2019-2020年四年级数学数的整除性练习题.doc

2019-2020年四年级数学数的整除性练习题我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9763整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837800307810031078（991）3（91）789983937（89939）（837）。因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x993x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（837）能被9整除，就能判断837能被9整除。利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：（4）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。（5）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。（6）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。例2 在四位数562中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？解：如果562能被9整除，那么56213应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；如果562能被8整除，那么62应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；如果562能被4整除，那么2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为623，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和270与570都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除。因为7289，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A329BA3f296A20，因为lA9，所以21A2029。在这个范围内只有27能被9整除，所以A7。解答例4的关键是把72分解成89，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为623，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知3ABABA33A2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求AB，所以符合条件的六位数共有5420（个）。例6 要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？分析与解：因为3649，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12BC。它应能被9整除，因此BC6或BC15。因为B，C应尽量小，所以BC6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B1，C5。当A=0，B=1，C5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156364171。附送：2019-2020年四年级数学数阵图复习(2)我们在三年级已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。我们先从一道典型的例题开始。例1把19这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。我们可以这样去想：因为19这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于453=15。也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。在19这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：951，942，861，852，843，762，753，654。因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。经试验，有下面八种不同填法：上面的八个图，都可以通过一个图的旋转和翻转得到。例如，第一行的后三个图，依次由第一个图顺时针旋转90，180，270得到。又如，第二行的各图，都是由它上面的图沿竖轴翻转得到。所以，这八个图本质上是相同的，可以看作是一种填法。例1中的数阵图，我国古代称为“纵横图”、“九宫算”。一般地，将九个不同的数填在33（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，那么这样的图称为三阶幻方。在例1中如果只要求任一横行及任一竖列的三数之和相等，而不要求两条对角线上的三数之和也相等，则解不唯一，这是因为在例1的解中，任意交换两行或两列的位置，不影响每行或每列的三数之和，故仍然是解。例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。分析与解：给出的九个数形成一个等差数列，对照例1，19也是一个等差数列。不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即1325=1721；余下各数就不难填写了（见右图）。与幻方相反的问题是反幻方。将九个数填入33（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方。例3将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻。分析与解：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线。经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解。因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方。例4将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k。如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。所以有九数之和+中心方格中的数3=4k，3k+中心方格中的数3=4k，注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。这个结论对求解33方格中的数阵问题很实用。在33的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。例5求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。分析与解：由例4知中间方格中的数为267389。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89178。两个质数之和为178的共有六组：5+17311167291494113747+13171+107。经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。