高考数学一轮复习 几何证明选讲 2 直线与圆的位置关系课件(理) 选修4-1.ppt

第二节直线与圆的位置关系 知识梳理 1 圆周角 圆心角 弦切角定理 1 圆周角定理 内容 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 一半 推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 相等 相等 直角 直径 2 圆心角定理 圆心角的度数等于它 的度数 3 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 所对弧 圆周角 2 圆内接四边形及圆的切线的判定及性质定理 互补 内 角的对角 互补 内角的对角 垂直 垂直 切点 圆心 3 与圆有关的比例线段 特别提醒 1 圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系 从而证明三角形相似或全等 2 利用圆内接四边形的判定和性质定理解决四点共圆问题时 要弄清四边形的外角和它的内对角的位置 3 利用相交弦定理 切割线定理解决与圆有关的比例线段的计算与证明问题时 要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用 考向一圆周角定理及圆内接四边形 典例1 如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点D 点E F分别为弦AB与弦AC上的点 且BC AE DC AF B E F C四点共圆 1 证明 CA是 ABC外接圆的直径 2 若DB BE EA 求过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值 解题导引 1 根据圆的性质及相似知识证得 CBA 90 可得CA是 ABC外接圆的直径 2 连接CE 利用圆的性质 寻求过B E F C四点的圆的直径长的平方与 ABC外接圆的直径长的平方的比值 从而确立圆的面积之比 规范解答 1 因为CD为 ABC外接圆的切线 所以 DCB A 由题设知故 CDB AEF 所以 DBC EFA 因为B E F C四点共圆 所以 CFE DBC 故 EFA CFE 90 所以 CBA 90 因此CA是 ABC外接圆的直径 2 连接CE 因为 CBE 90 所以过B E F C四点的圆的直径为CE 由DB BE 有CE DC 又BC2 DB BA 2DB2 所以CA2 4DB2 BC2 6DB2 而DC2 DB DA 3DB2 故过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值为 规律方法 1 圆周角定理常用的转化 1 圆周角与圆周角之间的转化 2 圆周角与圆心角之间的转化 3 弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化 4 圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化 2 证明四点共圆的常用方法 1 四点到一定点的距离相等 2 四边形的一组对角互补 3 四边形的一个外角等于它的内对角 4 如果两个三角形有公共边 公共边所对的角相等且在公共边的同侧 那么这两个三角形的四个顶点共圆 变式训练 2016 梧州模拟 如图 已知AB是 O的直径 CD是 O的切线 点C为切点 连接AC 过点A作AD CD于点D 交 O于点E 1 证明 AOC 2 ACD 2 证明 AB CD AC CE 证明 1 连接BC 因为CD是 O的切线 C为切点 所以 ACD ABC 因为OB OC 所以 OCB ABC 又因为 AOC OCB OBC 所以 AOC 2 ACD 2 因为AB是 O的直径 所以 ACB 90 又因为AD CD于点D 所以 ADC 90 因为CD是 O的切线 C为切点 OC为半径 所以OC CD 所以OC AD 又因为OC OA 所以 OAC OCA CAE ECD 所以Rt ABC Rt CED 所以所以AB CD AC CE 加固训练 1 2016 河南八校模拟 已知AB为半圆O的直径 AB 4 C为半圆上一点 过点C作半圆的切线CD 过点A作AD CD于点D 交半圆于点E DE 1 1 求证 AC平分 BAD 2 求BC的长 解析 1 连接OC 因为OA OC 所以 OAC OCA 因为CD为半圆的切线 所以OC CD 因为AD CD OC AD 所以 OCA CAD 所以 OAC CAD 所以AC平分 BAD 2 连接CE 由 1 得 OAC CAD 所以BC CE 因为A B C E四点共圆 所以 CED ABC 因为AB是圆O的直径 所以 ACB是直角 所以Rt CDE Rt ACB 所以 所以 所以BC 2 2 2014 全国卷 如图 四边形ABCD是 O的内接四边形 AB的延长线与DC的延长线交于点E 且CB CE 1 证明 D E 2 设AD不是 O的直径 AD的中点为M 且MB MC 证明 ADE为等边三角形 证明 1 由题设知 A B C D四点共圆 所以 D CBE 由已知得 CBE E 故 D E 2 设BC的中点为N 连接MN 由MB MC知MN BC 故O在直线MN上 又AD不是 O的直径 AD的中点为M 故OM AD 所以AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE为等边三角形 考向二圆的切线性质与判定定理 弦切角定理 典例2 2015 全国卷 如图 AB是 O的直径 AC是 O的切线 BC交 O于点E 1 若D为AC的中点 证明 DE是 O的切线 2 若OA CE 求 ACB的大小 解题导引 1 连接OE后证明 OED是直角 2 设出CE AE的长度 在Rt CAB中应用射影定理求出AE的长度 可得 ACB的大小 规范解答 1 连接AE 由已知得 AE BC AC AB 在Rt ABC中 由已知得 DE DC 故 DEC DCE 连接OE 则 OBE OEB 又 ACE ABC 90 所以 DEC OEB 90 所以 OED 90 所以DE是 O的切线 2 设CE 1 AE x 由已知得AB 2 BE 由射影定理可得 AE2 CE BE 所以x2 即x4 x2 12 0 可得x 所以 ACB 60 母题变式 1 在例题 1 的条件下 证明 CDE AOE 证明 由 1 知 DAO DEO 180 所以D A O E四点共圆 所以 CDE AOE 又DC DE OA OE 所以 CDE AOE 2 在 2 的条件下 求的值 解析 由 2 知 ACB 60 所以 CAE ABC 30 所以CB 2CA 4CE 即又O为AB的中点 所以 规律方法 1 判定切线的三种常用方法 1 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 2 到圆心距离等于半径的直线是圆的切线 3 过半径外端点且和半径垂直的直线是圆的切线 2 弦切角问题的求解思路转化为求同弧上的圆周角 3 切线长问题的求解思路一般利用切线长定理和切割线定理 易错提醒 利用弦切角定理时 一定要注意弦切角与同弧上的圆周角相等 变式训练 2015 全国卷 如图 O是等腰三角形ABC内一点 圆O与 ABC的底边BC交于M N两点 与底边上的高交于点G 且与AB AC分别相切于E F两点 1 证明 EF BC 2 若AG等于圆O的半径 且AE MN 2 求四边形EBCF的面积 解析 1 由于 ABC是等腰三角形 AD BC 所以AD是 CAB的平分线 又因为 O分别与AB AC相切于点E F 所以AE AF 故AD EF 从而EF BC 2 由 1 知 AE AF AD EF 故AD是EF的垂直平分线 又EF为 O的弦 所以圆心O在AD上 连接OE OM 则OE AE 由AG等于 O的半径得AO 2OE 所以 OAE 30 因此 ABC和 AEF都是等边三角形 因为AE 2 所以AO 4 OE 2 因为OM OE 2 DM MN 所以OD 1 于是AD 5 AB 所以四边形EBCF的面积为 加固训练 1 如图 直线PB与圆O相切于点B 点D是弦AC上的点 PBA DBA 若AD m AC n 求AB的长度 解析 因为PB切 O于点B 所以 PBA ACB 又 PBA DBA 所以 DBA ACB 又 A是公共角 所以 ABD ACB 所以所以AB2 AD AC mn 所以AB 2 如图 AB AC是 O的切线 ADE是 O的割线 求证 BE CD BD CE 证明 因为AB是 O的切线 所以 ABD AEB 又因为 BAD EAB 所以 BAD EAB 所以 同理因为AB AC是 O的切线 所以AB AC 因此即BE CD BD CE 考向三与圆有关的比例线段 典例3 2016 南阳模拟 如图所示 已知PA与 O相切 A为切点 过点P的割线交圆于B C两点 弦CD AP AD BC相交于点E 点F为CE上一点 且DE2 EF EC 1 求证 CE EB EF EP 2 若CE BE 3 2 DE 3 EF 2 求PA的长 解题导引 1 由已知可得 DEF CED 得到 EDF C 由平行线的性质可得 P C 于是得到 EDF P 再利用对顶角的性质即可证明 EDF EPA 于是得到EA ED EF EP 利用相交弦定理可得EA ED CE EB 进而证明结论 2 利用 1 的结论可得BP 再利用切割线定理可得PA2 PB PC 即可得出PA 规范解答 1 因为DE2 EF EC DEF CED 所以 DEF CED 所以 EDF C 又因为CD AP 所以 P C 所以 EDF P 又因为 DEF PEA 所以 EDF EPA 所以 所以EA ED EF EP 又因为EA ED CE EB 所以CE EB EF EP 2 因为DE2 EF EC DE 3 EF 2 所以32 2EC 所以CE 因为CE BE 3 2 所以BE 3 由 1 可知 CE EB EF EP 所以 3 2EP 解得EP 所以BP EP EB 因为PA是 O的切线 所以PA2 PB PC 所以PA2 解得PA 规律方法 1 与圆有关的比例线段解题思路 1 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 2 见到圆的两条割线就要想到割线定理 3 见到圆的切线和割线就要想到切割线定理 2 应用相交弦定理时的注意点相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具 应用时要注意 1 要熟记定理的等积式的结构特征 2 当与定理相关的图形不完整时 要用辅助线补齐相应部分 变式训练 2014 全国卷 如图 点P是 O外一点 PA是切线 点A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA 点D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 证明 1 因为PC 2PA PD DC 所以PA PD PAD为等腰三角形 连接AB 则 PAB DEB BCE BAE 因为 PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE 所以 DBE 所以 DBE 即 BCE DBE 所以BE EC 2 因为AD DE BD DC PA2 PB PC PD DC PA 所以PA2 PB PC PB 2PA 即PA 2PB 所以AD DE BD DC PA PB PA PA2 PB PA PB PC PB PA PB PC PA PB PA PB 2PB 2PB2 加固训练 1 2015 湖北高考改编 如图 PA是圆的切线 点A为切点 PBC是圆的割线 且BC 3PB 求的值 解析 设PB 1 因为BC 3PB 所以PC 4 又因为PA是圆的切线 所以 PAB BCA P P PA2 PB PC 4 PA 2 所以 PBA PAC 所以 2 2016 山西四校联考 如图所示 PA为圆O的切线 点A为切点 PO交圆O于B C两点 PA 10 PB 5 BAC的平分线与BC和圆O分别交于点D和E 1 求证 2 求AD AE的值 解析 1 因为PA为圆O的切线 所以 PAB ACP 又 P为公共角 所以 PAB PCA 所以 2 因为PA为圆O的切线 PC是过点O的割线 所以PA2 PB PC 所以PC 20 BC 15 又因为 CAB 90 所以AC2 AB2 BC2 225 又由 1 知所以AC 6 AB 3 连接EC 则 CAE EAB AEC ABD 所以 ACE ADB 所以AD AE AB AC 3 6 90