高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征、直线与圆锥曲线的交点课件 北师大版选修2-1.ppt

第三章 4曲线与方程 4 2圆锥曲线的共同特征4 3直线与圆锥曲线的交点 1 了解圆锥曲线的共同特征 并会简单应用 2 会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到的距离与它到的距离之比为定值e 当时 该圆锥曲线为椭圆 当时 该圆锥曲线为抛物线 当时 该圆锥曲线为双曲线 知识点二曲线的交点 答案 e 1 f1 x0 y0 0f2 x0 y0 0 一个定点 一条定直线 0 e 1 e 1 答案 知识点三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为 对于抛物线来说 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点 但并不是 对于双曲线来说 平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点 但并不 这三种位置关系的判定条件可归纳为 1 0 2 0 3 0 相离 相交 相切 相离 相切 相切 相交 相切 返回 答案 思考1 圆锥曲线具有什么样的共同特征 它们的区别何在 答案圆锥曲线均可定义为平面上到定点距离和到定直线距离之比为常数的点的轨迹 它们的区别在于这个比值的范围不同 2 直线与圆锥曲线有一个交点时 一定是直线与圆锥曲线相切吗 答案直线与圆锥曲线有一个交点时不一定相切 也可能是相交 如直线与抛物线的对称轴平行 则直线与该抛物线交点是只有一个交点 题型探究重点突破 题型一圆锥曲线的共同特征及应用 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 此类问题采用求曲线方程的一般方法 通过题意列出关于点M x y 的等式 化简得出曲线方程 通过运算的结果不难发现 椭圆是到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所成的曲线 并且这个常数的范围为 0 1 解析答案 解析答案 反思与感悟 题型二直线与圆锥曲线的公共点问题例2已知双曲线x2 y2 4 直线l y k x 1 讨论直线与双曲线公共点个数 解析答案 反思与感悟 1 k2 x2 2k2x k2 4 0 2 当1 k2 0 即k 1 此时有 4 4 3k2 若4 3k2 0 k2 1 反思与感悟 反思与感悟 本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数 具体操作时 运用了重要的数学方法 分类讨论 而且是 双向讨论 既要讨论首项系数1 k2是否为0 又要讨论 的三种情况 为理清讨论的思路 可画 树枝图 如图 从树枝图上一看可知 共分四种情况讨论 本文要提醒读者 树枝图 是确定讨论思路的一手绝招 1 要处理好直线与圆锥曲线的位置关系与 的正负和交点个数的关系 0是直线与圆锥曲线相切的充要条件 只有一个交点是直线与圆锥曲线相切的必要不充分条件 2 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题实质上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数的问题 解析答案 求l的斜率k的取值范围 1 相切 解设直线l的方程为y kx 2 整理得 1 4k2 x2 2 1 8k x 13 0 的判别式 4 1 8k 2 4 13 1 4k2 解析答案 2 相交 3 相离 解析答案 题型三弦长 弦中点问题 1 求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 解设弦的两端点为A x1 y1 B x2 y2 中点为M x0 y0 则有x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 x 4y 0 故所求的轨迹方程为x 4y 0 在已知椭圆的内部 解析答案 2 过N 1 2 的直线l与椭圆相交 求l被椭圆截得的弦的中点轨迹方程 解不妨设l交椭圆于A B 弦中点为M x y 整理得x2 2y2 x 4y 0 此式对l的方程为x 1时也成立 所求中点轨迹方程是x2 2y2 x 4y 0 在已知椭圆的内部 即2x 4y 3 0 解析答案 反思与感悟 反思与感悟将圆锥曲线上的两点A B的坐标代入圆锥曲线的方程 然后将两式作差并进行变形 可得到弦AB的斜率与弦中点的坐标之间的关系式 这种方法一般称之为点差法 此关系式可用于解决如下问题 1 以定点为中点的弦的方程 2 平行弦中点的轨迹 3 过定点的弦的中点的轨迹 4 对称问题 解析答案 1 求线段P1P2的中点P的轨迹方程 解析答案 a2 1 b2 2 故中点P的轨迹方程为2x2 y2 4x y 0 得2 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 解析答案 2 过点B 1 1 能否作直线l 使l 与已知双曲线交于Q1 Q2两点 且B是线段Q1Q2的中点 请说明理由 解假设存在直线l 同 1 可得l 的斜率为2 l 的方程为y 2x 1 满足条件的直线l 不存在 题型四对称问题例4已知椭圆3x2 4y2 12 试确定实数m的取值范围 使得对于直线l y 4x m 椭圆上总有两点A B关于直线l对称 解析答案 反思与感悟 消去y 得13x2 8bx 16b2 48 0 解析答案 反思与感悟 解析答案 反思与感悟 3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 x1 x2 2x y1 y2 2y x1 x2 反思与感悟 反思与感悟 处理圆锥曲线上两点关于某直线对称题型的两种方法 方法一称为点差法 主要用于处理弦的斜率与中点问题 而方法二则将对称转化为用判别式 0求解 利用已知条件 建立一个等式与一个不等式 两种解法都是紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题 解析答案 返回 解析答案 解当k 0时 显然不成立 当k 0时 由l AB 代入3x2 y2 3中 得 3k2 1 x2 2kbx b2 3 k2 0 显然3k2 1 0 2kb 2 4 3k2 1 b2 3 k2 0 即k2b2 3k2 1 0 点M x0 y0 在直线l上 返回 把 代入 得k2b2 k2b 0 解得b 0或b 1 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 有5x2 8mx 4m2 4 0 64m2 80 m2 1 0 得m2 5 D 解析答案 2 设A B是抛物线x2 4y上两点 O为原点 若 OA OB 且 AOB的面积为16 则 AOB等于 A 30 B 45 C 60 D 90 D 1 2 3 4 5 AOB为等腰直角三角形 AOB 90 解析圆M的方程可化为 x m 2 y2 3 m2 则由题意得m2 3 4 即m2 1 m 0 m 1 则圆心M的坐标为 1 0 由题意知直线l的方程为x c 又 直线l与圆M相切 c 1 a2 3 1 a 2 解析答案 1 2 3 4 5 C 4 已知直线l1 4x 3y 11 0和直线l2 x 1 抛物线y2 4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 解析因为x 1恰为抛物线y2 4x的准线 所以可画图观察 如图 连接PF d2 PF 解析答案 3 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知一条过点P 2 1 的直线与抛物线y2 2x交于A B两点 且P是弦AB的中点 则直线AB的方程为 x y 1 0 课堂小结 对直线与圆锥曲线位置关系的进一步理解 1 直线与圆锥曲线的位置关系 从几何角度看有三种 相离 相交和相切 相离时 直线与圆锥曲线无公共点 相切时 直线与圆锥曲线有一个公共点 相交时 直线与椭圆有两个公共点 但直线与双曲线 抛物线的公共点个数可能为一个 直线与双曲线的渐近线平行时 直线与抛物线的对称轴平行时 或两个 2 直线与圆锥曲线的位置关系 从代数角度看来 几何问题代数化 是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组 无解时必相离 有两组解必相交 一组解时 若化为x或y的方程 二次项系数非零 判别式为零时必相切 若二次项系数为零 有一组解时必相交 代数结果几何化 3 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时 可将直线l的方程代入曲线C的方程 消去y 或x 得一个关于变量x 或y 的一元二次方程ax2 bx c 0 当a 0时 若 0 则直线l与曲线C相交 若 0 则直线l与曲线C相切 若 0 直线l与曲线C相离 当a 0时 即得到一个一次方程 则l与C相交 且只有一个交点 此时 若C为双曲线 则l平行于双曲线的渐近线 若C为抛物线 则l平行于抛物线的对称轴 当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时 直线与双曲线或抛物线可能相切 也可能相交 返回