时训练多采用几何法解题 温馨提醒 思想方法感悟提高 1 确定一个圆的方程 需要三个独立条件 选形式 定参数 是求圆的方程的基本方法 是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式 进而确定其中的三个参数 2 解答圆的问题 应注意数形结合 充分运用圆的几何性质 简化运算 方法与技巧 1 求圆的方程需要三个独立条件 所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 2 过圆外一定点 求圆的切线 应该有两个结果 若只求出一个结果 应该考虑切线斜率不存在的情况 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 已知点A 1 1 B 1 1 则以线段AB为直径的圆的方程是 解析AB的中点坐标为 0 0 圆的方程为x2 y2 2 x2 y2 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 设圆的方程是x2 y2 2ax 2y a 1 2 0 若0 a 1 则原点与圆的位置关系是 解析将圆的一般方程化成标准方程为 x a 2 y 1 2 2a 因为0 a 1 所以 0 a 2 0 1 2 2a a 1 2 0 所以原点在圆外 原点在圆外 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以圆M的方程为 x 1 2 y2 4 答案 x 1 2 y2 4 解析由已知 可设圆M的圆心坐标为 a 0 a 2 半径为r 4 点P 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 解析设圆上任一点坐标为 x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 2 2 y 1 2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又圆与直线2x y 1 0相切 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以圆心坐标为 1 2 则所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 5 答案 x 1 2 y 2 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 若圆C经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆C的方程是 解析答案 7 2015 江苏 在平面直角坐标系xOy中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m R 相切的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析直线mx y 2m 1 0恒过定点 2 1 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 x 1 2 y2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2014 湖北 已知圆O x2 y2 1和点A 2 0 若定点B b 0 b 2 和常数 满足 对圆O上任意一点M 都有MB MA 则 1 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析因为点M为圆O上任意一点 所以不妨取圆O与x轴的两个交点 1 0 和 1 0 当M点取 1 0 时 由MB MA 得 b 1 当M点取 1 0 时 由MB MA 得 b 1 3 消去 得 b 1 3 b 1 两边平方 化简得2b2 5b 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析答案 9 一圆经过A 4 2 B 1 3 两点 且在两坐标轴上的四个截距的和为2 求此圆的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 令y 0 得x2 Dx F 0 所以x1 x2 D 令x 0 得y2 Ey F 0 所以y1 y2 E 由题意知 D E 2 即D E 2 0 又因为圆过点A B 所以16 4 4D 2E F 0 1 9 D 3E F 0 解 组成的方程组得D 2 E 0 F 12 故所求圆的方程为x2 y2 2x 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设P x y 圆P的半径为r 则y2 2 r2 x2 3 r2 y2 2 x2 3 即y2 x2 1 P点的轨迹方程为y2 x2 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设P的坐标为 x0 y0 y0 x0 1 即y0 x0 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆P的方程为x2 y 1 2 3 圆P的方程为x2 y 1 2 3 综上所述 圆P的方程为x2 y 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x 2 2 y 1 2 4 解析答案 12 设P为直线3x 4y 3 0上的动点 过点P作圆C x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 切点分别为A B 则四边形PACB的面积的最小值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析依题意 圆C x 1 2 y 1 2 1的圆心是点C 1 1 半径是1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 若圆x2 y 1 2 1上任意一点 x y 都使不等式x y m 0恒成立 则实数m的取值范围是 解析答案 解析据题意圆x2 y 1 2 1上所有的点都在直线x y m 0的右上方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知实数x y满足方程 x 3 2 y 3 2 6 求x y的最大值和最小值 解设x y t 则直线y x t与圆 x 3 2 y 3 2 6有公共点 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 如图 经过B 1 2 作两条互相垂直的直线l1和l2 l1交y轴正半轴于点A l2交x轴正半轴于点C 1 若A 0 1 求点C的坐标 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由直线l1经过两点A 0 1 B 1 2 得l1的方程为x y 1 0 由直线l2 l1 且直线l2经过点B 得l2的方程为x y 3 0 所以 点C的坐标为 3 0 2 试问是否总存在经过O A B C四点的圆 若存在 求出半径最小的圆的方程 若不存在 请说明理由 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 解因为AB BC OA OC 所以总存在经过O A B C四点的圆 且该圆以AC为直径 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若l1与y轴不垂直 则两条直线斜率都存在 所以直线l1的方程为y 2 k x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以直线l1的方程为y 2 k x 1 解析答案 从而A 0 2 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 注意到k 0 返回