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222二次函数与一元二次方程(1) 学习目标:1知道二次函数与一元二次方程的关系2会用一元二次方程ax2bxc0根的判别式b24ac判断二次函数yax2bxc与x轴的公共点的个数一、探索新知1问题:如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力,球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h20t5t2 考虑以下问题: (1)球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间? (2)球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间? (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?(4)球从飞出到落地要用多少时间?从以上可以看出:已知二次函数y的值为m,求相应的自变量x的值,就是求相应一元二次方程的解。例如,、已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解, 、解方程x2-4x+3=0,就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.2一般地我们可以利用二次函数yax2bxc深入讨论一元二次方程ax2bxc0 思考:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你得出相应的一二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1(求出这些函数与x轴的交点,写出过程)小结:(1) 二次函数yx2x2的图象与x轴有 个交点,坐标是 ;则一元二次方程x2x20的根的判别式_0;方程的解是 ; (2)二次函数yx26x9的图像与x轴有_个交点,坐标是 ;则一元二次方程x26x90的根的判别式_0;方程的解是 ;(3)二次函数yx2x1的图象与x轴_公共点,则一元二次方程x2x10的根的判别式_0方程的解的情况是 。(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? ;当b2-4ac0时,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与x轴有两个不同的交点(x1,0)(x2,0);一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个不同的根x=x1,x=x2;当b2-4ac=0时,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与x轴有唯一个交点( ,0);一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的解x1=x2= ; 当b2-4ac0时,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与x轴没有交点;一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根。(5)一般地:已知二次函数yax2bxc的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2bxcm反之,解一元二次方程ax2bxcm又可以看作已知二次函数yax2bxc的值为m的自变量x的值一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)二次函数yax2bxc与x轴的位置关系: 一元二次方程ax2bxc0的根的判别式b24ac (1)当b24ac0时抛物线yax2bxc与x轴有两个交点; (2)当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴只有一个交点; (3)当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴没有公共点二、基本知识练习1二次函数yx23x2,当x1时,y_;当y0时,x_2二次函数yx24x6,当x_时,y3图1y=ax2+bx+cO-14x=1(1,-4)-3-131y=ax2+bx+cX如图41O-1图3y=ax2+bx+cX图2y=ax2+bx+cX32O 3如图1,一元二次方程ax2bxc0的解为_4如图2,一元二次方程ax2bxc3 的解为_5如图3,填空:(1)a_0,(2)b_0,(3)c_0,(4)b24ac_0;(5)abc_0,(6)abc_0,(7)2ab _06如图4,利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式(1)方程ax2bxc0的根为_;(2)方程ax2bxc3的根为_;(3)方程ax2bxc4的根为_;(4)不等式ax2bxc0的解集为_;(5)不等式ax2bxc0的解集为_;(6)不等式4ax2bxc0的解集为_7、根据图象填空: 学生姓名: yy=ax2+bx+cXOm1x(1)a_0;(2)b_0;(3)c_0;(4)b24ac_0;(5)abc_0;(6)abc_0;(7)2ab_0;(8)方程ax2bxc0的根为_;(9)当y0时,x的范围为_;(10)当y0时,x的范围为_;三、课后训练1、抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数有 ;2、抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点,则顶点坐标是 ;3、关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在第 象限;4、一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.5、根据下列表格的对应值: x3.323.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A 3 x 3.23 B 3.23 x 3.24 C 3.24 x 3.25 D 3.25 x B、k C、k且k0 D、 k且k0 16、 若二次函数y= -x2+2x+k的部分图像如图7所示,则一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3, 另一个解x2= ;17、 若函数y=(a-1)x2-2x+1的图像与x轴只有一个交点,则a= ;18、 已知二次函数y=ax2+bx+c中x与y的部分对应值如下表,则当x为 时,y=0;当x满足的条件是 时,y0.x-2-10123图7y31Oxy-16-602图9x21-1-2y0-6BAOCDxy图8 19、如图8二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像的顶点为D,图像与x轴交点A、B的横坐标分别是-1和3,与y轴的负半轴交于点C,下列四个结论:2a+b=0;a+b+c=0;只有a=时,ABD是等腰直角三角形;使ACB为等腰三角形的a的值可以有三个,其中正确的结论是 。20、如图9、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像经过点(-1,2),且与x轴交点的横坐标是x1、x2,其中-2x1-1,0x21,下列结论4a-2b+c0,2a-b0;a4ac,其中正确的有 个。21、已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+4m+4的图像与x轴有两个交点,(1)求m的取值范围;(2)不论x取何值,函数值总大于0,求m取值范围;(3)若抛物线的顶点在x轴上,求m的值。 22、已知二次函数y=x2+bx-c的图像与x轴两个交点的坐标分别是(m,0),(-3m,0),(m0) (1)求证:4c=3b2;(2)若该图像的对称轴是直线x=1,试求二次函数的最小值。23、已知二次函数y=2x2-mx-m2(1) 求证:对于任意实数m,该二次函数的图像与x轴总有公共点;(2) 若该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标。
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