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02数的整除性阅读与思考 设，是整数，0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数， 而称为的倍数解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1数的整除性常见特征：若整数的个位数是偶数，则2|；若整数的个位数是0或5，则5|；若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|2整除的基本性质设，都是整数，有：若|，|，则|；若|，|，则|()；若|，|，则，|；若|，|，且与互质，则|；若|，且与互质，则|特别地，若质数|，则必有|或|例题与求解【例1】在1，2，3，2 000这2 000个自然数中，有_个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除 (“五羊杯”竞赛试题)解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求【例2】已知，是正整数()，对于以下两个结论：在，这三个数中必有2的倍数；在，这三个数中必有3的倍数其中 ( ) A只有正确B只有正确 C，都正确D，都不正确 (江苏省竞赛试题)解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明【例3】已知整数能被198整除，求，的值 (江苏省竞赛试题)解题思想：198=2911，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值【例4】已知，都是整数，当代数式723的值能被13整除时，那么代数式5722的值是否一定能被13整除，为什么？ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)解题思想：先把5722构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数，在，中都至少有一个为的“魔术数” (xx年全国初中数学竞赛试题)解题思想：不妨设(=1，2，3，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|=1，我们把青蛙从开始，经1次跳动的位置依次记作：， 写出一个，使其，且0； 若=13，=2 012，求的值； 对于整数(2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：=0；=0求整数(2)被4除的余数，并说理理由 (xx年“创新杯”邀请赛试题)解题思想：即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左为保证0只需将“向右”安排在前即可若=13，=2 012，从经过1 999步到不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳设同时满足两个条件：=0；=0由于=0，故从原点出发，经过(1)步到达，假定这(1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=，=1，则=0()()()=2()()()()=2()由于=0，所以(1)=4()即4|(1)能力训练A级1某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有_人不及格2从1到10 000这1万个自然数中，有_个数能被5或能被7整除 (上海市竞赛试题)3一个五位数能被11与9整除，这个五位数是_4在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是() A532B665 C133 D7985能整除任意三个连续整数之和的最大整数是() A1 B2 C3 D6 (江苏省竞赛试题)6用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有() A12个B18个 C20个 D30个 (“希望杯”邀请赛试题)7五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？ (黄冈市竞赛试题)81，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数 (上海市竞赛试题)9173是个四位数字，数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？ (“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1若一个正整数被2，3，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则的最小值为_，的一般表达式为_ (“希望杯”邀请赛试题)2已知，都是正整数，若130，且能被21整除，则满足条件的数对(，)共有_个 (天津市竞赛试题)3一个六位数能被33整除，这样的六位数中最大是_4有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个 A333B334C335D3365一个六位数能被12整除，这样的六位数共有()个 A4 B6C8D126若1 059，1 417，2 312分别被自然数除时，所得的余数都是，则的值为( ) A15B1C164D1747有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下五个数：， ，并把这五个数加起来求出和N只要讲出的大小，魔术师就能说出原数是什么如果N=3 194，请你确定 (美国数学邀请赛试题)8一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数” (武汉市竞赛试题)9一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数 (“五羊杯”竞赛试题)10一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由 (重庆市竞赛试题)11从1，2，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求的最小值 (xx年全国初中数学竞赛试题)专题02 数的整除性例1 267 提示：33366267例2 C 提示：关于的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a3m1，b3n1时，ab3(mn)；(2)当a3m1，b3n2时，ab3(mn1)；(3)当a3m2，b3n1时，ab3(mn1)；(4)当a3m2，b3n2时，ab3(mn).例3 a8b0提示：由9(19ab)得ab8或17；由11|(3ab)得ab8或3例4 设x，y，z，t是整数，并且假设5a7b22cx(7a2b3c) 13(yazbtc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x3，可以得到y2，z1，t1，则有13 (2abc)3(7a2b3c)5a7b22c既然3(7a2b3c)和13(2abc)都能被13整除，则5a7b22c就能被13整除例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，an互不相等，不妨设a1 a2an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设aikit(i1，2，3，n；t0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai10km(k是m的位数)，是7的倍数，当ib时，而ait除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i7时，而ai10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i7时，依抽屉原理，ai10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai10km被7整除，即n7例6 (1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0) (2)a1000139991 012 (3)n被4除余数为0或1A级11 23 143 339 798 4A 5C 6B7五位数10e.又为4的倍数故最值为1 000，又因为为9的倍数故1000e能被9整除，所以e只能取8因此最小值为 10 008.8324 561提示：dfe是11的倍数，但6df5611，1e6，故0dfe10，因此dfe0，即5fe，又ed，f1，故fl，e6，919 提示：173的和能被9整除，故里只能填7，同理，得到后两个数为8，4B级12 521 a2 520n1(nN) 2573719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除于是，各位数字之和(x1989y)也能被3整除，故xy能被3整除4B 5B6A提示：两两差能被n整除，n179，m1647由题意得3 194，两边加上得222(abc)3194 222(abc) 2221486则86是222的倍数且abc14设86222n考虑到是三位数，依次取n1，2，3，4.分别得出的可能值为136，358，580，802，又因为abc14故3588设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)将其数码重新排列后，设其中最大数为，则最小数为故N (100a10bc) (100c10ba)99(ac)可知N为99的倍数这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990而这9个数中，只有954 459495.故495是唯一的三位“拷贝数”9设原六位数为，则6，即6(1000)1000，所以9945 999，即142857， (142，857)1， 142|，857|，而，为三位数，142，857，故14285710设这个数为，则1 000a100b10cdabcd1 999，即1 001a101b11c2d1 999，得a1，进而101b11c2d998，101b998117881，有b9，则11c2d89，而02d18，7111c89，推得c7，d6，故这个四位数是1 97611当n4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除当n5时，设a1a2，a5是1，2，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若中含9, 则不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n的最小值为5
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