高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用课件 理 新人教A版.ppt

第2讲导数在研究函数中的应用 最新考纲1 了解函数的单调性与导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 知识梳理 1 函数的单调性与导数的关系已知函数f x 在某个区间内可导 1 若f x 0 则函数y f x 在这个区间内 2 若f x 0 则函数y f x 在这个区间内 3 若f x 0 则f x 在这个区间内是常数函数 2 函数的极值与导数 1 判断f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续且f x0 0 单调递增 单调递减 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 2 求可导函数极值的步骤 求f x 求方程 的根 检查f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得 极大值 f x 0 极大值 极小值 3 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 设函数f x 在 a b 上连续且在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的极值 将f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 f a f b 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 函数f x 在区间 a b 内单调递增的充要条件是f x 0 2 函数的极大值一定比极小值大 3 对可导函数f x f x0 0是x0为极值点的充要条件 4 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 2 人教A选修2 2P32A4改编 如图是f x 的导函数f x 的图象 则f x 的极小值点的个数为 A 1B 2C 3D 4 解析由题意知在x 1处f 1 0 且其左右两侧导数符号为左负右正 答案A 3 2014 新课标全国 卷 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 答案D 4 函数y 2x3 2x2在区间 1 2 上的最大值是 答案8 答案 0 1 考点一利用导数研究函数的单调性 规律方法 1 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号 当f x 含参数时 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 2 若可导函数f x 在指定的区间D上单调递增 减 求参数范围问题 可转化为f x 0 或f x 0 恒成立问题 从而构建不等式 要注意 是否可以取到 考点二利用导数研究函数的极值 例2 已知函数f x x alnx a R 1 当a 2时 求曲线y f x 在点A 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 规律方法 1 求函数f x 极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 应注意 导数为零的点不一定是极值点 对含参数的求极值问题 应注意分类讨论 训练2 已知函数f x ax 1 lnx a R 1 讨论函数f x 在定义域内的极值点的个数 2 若函数f x 在x 1处取得极值 x 0 f x bx 2恒成立 求实数b的取值范围 考点三利用导数求函数的最值 例3 2016 潍坊模拟 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a的取值范围 2 设g x f x f x 求g x 在 0 1 上的最大值和最小值 解 1 由f 0 1 f 1 0 得c 1 a b 1 则f x ax2 a 1 x 1 ex f x ax2 a 1 x a ex 依题意对于任意x 0 1 有f x 0 当a 0时 因为二次函数y ax2 a 1 x a的图象开口向上 而f 0 a 0 所以需f 1 a 1 e 0 即0 a 1 当a 1时 对于任意x 0 1 有f x x2 1 ex 0 且只在x 1时f x 0 f x 符合条件 当a 0时 对于任意x 0 1 f x xex 0 且只在x 0时 f x 0 f x 符合条件 当a 0时 因f 0 a 0 f x 不符合条件 故a的取值范围为0 a 1 2 因g x 2ax 1 a ex g x 2ax 1 a ex 当a 0时 g x ex 0 g x 在x 0处取得最小值g 0 1 在x 1处取得最大值g 1 e 当a 1时 对于任意x 0 1 有g x 2xex 0 g x 在x 0处取得最大值g 0 2 在x 1处取得最小值g 1 0 规律方法求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 训练3 已知函数f x xlnx 1 求函数f x 的极值点 2 设函数g x f x a x 1 其中a R 求函数g x 在区间 1 e 上的最小值 其中e为自然对数的底数 思想方法 1 利用导数研究函数的单调性 极值 最值可列表观察函数的变化情况 直观而且条理 减少失分 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 3 求函数最值时 不可想当然地认为极值点就是最值点 要通过认真比较才能下结论 一个函数在其定义域最值是唯一的 可以在区间的端点取得 易错防范 1 注意定义域优先的原则 求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2 解题时要注意区分求单调性和已知单调性求参数范围等问题 处理好f x 0时的情况 区分极值点和导数为0的点 3 f x 为增函数的充要条件是对任意的x a b 都有f x 0且在 a b 内的任一非空子区间上f x 0 应注意此时式子中的等号不能省略 否则漏解