高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.1.2指数函数第2课时指数函数及其性质的应用课件苏教版.ppt

第2课时指数函数及其性质的应用 第3章3 1 2指数函数 1 理解指数函数的单调性与底数的关系 2 能运用指数函数的单调性解决一些问题 3 会用指数函数模型解决简单的实际问题 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一指数型复合函数y a 0且a 1 的单调性 答案 1 复合函数y f g x 的单调性 当y f x 与u g x 有相同的单调性时 函数y f g x 单调 当y f x 与u g x 的单调性相反时 函数y f g x 单调 简称为 2 当a 1时 函数y af x 与y f x 具有的单调性 当0 a 1时 函数y af x 与函数y f x 的单调性 递增 递减 同增异减 相同 相反 知识点二指数型函数y k ax k R且k 0 a 0且a 1 模型 1 指数增长模型设原有量为N 每次的增长率为p 经过x次增长 该量增长到y 则y N 1 p x x N 2 指数减少模型设原有量为N 每次的减少率为p 经过x次减少 该量减少到y 则y N 1 p x x N 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一利用指数型函数的单调性比较大小 例1比较下列各组中两个值的大小 1 1 72 5 1 73 解 单调性法 由于1 72 5与1 73的底数都是1 7 故构造函数y 1 7x 则函数y 1 7x在R上是增加的 又2 5 3 所以1 72 5 1 73 解析答案 反思与感悟 2 0 6 1 2 0 6 1 5 解 单调性法 由于0 6 1 2与0 6 1 5的底数都是0 6 故构造函数y 0 6x 则函数y 0 6x在R上是减少的 因为 1 2 1 5 所以0 6 1 2 0 6 1 5 3 2 3 0 28 0 67 3 1 解 中间量法 由指数型函数的性质 知2 3 0 280 670 1 所以2 3 0 28 0 67 3 1 1 对于底数相同 指数不同的两个幂的大小比较 可以利用指数型函数的单调性来判断 2 对于底数不同 指数相同的两个幂的大小比较 可以利用指数型函数图象的变化规律来判断 3 对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较 应通过中间值来比较 4 对于三个 或三个以上 数的大小比较 则应先根据特殊值0 1进行分组 再比较各组数的大小 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小 1 0 8 0 1 0 8 0 2 解由指数型函数的性质知 y 0 8x是减函数 0 1 0 2 所以0 8 0 1 0 8 0 2 解析答案 解 11 因此有3 x 1 又00 5 x 1 x 0 解析答案 题型二利用指数型函数的单调性解不等式 故原不等式的解集是 x x 0 2 已知0 a 1 求x的取值范围 反思与感悟 解分情况讨论 当00 a 1 在R上是减函数 x2 3x 1 x 6 根据相应二次函数的图象可得x5 当a 1时 函数f x ax a 0 a 1 在R上是增函数 x2 3x 15 当a 1时 1 x 5 x2 4x 5 0 解析答案 1 利用指数型函数的单调性解不等式 需将不等式两边都凑成底数相同的指数式 1 解不等式af x ag x a 0 a 1 的依据是指数型函数的单调性 要养成判断底数取值范围的习惯 若底数不确定 就需进行分类讨论 反思与感悟 跟踪训练2 1 不等式4x 42 3x的解集是 解析由4x 42 3x 得x 2 3x 解析答案 解析因为0 a 1 所以y ax在R上是减函数 所以2x2 3x 72 所以不等式的解集是 x x 2 x x 2 题型三指数型函数的单调性 解析答案 u x2 2x x 1 2 1在 1 上递减 在 1 上递增 u x2 2x x 1 2 1 1 原函数的值域为 0 3 反思与感悟 1 关于指数型函数y af x a 0 且a 1 的单调性由两点决定 一是底数a 1还是0 a 1 二是f x 的单调性 它由两个函数y au u f x 复合而成 2 求复合函数的单调区间 首先求出函数的定义域 然后把函数分解成y f u u x 通过考查f u 和 x 的单调性 求出y f x 的单调性 反思与感悟 跟踪训练3求函数y 的单调区间 解析答案 令u x2 2x 则y 2u 当x 1 时 函数u x2 2x为增函数 函数y 2u是增函数 当x 1 时 函数u x2 2x为减函数 函数y 2u是增函数 题型四有关指数函数的应用问题 解析答案 例41980年 我国人均收入255美元 若到2000年人民生活达到小康水平 即人均收入达到817美元 则年平均增长率是多少 精确到1 若不低于此增长率递增 则到2010年人均收入至少为多少美元 精确到1美元 解设年平均增长率为x 由题意得255 1 x 20 817 年平均增长率应是6 设2010年人均收入为y美元 则y 255 1 6 30 255 5 7435 1465 美元 若不低于此增长率递增 则到2010年人均收入至少为1465美元 反思与感悟 反思与感悟 应注意指数型函数模型y N 1 P x p 0 的运用 解析答案 跟踪训练4某种储蓄按复利计算利息 若本金为a元 每期利率为r 设存期为x的本利和 本金加上利息 为y元 1 写出本利和y随存期x变化的函数关系式为 解析y a 1 r x x N y a 1 r x x N 2 如果存入本金1000元 每期利率为2 25 则计算5期后的本利和为 解析将a 1000元 r 2 25 x 5代入上式 得y 1000 1 2 25 5 1000 1 02255 1117 68 元 即5期后本利和约为1117 68元 1117 68元 利用图象解决复合函数的单调性 解决思想方法 解析答案 反思与感悟 因为u 0 所以f u 是增函数 解析答案 反思与感悟 所以f g x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 反思与感悟 反思与感悟 求复合函数y f g x 的单调区间时 如果内函数y g x 的图象容易画出 那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间 从而简化解题过程 解析答案 解析答案 2 由图象指出其单调区间 解由图象观察知函数在 2 上是增函数 在 2 上是减函数 3 由图象指出 当x取什么值时 函数有最大值或最小值 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 已知a 0 80 7 b 0 80 9 c 1 20 8 则a b c的大小关系是 解析先由函数y 0 8x判断前两个数的大小 再用 1 作为中间量比较1 20 8与其他两个数的大小 c a b 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 R 解析答案 解析定义域为R u 1 x在 上为减函数 1 2 3 4 5 解析答案 由f m f n 可知m n 故填m n m n 1 2 3 4 5 解析答案 课堂小结 1 比较两个指数式值大小的主要方法 1 比较形如am与an的大小 可运用指数型函数y ax的单调性 2 比较形如am与bn的大小 一般找一个 中间值c 若am c且c bn 则am bn 若am c且c bn 则am bn 2 指数型函数单调性的应用 1 形如y af x 的函数的单调性 令u f x x m n 如果两个函数y au与u f x 的单调性相同 则函数y af x 在 m n 上是增函数 如果两者的单调性相异 即一增一减 则函数y af x 在 m n 上是减函数 2 形如ax ay的不等式 当a 1时 ax ay x y 当0 a 1时 ax ay x y 返回