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9.5抛物线及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程1.了解抛物线的定义,并会用定义进行解题2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)2017课标全国,12;2017山东,15;2016四川,3;2014课标,10;2013江西,9选择题、填空题、解答题2.抛物线的几何性质1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用2017天津,12;2016课标全国,5;2015四川,10选择题、填空题、解答题3.直线与抛物线的位置关系1.会用代数法和数形结合法判断直线与抛物线的位置关系2.根据所学知识熟练解决直线与抛物线位置关系的综合问题2017课标全国,20;2016课标全国,20;2016课标全国,20选择题、填空题、解答题分析解读从近几年的高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着力于数学思想方法及数学语言的考查.五年高考考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8答案A3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|MN|=()A.25B.12C.15D.13答案C4.(2017山东,15,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.答案y=22x5.(2014福建,21,12分)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线的方程;(2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解析(1)解法一:设S(x,y)为曲线上任意一点,依题意,得点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线的方程为x2=4y.解法二:设S(x,y)为曲线上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,知点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x00),则y0=14x02,由y=12x,得切线l的斜率k=y|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=12|MN|=14x0+3x0,|AB|=|AC|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.教师用书专用(67)6.(2013四川,5,5分)抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是()A.23B.2C.3D.1答案D7.(2013课标全国,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.4答案C考点二抛物线的几何性质1.(2016课标全国,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k0)与C交于点P,PFx轴,则k=()A.12B.1C.32D.2答案D2.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B3.(2014安徽,3,5分)抛物线y=14x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A4.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为()A.-43B.-1C.-34D.-12答案C5.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-3)2=16.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圆C的半径.解析(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=5,所以|MN|=2|CO|2-d2=25-4=2.(2)设Cy024,y0,则圆C的方程为x-y0242+(y-y0)2=y0416+y02,即x2-y022x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+y022=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则=4y02-41+y022=2y02-40,y1y2=y022+1.由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以y022+1=4,解得y0=6,此时0.所以圆心C的坐标为32,6或32,-6,从而|CO|2=334,|CO|=332,即圆C的半径为332.教师用书专用(79)7.(2013课标全国,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案C8.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.答案x=-29.(2013北京,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=;准线方程为.答案2;x=-1考点三直线与抛物线的位置关系1.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.303B.6C.12D.73答案C2.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.答案(-,-1)(1,+)3.(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH|ON|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t.(1分)又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.(4分)所以N为OH的中点,即|OH|ON|=2.(6分)(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.(12分)4.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且Aa22,a,Bb22,b,P-12,a,Q-12,b,R-12,a+b2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=a-b1+a2=a-ba2-ab=1a=-aba=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=12|b-a|FD|=12|b-a|x1-12,SPQF=|a-b|2.由题设可得212|b-a|x1-12=|a-b|2,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2a+b=yx-1(x1).而a+b2=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)5.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=14x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解析(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由y=k(x-t),y=14x2消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故y02=-x02t+1,x0t-y0=0,解得x0=2t1+t2,y0=2t21+t2.因此,点B的坐标为2t1+t2,2t21+t2.(2)由(1)知|AP|=t1+t2,和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=t21+t2,设PAB的面积为S(t),所以S(t)=12|AP|d=t32.教师用书专用(69)6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.(ii)当k0时,方程的判别式为=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.若0,x00,由解得k12,即当k(-,-1)12,+时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若=0,x00,x00,由解得k-1,12或-12k0,x00,由解得-1k-12或0k0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-15m+415.由0,k20,得-13m43.又因为|AB|=41+k2k2+m,点F(0,1)到直线AB的距离为d=|m-1|1+k2,所以SABP=4SABF=8|m-1|k2+m=16153m3-5m2+m+1.记f(m)=3m3-5m2+m+1-13f43,所以当m=19时, f(m)取到最大值256243,此时k=5515.所以ABP面积的最大值为2565135.9.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线MA的斜率为-12.(1)求p的值;(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).解析(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y=x2,且切线MA的斜率为-12,所以A点坐标为-1,14,故切线MA的方程为y=-12(x+1)+14.因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,所以y0=-12(2-2)+14=-3-224,y0=-(1-2)22p=-3-222p,由得p=2.(6分)(2)设N(x,y),Ax1,x124,Bx2,x224,x1x2,由N为线段AB中点知x=x1+x22,y=x12+x228.切线MA的方程为y=x12(x-x1)+x124,切线MB的方程为y=x22(x-x2)+x224.由得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22,y0=x1x24.因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=-4y0,所以x1x2=-x12+x226.由得x2=43y,x0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=43y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y.(12分)三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2018河南顶级名校12月联考,7)已知直线l过抛物线y2=-2px(p0)的焦点,且与抛物线交于A、B两点,若线段AB的长是8,AB的中点到y轴的距离是2,则此抛物线的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2018湖北荆州中学11月月考,9)已知抛物线y2=2px(p0),点C(-4,0),过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线,与抛物线交于A,B两点,若CAB的面积为24,则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x答案D3.(2016广东惠州第一次调研,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=()A.6B.8C.9D.10答案B4.(2018四川成都七中12月模拟,13)抛物线y2=ax(a0)上的点P32,y0到焦点F的距离为2,则a=.答案25.(2017四川巴蜀联考,14)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p=.答案2考点二抛物线的几何性质6.(2017广东中山一调,5)已知抛物线x2=2py(p0)的准线与椭圆x26+y24=1相切,则p的值为()A.4B.3C.2D.1答案A7.(2018河北唐山五校联考,15)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=2|BF|=6,则p=.答案48.(2017山西五校联考,13)抛物线x2=-10y的焦点在直线2mx+my+1=0上,则m=.答案259.(2016江西九校联考,15)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其准线与双曲线y2-x2=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.答案23考点三直线与抛物线的位置关系10.(2018山西长治二中等五校12月联考,15)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F且倾斜角为60的直线交C于A,B两点,AMl,BNl,M,N为垂足,点Q为MN的中点,|QF|=2,则p=.答案311.(2017河南安阳调研考试,14)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F作一条直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则|BF|=.答案3212.(2017安徽黄山二模,14)已知抛物线C:y2=8x,焦点为F,点P(0,4),点A在抛物线上,当点A到抛物线准线l的距离与点A到点P的距离之和最小时,延长AF交抛物线于点B,则AOB的面积为.答案4513.(2016河北武邑中学3月模拟,14)已知直线l:y=kx+t与圆:x2+(y+1)2=1相切,且与抛物线C:x2=4y交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是.答案t0或t0,b0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=833yB.x2=4y C.x2=12yD.x2=24y答案D4.(2017广东汕头一模,8)过抛物线C:x2=2y的焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点,若抛物线C在点B处的切线斜率为1,则|AF|=()A.1B.2C.3D.4答案A5.(2017河南百校联盟联考,8)已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为54,且|AF|2,则A点到原点的距离为()A.3B.42C.4D.43答案B6.(2017江西新余、宜春联考,11)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足AFB=23,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN|AB|的最大值是()A.3B.32C.33D.34答案C7.(2016安徽六校第一次联考,11)过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,AF=2FB,则|BC|=()A.8B.132C.6D.92答案D二、解答题(共15分)8.(2018广东惠州调研,20)已知圆x2+y2=12与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,点B的横坐标为22,F为抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个不同的点,从左至右依次为P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)设B(22,y0),由题意得(22)2+y02=12,(22)2=2py0,解之得y0=2,p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由题意知P1,P3在圆上,P2,P4在抛物线上.因为直线l过点F且斜率为1,所以直线l的方程为y=x+1.联立y=x+1,x2+y2=12,得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-112,所以|P1P3|=1+12(x1+x3)2-4x1x3=2(-1)2-4-112=46.由y=x+1,x2=4y,得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=1+12(x2+x4)2-4x2x4=242-4(-4)=8.由题意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,-得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,|P1P2|-|P3P4|=46-8.C组20162018年模拟方法题组方法1求抛物线标准方程的方法1.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,16)已知圆C1:x2+(y-2)2=4,抛物线C2:y2=2px(p0),C1与C2相交于A,B两点,且|AB|=855,则抛物线C2的方程为.答案y2=325x方法2利用抛物线的定义解决有关问题的方法2.(2018江西南昌七校联考,10)已知抛物线x2=2y的焦点为F,其上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)满足|AF|-|BF|=2,则y1+x12-y2-x22=()A.4B.6C.8D.10答案B3.(2016广东汕头金山中学期末,11)已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为()A.3B.4C.5D.2+1答案A4.(2017河南天一大联考(三),14)已知抛物线C:y2=2px(p0)上在第四象限内的点M(2,y0)到焦点F的距离为|y0|,则点M到直线x-y-1=0的距离为.答案522方法3与直线和抛物线位置关系有关问题的求解方法5.(2017湖南岳阳二模,7)若直线y=2x+p2与抛物线x2=2py(p0)相交于A,B两点,则|AB|等于()A.5pB.10pC.11pD.12p答案B6.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中学联考,16)设抛物线y2=4x的焦点为F,A,B两点在抛物线上,且A,B,F三点共线,过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=32,则M点的横坐标为.答案2
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