高考数学 考前三个月复习冲刺 专题10 第44练 函数与方程思想课件 理.ppt

专题10数学思想方法 第44练函数与方程思想 思想方法解读 1 函数与方程思想的含义 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 是对函数概念的本质认识 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决的思想方法 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决的思想方法 2 函数与方程的思想在解题中的应用 1 函数与不等式的相互转化 对函数y f x 当y 0时 就化为不等式f x 0 借助于函数的图象和性质可解决有关问题 而研究函数的性质也离不开不等式 2 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点去处理数列问题十分重要 3 解析几何中的许多问题 需要通过解二元方程组才能解决 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 4 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 建立空间直角坐标系后 立体几何与函数的关系更加密切 常考题型精析 高考题型精练 题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 题型二函数与方程思想在不等式中的应用 题型三函数与方程思想在数列中的应用 常考题型精析 题型四函数与方程思想在解析几何中的应用 题型一利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 1 若g x m有实根 求m的取值范围 解方法一因为x 0 等号成立的条件是x e 故g x 的值域是 2e 因而只需m 2e g x m就有实根 方法二 观察图象可知g x 的最小值为2e 因此要使g x m有实根 则只需m 2e 方法三由g x m 得x2 mx e2 0 故m 2e 2 确定t的取值范围 使得g x f x 0有两个相异实根 解若g x f x 0有两个相异的实根 则函数g x 与f x 的图象有两个不同的交点 因为f x x2 2ex t 1 x e 2 t 1 e2 所以函数f x 图象的对称轴为直线x e 开口向下 最大值为t 1 e2 故当t 1 e2 2e 即t e2 2e 1时 g x 与f x 的图象有两个交点 即g x f x 0有两个相异实根 所以t的取值范围是 e2 2e 1 点评函数图象的交点 函数零点 方程的根三者之间可互相转化 解题的宗旨就是函数与方程的思想 方程的根可转化为函数零点 函数图象的交点 反之函数零点 函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题 A 5B 6C 7D 8 由题意知函数f x 的周期为2 则函数f x g x 在区间 5 1 上的图象如图所示 由图象知f x g x 有三个交点 故方程f x g x xA xB xC 7 答案C 题型二函数与方程思想在不等式中的应用 令f x 0得x2 4x 3 0 解得1 x 3 故函数f x 的单调递增区间是 1 3 单调递减区间是 0 1 和 3 故在区间 0 2 上 x 1是函数的极小值点 这个极小值点是唯一的 由于函数g x x2 2bx 4 x 1 2 当b2时 g x max g 2 4b 8 解第一个不等式组得b 1 第三个不等式组无解 点评不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 利用函数的图象和性质解决问题 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 一般地 已知存在范围的量为变量 而待求范围的量为参数 证明记h x x 5 f x 9 x 1 则当1 x 3时 因此h x 在 1 3 内单调递减 题型三函数与方程思想在数列中的应用 例3已知数列 an 是首项为2 各项均为正数的等差数列 a2 a3 a4 1成等比数列 设bn 其中Sn是数列 an 的前n项和 若对任意n N 不等式bn k恒成立 求实数k的最小值 又因为 an 是正项等差数列 故d 0 所以 2 2d 2 2 d 3 3d 得d 2或d 1 舍去 所以数列 an 的通项公式an 2n 因为Sn n n 1 所以f x 在 1 上是增函数 故当x 1时 f x min f 1 3 要使对任意的正整数n 不等式bn k恒成立 点评数列问题函数 方程 化法数列问题函数 方程 化法与形式结构函数 方程 化法类似 但要注意数列问题中n的取值范围为正整数 涉及的函数具有离散性特点 其一般解题步骤 第一步 分析数列式子的结构特征 第二步 根据结构特征构造 特征 函数 方程 转化问题形式 第三步 研究函数性质 结合解决问题的需要研究函数 方程 的相关性质 主要涉及函数单调性与最值 值域问题的研究 第四步 回归问题 结合对函数 方程 相关性质的研究 回归问题 变式训练3已知f x x2 4x 4 f1 x f x f2 x f f1 x fn x f fn 1 x 函数y fn x 的零点个数记为an 则an等于 A 2nB 2n 1C 2n 1D 2n或2n 1 解析f1 x x2 4x 4 x 2 2 有1个零点2 由f2 x 0可得f1 x 2 即y f2 x 有2个零点 即y f3 x 有4个零点 以此类推可知 y fn x 的零点个数an 2n 1 故选B 答案B 题型四函数与方程思想在解析几何中的应用 1 求椭圆C的方程 设c 0 c2 a2 b2 2 求m的取值范围 解设直线l的方程为y kx m k 0 l与椭圆C的交点坐标为A x1 y1 B x2 y2 2km 2 4 k2 2 m2 1 4 k2 2m2 2 0 整理得4k2m2 2m2 k2 2 0 即k2 4m2 1 2m2 2 0 当m2 时 上式不成立 由 式 得k2 2m2 2 又k 0 点评利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步 联立方程 第二步 求解判别式 第三步 代换 利用题设条件和圆锥曲线的几何性质 得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系 将其代换 第四步 下结论 将上述等量代换式代入 0或 0中 即可求出目标参数的取值范围 第五步 回顾反思 在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时 无论题目中有没有涉及求参数的取值范围 都不能忽视了判别式对某些量的制约 这是求解这类问题的关键环节 变式训练4如图所示 设椭圆C1 1的左 右焦点分别是F1 F2 下顶点为A 线段OA的中点为B O为坐标原点 若抛物线C2 y mx2 n m 0 n 0 与y轴的交点为B 且经过F1 F2两点 1 求抛物线C2的方程 解由题意可知A 0 2 则B 0 1 由抛物线y mx2 n过点B 可知n 1 又F1 1 0 F2 1 0 抛物线y mx2 n经过F1 F2两点 即m n 0 所以m 1 所以抛物线C2的方程为y x2 1 2 设M N为抛物线C2上的一动点 过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P Q两点 求 MPQ的面积的最大值 解设N t t2 1 由y 2x 知直线PQ的方程为y t2 1 2t x t 即y 2tx t2 1 将其代入椭圆方程 整理得4 1 5t2 x2 20t t2 1 x 5 t2 1 2 20 0 400t2 t2 1 2 80 5t2 1 t2 1 2 4 80 t4 182 3 设P x1 y1 Q x2 y2 设点M到直线PQ的距离为d 当且仅当t 3时取 经检验此时 0 满足题意 高考题型精练 1 若2x 5y 2 y 5 x 则有 A x y 0B x y 0C x y 0D x y 0解析把不等式变形为2x 5 x 2 y 5y 构造函数y 2x 5 x 其为R上的增函数 所以有x y 即x y 0 B 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 2 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x 单位 m 的取值范围是 A 15 20 B 12 25 C 10 30 D 20 30 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 解析如图 ADE ABC 设矩形的另一边长为y 所以y 40 x 由题意知xy 300 即x 40 x 300 整理得x2 40 x 300 0 解不等式得10 x 30 答案C 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 4 已知f x 是定义域为R的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 0 x 0时 f x x2 4x f x x 2 4 x x2 4x 又f x 为偶函数 f x f x 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 由于f x 向左平移两个单位即得f x 2 故f x 2 5的解集为 x 7 x 3 答案 x 7 x 3 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 5 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 求实数a的取值范围 解当x 0时 ax3 x2 4x 3 0变为3 0恒成立 即a R 当x 0 1 时 ax3 x2 4x 3 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 x 在 0 1 上递增 x max 1 6 a 6 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 当x 2 1 时 x 0 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 当x 1时 x 有极小值 即为最小值 a 2 综上知 6 a 2 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 1 当n 2时 求函数f x 的极值 解由已知得函数f x 的定义域为 x x 1 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 当x 1 x1 时 f x 0 f x 单调递增 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 当a 0时 f x 0时 当a 0时 f x 无极值 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 2 当a 1时 证明 对任意的正整数n 当x 2时 有f x x 1 证明因为a 1 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 所以当x 2 时 g x 单调递增 又g 2 0 因此g x x 1 ln x 1 g 2 0恒成立 所以f x x 1成立 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 所以只需证ln x 1 x 1 令h x x 1 ln x 1 所以当x 2 时 h x x 1 ln x 1 单调递增 又h 2 1 0 所以当x 2时 恒有h x 0 1 2 3 4 5 6 高考题型精练 1 2 3 4 5 6 即ln x 1 x 1命题成立 综上所述 结论成立