高考数学 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件.ppt

第十章计数原理 概率 随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 分类加法计数原理 完成一件事有 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 完成这件事共有N 种方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事需要 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 完成这件事共有N 种方法 两类不同的方案 m n 两个步骤 mn 2 必备结论教材提炼记一记分步用乘法 分类用加法 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 直接法 间接法 2 数学思想 分类讨论 数形结合 3 记忆口诀 排组分清 加乘分明 有序排列 无序组合 分类相加 分步相乘 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相同 2 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法都能直接完成这件事 3 在分步乘法计数原理中 各种方法中完成某个步骤的方法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事件是分两步完成的 其中任何一个单独的步骤都能完成这件事 解析 1 错误 在分类加法计数原理中 两类不同的方案中 方法是不相同的 2 正确 在分类加法计数原理中 每类中的各种方法必须能完成这件事 3 错误 在分步乘法计数原理中 各种方法中完成某个步骤的方法可以相同 4 错误 如果单独的步骤能完成这件事 这就不是某一步了 而是一类 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修2 3P10T1改编 乘积 a b c d e f h i j k l m 展开后共有项 解析 由 a b c d e f h i j k l m 展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积 由分步乘法计数原理可得 其展开式共有3 4 5 60项 答案 60 2 选修2 3P12T5改编 已知集合M 1 2 3 N 4 5 6 7 从M N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标 纵坐标 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一 第二象限内不同的点的个数是 解析 分两类 第一类 第一象限内的点 有2 2 4 个 第二类 第二象限内的点 有1 2 2 个 由分类加法计数原理可得 共有4 2 6个 答案 6 3 真题小试感悟考题试一试 1 2015 滨州模拟 甲 乙两人从4门课程中选修2门 则甲 乙所选课程中恰有1门相同的选法有 A 6种B 12种C 24种D 30种 解析 选C 分步完成 首先甲 乙两人从4门课程中同选1门 有4种方法 其次是甲从剩下的3门课程中任选1门 有3种方法 最后乙从剩下的2门课程中任选1门 有2种方法 于是 甲 乙所选课程中恰有1门相同的选法共有4 3 2 24 种 2 2015 成都模拟 某城市有3个演习点同时进行消防演习 现将4个消防队分配到这3个演习点 若每个演习点至少安排1个消防队 则不同的分配方案种数为 A 12B 36C 72D 108 解析 选B 先从4个消防队中选出2个作为一个整体 有种选法 再将三个整体进行全排列 有种方法 根据分步乘法计数原理得不同的分配方案种数为 36 3 2015 长春模拟 直线Ax By 0 若从集合E 0 1 3 5 7 8 中每次取出两个不同的数作为A B的值 则可表示条不同的直线 解析 若A或B中有一个为零时 有2条 若AB 0时 有5 4 20条 由分类加法计数原理可知 共有2 20 22条不同的直线 答案 22 考点1分类加法计数原理 典例1 1 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 A 14B 13C 12D 9 2 三边长均为正整数 且最大边长为11的三角形的个数是 解题提示 1 方程ax2 2x b 0可能是一次方程 也可能是二次方程 2 构成三角形的条件为两边之和大于第三边 规范解答 1 选B 由于a b 1 0 1 2 当a 0时 有x 为实根 则b可取 1 0 1 2 有4种可能 当a 0时 方程有实根 所以 4 4ab 0 所以ab 1 当a 1时 满足 式的b可取 1 0 1 2 有4种可能 当a 1时 b可取 1 0 1 有3种可能 当a 2时 b可取 1 0 有2种可能 所以由分类加法计数原理 有序数对 a b 共有4 4 3 2 13 个 2 另两边长用x y x y N 表示 且不妨设1 x y 11 要构成三角形 必须x y 12 当y取11时 x可取1 2 3 11 有11个三角形 当y取10时 x可取2 3 10 有9个三角形 当y取6时 x只能取6 只有1个三角形 所以所求三角形的个数为11 9 7 5 3 1 36 答案 36 易错警示 解答本例题 1 有三点容易出错 1 将方程ax2 2x b 0误认为二次方程 没有讨论当a 0时的情况 2 容易漏掉a与b相等的情况 3 不能分清是分步还是分类 造成结论错误 互动探究 本题 2 条件不变 则构成钝角三角形的个数是多少 解析 另两边长用x y x y N 表示 且不妨设1 x y 11 要构成三角形 必须x y 12 由余弦定理可知 x2 y2 112 0 满足以上条件的x y有 当y 10时 x可取2 3 4 当y 9时 x可取3 4 5 6 当y 8时 x可取4 5 6 7 当y 7时 x可取5 6 7 当y 6时 x可取6 由分类加法计数原理可知 共有3 4 4 3 1 15个 规律方法 1 分类加法计数原理的实质分类加法计数原理针对的是 分类 问题 完成一件事要分为若干类 各类的方法相互独立 每类中的各种方法也相对独立 用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事 2 使用分类加法计数原理遵循的原则有时分类的划分标准有多个 但不论是以哪一个为标准 都应遵循 标准要明确 不重不漏 的原则 提醒 对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法 变式训练 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中 与正八边形有公共边的三角形有个 解析 分两类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 有两条公共边的三角形共有8个 故共有32 8 40 个 答案 40 加固训练 1 某学生去书店 发现3本好书 决定至少买其中1本 则购买方式共有 A 3种B 6种C 7种D 9种 解析 选C 分3类 买1本书 买2本书和买3本书 各类的购买方式依次有3种 3种和1种 故购买方式共有3 3 1 7 种 2 若x y N 且x y 6 则有序数对 x y 共有个 解析 当x 1时 y可取的值为5 4 3 2 1 共5个 当x 2时 y可取的值为4 3 2 1 共4个 当x 3时 y可取的值为3 2 1 共3个 当x 4时 y可取的值为2 1 共2个 当x 5时 y可取的值为1 共1个 由分类加法计数原理 不同的数对 x y 共有5 4 3 2 1 15 个 答案 15 考点2分步乘法计数原理 典例2 1 教学大楼共有五层 每层均有两个楼梯 由一层到五层的走法有 A 10种B 25种C 52种D 24种 2 用0 1 9十个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为 解题提示 1 从一层到五层可分步来完成 每一步有2种走法 2 可用间接法来完成此事 规范解答 1 选D 共分4步 一层到二层2种 二层到三层2种 三层到四层2种 四层到五层2种 一共有24种 2 能够组成三位数的个数是9 10 10 900 能够组成无重复数字的三位数的个数是9 9 8 648 故能够组成有重复数字的三位数的个数是900 648 252 答案 252 规律方法 1 分步乘法计数原理的实质分步乘法计数原理针对的是 分步 问题 完成一件事要分为若干步 各个步骤相互依存 完成其中的任何一步都不能单独完成该件事 只有当各个步骤都完成后 才算完成这件事 2 使用分步乘法计数原理的关注点 1 明确题目中的 完成这件事 是什么 确定完成这件事需要几个步骤 且每步都是独立的 2 将完成这件事划分成几个步骤来完成 各步骤之间有一定的连续性 只有当所有步骤都完成了 整个事件才算完成 这是分步的基础 也是关键 从计数上来看 各步的方法数的积就是完成事件的方法总数 变式训练 1 2015 临沂模拟 如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成 我们称这样的图案为L型 每次旋转90 仍为L型图案 那么在由4 5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是 A 16B 32C 48D 64 解析 选C 每四个小方格 2 2型 中有L型图案4个 共有2 2型小方格12个 所以共有L型图案4 12 48 个 故选C 2 从6个人中选4个人分别到巴黎 伦敦 悉尼 莫斯科四个城市游览 要求每个城市至少有一人游览 每人只游览一个城市 且这6个人中 甲 乙两人不去巴黎游览 则不同的选择方案共有种 解析 分步完成此事 第一步选1人去巴黎有4种方法 第二步选1人去伦敦有5种方法 第三步选1人去悉尼有4种方法 第四步选1人去莫斯科有3种方法 由分步乘法计数原理可知 共有4 5 4 3 240 种 答案 240 加固训练 1 设集合A 1 0 1 集合B 0 1 2 3 定义A B x y x A B y A B 则A B中元素的个数是 A 7B 10C 25D 52 解析 选B 由题意知本题是一个分步乘法计数原理 因为集合A 1 0 1 集合B 0 1 2 3 所以A B 0 1 A B 1 0 1 2 3 所以x有2种取法 y有5种取法 所以根据分步乘法计数原理得2 5 10 2 如图 要给地图A B C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种 解析 按地图A B C D四个区域依次分四步完成 第一步 m1 3种 第二步 m2 2种 第三步 m3 1种 第四步 m4 1种 所以根据分步乘法计数原理 得到不同的涂色方案共有N 3 2 1 1 6 种 考点3两个计数原理的综合应用知 考情利用两个计数原理 求解有关实际问题 是高考考查两个计数原理的一个重要考向 常与涂色问题 组数问题 排队问题 种植问题等交汇考查 一般以选择题 填空题的形式出现 明 角度命题角度1 涂色问题 典例3 2015 汕头模拟 如图 用6种不同的颜色把图中A B C D四块区域分开 若相邻区域不能涂同一种颜色 则不同的涂法共有 A 400种B 460种C 480种D 496种 解题提示 可按使用颜色的种数分类来完成此事 规范解答 选C 完成此事可能使用4种颜色 也可能使用3种颜色 当使用4种颜色时 从A开始 有6种方法 B有5种 C有4种 D有3种 完成此事共有6 5 4 3 360 种 方法 当使用3种颜色时 A D使用同一种颜色 从A D开始 有6种方法 B有5种 C有4种 完成此事共有6 5 4 120 种 方法 由加法计数原理可知 不同涂法有360 120 480 种 命题角度2 重复元素的计数问题 典例4 2014 福建高考 用a代表红球 b代表蓝球 c代表黑球 由加法原理及乘法原理 从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 1 a 1 b 的展开式1 a b ab表示出来 如 1 表示一个球都不取 a 表示取出一个红球 而 ab 则表示把红球和蓝球都取出来 依此类推 下列各式中 其展开式可用来表示从5个无区别的红球 5个无区别的蓝球 5个有区别的黑球中取出若干个球 且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是 A 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5B 1 a5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c 5C 1 a 5 1 b b2 b3 b4 b5 1 c5 D 1 a5 1 b 5 1 c c2 c3 c4 c5 解题提示 对于信息题 要善于运用逻辑思维去推导 同时明确材料给我们传达的信息 规范解答 选A 因为无区别 所以取红球的方法数为1 a a2 a3 a4 a5 因为蓝球要都取出 或都不取出 所以方法为1 b5 因为黑球有区别 因此 取黑球的方法数为 1 c 5 所以所有取法数为 1 a a2 a3 a4 a5 1 b5 1 c 5 悟 技法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 1 弄清完成一件事是做什么 2 确定是先分类后分步 还是先分步后分类 3 弄清分步 分类的标准是什么 4 利用两个计数原理求解 通 一类1 2015 银川模拟 集合P x 1 Q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且P Q 把满足上述条件的一个有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是 A 9B 14C 15D 21 解析 选B 当x 2时 x y 点的个数为1 7 7 个 当x 2时 x y 点的个数为7 1 7 个 则共有14个点 2 2015 张掖模拟 用6种不同颜色为如图所示的广告牌着色 要求有公共边界的区域不能用同一种颜色 则共有种不同的方法着色 解析 由分步乘法计数原理知 第一步 涂 区有6种方法 第二步 涂 区有5种方法 第三步 涂 区有4种方法 第四步 涂 区有4种方法 由分步乘法计数原理知 共有6 5 4 4 480种方法 答案 480 3 2015 郑州模拟 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有个 用数字作答 解析 数字2 3至少都出现一次 包括以下情况 2 出现1次 共有4种方法 3 出现3次 共有1种方法 共可组成4 1 4 个 四位数 2 出现2次 共有 6种方法 3 出现2次 共有1种方法 共可组成6 1 6 个 四位数 2 出现3次 共有 4种方法 3 出现1次 共有1种方法 共可组成4 1 4 个 四位数 综上所述 共可组成4 6 4 14个四位数 答案 14 巧思妙解10巧用间接法求解计数问题 典例 2014 安徽高考 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共有 A 24对B 30对C 48对D 60对 常规解法 选C 与正方体的一个面上的一条对角线成60 角的对角线有8条 故共有8对 正方体的12条面对角线共有96对 且每对均重复计算一次 故共有 48对 巧妙解法 选C 正方体的面对角线共有12条 两条为一对 共有12 11 2 66对 同一面上的对角线不满足题意 对面的面对角线也不满足题意 一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数 不满足题意的共有 3 6 18 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为60 的共有 66 18 48 方法指导 1 间接法的解题思路 1 将问题所包含的所有情景一一列举出来并得出其数值 2 找出不合题设要求的情况 3 删除不合题意的部分 得出结论 2 间接法的应用条件 间接法 求解计数问题其应用条件是该问题包含两种或两种以上的情况 而要求计数的情况较复杂不易得出结论 而问题的反面 对立面 计数比较容易 此时可采用间接法求解 类题试解 高三年级的三个班去甲 乙 丙 丁四个工厂参加社会实践 但去何工厂可自由选择 甲工厂必须有班级要去 则不同的分配方案有 A 16种B 18种C 37种D 48种 常规解法 选C 有一个班去甲工厂 其余两个班去其他工厂 共有 32 27种方法 有两个班去甲工厂 另一个班去其他工厂 共有3 3 9种方法 若三个班都去甲工厂 共有1种方法 由分类加法计数原理知 共有27 9 1 37种方法 巧妙解法 选C 三个班去四个工厂不同的分配方案共43种 甲工厂没有班级去的分配方案共33种 因此满足条件的不同的分配方案共有43 33 37 种