高考数学一轮复习 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式课件 理（选修4-5）.ppt

选考部分选修系列4 1 了解证明不等式的基本方法 比较法 综合法 分析法 放缩法 数学归纳法 2 了解柯西不等式 排序不等式以及贝努利不等式 3 能利用均值不等式求一些特定函数的最值 请注意不等式的证明是中学数学的难点 柯西不等式只要求会简单应用 1 证明不等式的方法 1 比较法 2 综合法与分析法 3 反证法 放缩法 4 数学归纳法 nx 柯西不等式的向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 答案D 答案B 答案C 题型一放缩法证明不等式 答案 略 探究1放缩法是不等式证明的基本方法 在不等式证明中几乎处处存在 1 放缩法证明不等式时 常见的放缩依据或技巧主要有 不等式的传递性 等量加不等量为不等量 同分子 母 异分母 子 的两个分式大小的比较 缩小分母 扩大分子 分式值增大 缩小分子 扩大分母 分式值减小 全量不少于部分 每一次缩小和变小 但需大于所求 每一次扩大其和变大 但需小于所求 即不能放缩不够或放缩过头 同时放缩有时需便于求和 答案 略 思考题1 例2已知x R 求函数y x 1 x2 的最大值 题型二三个正数的算术 几何平均不等式问题 探究2利用基本不等式必须要找准 对应点 明确 类比对象 使其符合几个著名不等式的特征 注意检验等号成立的条件 特别是多次使用基本不等式时 必须使等号同时成立 思考题2 答案 略 例3 1 已知a b c R 且满足a 2b 3c 6 则a2 2b2 3c2的最小值为 题型三柯西不等式的应用 答案 6 2 若3x 4y 2 试求x2 y2的最小值及最小值点 思路 由于3x 4y 2 则可以构造 32 42 x2 y2 3x 4y 2的形式 从而使用柯西不等式求出最值 探究3 1 利用柯西不等式证明不等式 先使用拆项重组 添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件 再使用柯西不等式解决有关问题 2 利用柯西不等式求最值 实质上就是利用柯西不等式进行放缩 放缩不当则等号可能不成立 因此一定不能忘记检验等号成立的条件 答案 5 5 对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义 从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角不等式 柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式