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思想方法训练1函数与方程思想一、能力突破训练1.已知椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,其一个交点为P,则|PF2|=()A.32B.3C.72D.42.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.13.已知函数f(x)=x2+ex-12(x0,a1)的定义域和值域都是-1,0,则a+b=.6.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.7.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x+2)b0)的一个顶点为A(2,0),离心率为22.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为103时,求k的值.13.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A,B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.思想方法训练1函数与方程思想一、能力突破训练1.C解析 如图,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,则r1+r2=2a=4,r22-r12=(2c)2=12,化简得r1+r2=4,r2-r1=3,解得r2=72.2.D解析 因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为f(x+2)是偶函数,则f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,所以f(8)=0;同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5),而f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,所以f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故选D.3.B解析 由已知得,与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为h(x)=x2+e-x-12(x0).令h(x)=g(x),得ln(x+a)=e-x-12,作函数M(x)=e-x-12的图象,显然当a0时,函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象一定有交点.当a0时,若函数y=ln(x+a)的图象与M(x)的图象有交点,则ln a12,则0ae.综上a1时,f(x)是增函数,a-1+b=-1,a0+b=0,无解.当0a0,a-10,解得a1.7.x|-7x3解析 令x0,当x0时,f(x)=x2-4x,f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,又f(x)为偶函数,f(-x)=f(x),当x0时,f(x)=x2+4x,故有f(x)=x2-4x,x0,x2+4x,x0.再求f(x)5的解,由x0,x2-4x5,得0x5;由x0,x2+4x5,得-5x0,即f(x)5的解集为(-5,5).由于f(x)的图象向左平移两个单位即得f(x+2)的图象,故f(x+2)5的解集为x|-7x0,S是关于x的增函数,当x23,2时,S0,数列Sn是递增数列.当n3时,(Sn)min=S3=310,依题意,得m310,故m的最大值为310.12.解 (1)由题意得a=2,ca=22,a2=b2+c2,解得b=2.所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0.设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-41+2k2.所以|MN|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=2(1+k2)(4+6k2)1+2k2.因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=|k|1+k2,所以AMN的面积为S=12|MN|d=|k|4+6k21+2k2.由|k|4+6k21+2k2=103,解得k=1.所以k的值为1或-1.13.解 由y=kx+1,x2-y2=1(x-1)消去y,得(k2-1)x2+2kx+2=0.直线m与双曲线的左支有两个交点,方程有两个不相等的负实数根.=4k2+8(1-k2)0,x1+x2=2k1-k20,解得1k2.设M(x0,y0),则x0=x1+x22=k1-k2,y0=kx0+1=11-k2.由P(-2,0),Mk1-k2,11-k2,Q(0,b)三点共线,得出b=2-2k2+k+2,设f(k)=-2k2+k+2=-2k-142+178,则f(k)在(1,2)上为减函数,f(2)f(k)f(1),且f(k)0.-(2-2)f(k)0或0f(k)1.b2.b的取值范围是(-,-2-2)(2,+).
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