江苏省无锡地区中考数学选择填空压轴题 专题7 圆的综合问题.doc

专题07 圆的综合问题 例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（　　） A．2 B． C．＋1 D． 同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论： ①若AD＝5，BD＝2，则； ②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB； ④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则； 则正确的结论是（　　） A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④ 同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作： （1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示． （2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示． （4）连结AE、AF，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论： ①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④：， 以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45，以为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________． 同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，，则sin∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 同类题型2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________． 同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 例3． 如图，直线，⊙O与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，MN沿和平移．⊙O的半径为1，∠1＝60．下列结论错误的是（　　） A． B．若MN与⊙O相切，则 C．若∠MON＝90，则MN与⊙O相切 D．和的距离为2 同类题型3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________． 同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 同类题型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（　　） A． B． C． D． 例4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为______________． 同类题型4.1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是_______________． 同类题型4.2 如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD＝2AD，EC＝2AE，则sin∠BAC的值等于线段（　　） A．DE的长 B．BC的长 C．DE的长 D．DE的长 例5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②＝PB﹒PA；③若OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 同类题型5.1 如图，在半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________． 同类题型5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________． 同类题型5.3 如图，将半径为2，圆心角为120的扇形OAB绕点A逆时针旋转60，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 同类题型5.4 如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆和半圆，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF＝2（EF与AB在圆心和的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______． 参考答案 例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（　　） A．2 B． C．＋1 D． 解：作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP＋PB＝QP＋PB＝QB， 根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值为QB的长度， 连接OQ，OB， ∵点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠ACD＝30． ∵B弧AD中点， ∴∠BOD＝∠ACD＝30， ∴∠QOD＝2∠QCD＝230＝60， ∴∠BOQ＝30＋60＝90． ∵⊙O的半径是2， ∴OB＝OQ＝2， ∴，即PA＋PB的最小值为2． 选D． 同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论： ①若AD＝5，BD＝2，则； ②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB； ④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则； 则正确的结论是（　　） A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④ 解：①如图1， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD， ∵∠BDE＝∠BDE， ∴△BDE∽△ADB， ∴， 由AD＝5，BD＝2，可求， ①不正确； ②如图2， 连接CD， ∠FCD＋∠ACD＝180，∠ACD＋∠ABD＝180， ∴∠FCD＝∠ABD， 若∠ACB＝∠DCF，因为∠ACB＝∠ADB， 则有：∠ABD＝∠ADB，与已知不符， 故②不正确； ③如图3， ∵∠F＝∠F，∠FAD＝∠FBC， ∴△FDA∽△FCB； 故③正确； ④如图4， 连接CD，由②知：∠FCD＝∠ABD， 又∵∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FBA， ∴， 由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：AF＝8，， ∴， ∵直径AG⊥BD， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：C． 同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作： （1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示． （2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示． （4）连结AE、AF，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论： ①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④：， 以上结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵纸片上下折叠A、B两点重合， ∴∠BMD＝90， ∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴∠BNF＝90， ∴∠BMD＝∠BNF＝90， ∴CD∥EF，故①正确； 根据垂径定理，BM垂直平分EF， 又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合， ∴BN＝MN， ∴BM、EF互相垂直平分， ∴四边形MEBF是菱形，故②正确； 如图，连接ME，则ME＝MB＝2MN， ∴∠MEN＝30， ∴∠EMN＝90－30＝60， 又∵AM＝ME（都是半径）， ∴∠AEM＝∠EAM， ∴60＝30， ∴∠AEF＝∠AEM＋∠MEN＝30＋30＝60， 同理可求∠AFE＝60， ∴∠EAF＝60， ∴△AEF是等边三角形，故③正确； 设圆的半径为r，则r，r， ∴r，r， ∴：：：4π，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 选D． 同类题型1.3 同类题型1.4 例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45，以为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________． 解：作OF⊥BC于F，则BC＝2，如图，连结OB， 在Rt△OBF中，， ∵∠BAC＝45，BC＝4， ∴点A在BC所对应的一段弧上一点， ∴当点A在BC的垂直平分线上时OA最大， 此时AF⊥BC，AB＝AC， 作BD⊥AC于D，如图，设BD＝x， ∵△ABD为等腰直角三角形， ∴x， ∴x， 在Rt△BDC中，∵， ∴，即）， ∵BD﹒AC， ∴＋2， ∴， 即线段OA的最大值为＋2＋2． 同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，，则sin∠CBD的值等于（　　） A． B． C． D． 解：连接AO， ∵OM⊥AB于点M，AO＝BO， ∴∠AOM＝∠BOM， ∵∠AOB＝2∠C ∴∠MOB＝∠C， ∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，， ∴ 则sin∠CBD的值等于． 选B． 同类题型2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________． 解：①根据题意，画出图（1）， 在△QOC中，OC＝OM， ∴∠OMC＝∠OCP， 在△OPM中，MP＝MO， ∴∠MOP＝∠MPO， 又∵∠AOC＝30， ∴∠MPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30， 在△OPM中，∠MOP＋∠MPO＋∠OMC＝180， 即（∠OCP＋30）＋（∠OCP＋30）＋∠OCP＝180， 整理得，3∠OCP＝120， ∴∠OCP＝40． ②当P在线段OA的延长线上（如图2） ∵OC＝OM， ∴①， ∵OM＝PM， ∴②， 在△OMP中，30＋∠MOC＋∠OMP＋∠OPM＝180③， 把①②代入③得∠MOC＝20，则∠OMP＝80 ∴∠OCP＝100； ③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）， ∵OC＝OM， ∴①， ∵OM＝PM， ∴②， ∵∠AOC＝30， ∴∠＋∠POM＝150③， ∵∠P＝∠POM，2∠P＝∠OCP＝∠OMC④， ①②③④联立得 ∠P＝10， ∴∠OCP＝180－150－10＝20． 故答案为：40、20、100． 同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90， ∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5， 当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC＝12， ∴＝13， ∴CE＝QC－QE＝13－5＝8， 选D． 例3． 如图，直线，⊙O与和分别相切于点A和点B．点M和点N分别是和上的动点，MN沿和平移．⊙O的半径为1，∠1＝60．下列结论错误的是（　　） A． B．若MN与⊙O相切，则 C．若∠MON＝90，则MN与⊙O相切 D．和的距离为2 解：A、平移MN使点B与N重合，∠1＝60，AB＝2，解直角三角形得，正确； B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，或，错误； C、若∠MON＝90，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON， 故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确； D、，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确． 选B． 同类题型3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________． 解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大． 连接AC， ∵∠AOC＝∠ADC＝90，AC＝AC，OC＝CD， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL）， ∴AD＝AO＝2， 连接CD，设EF＝x， ∴＝EF﹒OE， ∵CF＝1， ∴， ∵△CDE∽△AOE， ∴， 即， 解得， ． 同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 解：∵直线l：与x轴、y轴分别交于A、B， ∴B（0，）， ∴， 在RT△AOB中，∠OAB＝30， ∴＝12， ∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB， ∴PA， 设P（x，0）， ∴PA＝12－x， ∴⊙P的半径x， ∵x为整数，PM为整数， ∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选：A． 同类题型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为的是（　　） A． B． C． D． 解：设⊙O的半径为r， A、∵⊙O是△ABC内切圆， ∴ab， ∴； B、如图，连接OD，则OD＝OC＝r，OA＝b－r， ∵AD是⊙O的切线， ∴OD⊥AB， 即∠AOD＝∠C＝90， ∴△ADO∽△ACB， ∴OA：AB＝OD：BC， 即（b－r）：c＝r：a， 解得：； C、连接OE，OD， ∵AC与BC是⊙O的切线， ∴OE⊥BC，OD⊥AC， ∴∠OEB＝∠ODC＝∠C＝90， ∴四边形ODCE是矩形， ∵OD＝OE， ∴矩形ODCE是正方形， ∴EC＝OD＝r，OE∥AC， ∴OE：AC＝BE：BC， ∴r：b＝（a－r）：a， ∴； D、解：设AC、BA、BC与⊙O的切点分别为D、F、E；连接OD、OE； ∵AC、BE是⊙O的切线， ∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90； ∴四边形ODCE是矩形； ∵OD＝OE， ∴矩形ODCE是正方形； 即OE＝OD＝CD＝r，则AD＝AF＝b－r； 连接OB，OF， 由勾股定理得：，， ∵OB＝OB，OF＝OE， ∴BF＝BE， 则BA＋AF＝BC＋CE，c＋b－r＝a＋r，即． 故选C． 例4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值为______________． 解：如图，连接AC、BD、OF， 设⊙O的半径是r， 则OF＝r， ∵AO是∠EAF的平分线， ∴∠OAF＝602＝30， ∵OA＝OF， ∴∠OFA＝∠OAF＝30， ∴∠COF＝30＋30＝60， ∴r， ∴r， ∵AO＝2OI， ∴r，r， ∴， ∴BD＝r， ∴． 同类题型4.1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是_______________． 解：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P， ∵AE＝5，EC＝3， ∴AO＝CE＋OE，即有，OE＝EN＝1， 又∵△DMN∽△DEO，且DM， ∴DE＝3OE＝3， 又∵OE∥BP，O是DB中点，所以E也是中点， ∴EP＝DE＝3， ∴BP＝2， 又∵△EFC∽△PFB，相似比是3：2， ∴＝1.8， 故可得DF＝DE＋EF＝3＋1.8＝4.8． 同类题型4.2 如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD＝2AD，EC＝2AE，则sin∠BAC的值等于线段（　　） A．DE的长 B．BC的长 C．DE的长 D．DE的长 解：如图，作直径CF，连接BF， 在Rt△CBF中，； ∵BD＝2AD，EC＝2AE， ∴AD：AB＝AE：AC＝1：3， 又∵∠EAD＝∠CAB， ∴△EAD∽△CAB， ∴BC＝3DE， ∴DE． 选D． 例5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②＝PB﹒PA；③若OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③ 解：①连接OC． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA． ∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD， ∴∠OCP＝∠D＝90， ∴OC∥AD． ∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC． 即AC平分∠DAB．故正确； ②∵AB是直径， ∴∠ACB＝90， ∴∠PCB＋∠ACD＝90， 又∵∠CAD＋∠ACD＝90， ∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB． 又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE． ∴∠PFC＝∠PCF． ∴PC＝PF， ∵∠P是公共角， ∴△PCB∽△PAC， ∴PC：PA＝PB：PC， ∴＝PB﹒PA， 即＝PB﹒PA；故正确； ③连接AE． ∵∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴AE＝BE． 又∵AB是直径， ∴∠AEB＝90． ∴＝14， ∴OB＝OC＝7， ∵PD是切线， ∴∠OCP＝90， ∵OP， ∴BC是Rt△OCP的中线， ∴BC＝OB＝OC， 即△OBC是等边三角形， ∴∠BOC＝60， ∴，S_(扇形BOC)＝(60)/(360)π7^(2)＝(49)/(6)π， ∴阴影部分的面积为；故错误； ④∵△PCB∽△PAC， ∴， ∴， 设PB＝x，则PA＝x＋14， ∵＝PB﹒PA， ∴＝x（x＋14）， 解得：＝18，＝－32， ∴PB＝18， ∴；故正确． 故选C． 同类题型5.1 如图，在半径为2cm，圆心角为90的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________． 解：∵扇形OAB的圆心角为90，扇形半径为2， ∴扇形面积为：）， 半圆面积为：）， ∴）， ∴， 连接AB，OD， ∵两半圆的直径相等， ∴∠AOD＝∠BOD＝45， ∴， ∴阴影部分Q的面积为：． 同类题型5.2 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________． 解：设⊙O与矩形ABCD的另一个交点为M， 连接OM、OG，则M、O、E共线， 由题意得：∠MOG＝∠EOF＝45， ∴∠FOG＝90，且OF＝OG＝1， ∴＋1， 过O作ON⊥AD于N， ∴， ∴， ∴， ∴． 同类题型5.3 如图，将半径为2，圆心角为120的扇形OAB绕点A逆时针旋转60，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 解：连接OO′，BO′， ∵将半径为2，圆心角为120的扇形OAB绕点A逆时针旋转60， ∴∠OAO′＝60， ∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′＝60， ∵∠AOB＝120， ∴∠O′OB＝60， ∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B＝120， ∵∠AO′B′＝120， ∴∠B′O′B＝120， ∴∠O′B′B＝∠O′BB′＝30， ∴图中阴影部分的面积－（）＝－（）＝． 选C． 同类题型5.4 如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆和半圆，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF＝2（EF与AB在圆心和的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______． 解：连接，E，F， 则四边形FE是等腰梯形， 过E作，过， ∴四边形EGHF是矩形， ∴GH＝EF＝2， ∴， ∵E＝1， ∴， ∴； ∴EG＝30， ∴E＝30， 同理F＝30， ∴阴影部分的面积＝－2＝．