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222二次函数与一元二次方程（1） 学习目标：1知道二次函数与一元二次方程的关系2会用一元二次方程ax2bxc0根的判别式b24ac判断二次函数yax2bxc与x轴的公共点的个数一、探索新知1问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t5t2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？从以上可以看出：已知二次函数y的值为m，求相应的自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解。例如,、已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解, 、解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0,求自变量x的值.2一般地我们可以利用二次函数yax2bxc深入讨论一元二次方程ax2bxc0 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你得出相应的一二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1（求出这些函数与x轴的交点，写出过程）小结：（1） 二次函数yx2x2的图象与x轴有 个交点，坐标是 ；则一元二次方程x2x20的根的判别式_0；方程的解是 ； （2）二次函数yx26x9的图像与x轴有_个交点，坐标是 ；则一元二次方程x26x90的根的判别式_0；方程的解是 ；（3）二次函数yx2x1的图象与x轴_公共点，则一元二次方程x2x10的根的判别式_0方程的解的情况是 。（4）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? ；当b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）；一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不同的根x=x1，x=x2；当b2-4ac=0时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴有唯一个交点（ ，0）；一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的解x1=x2= ； 当b2-4ac0时，二次函数y=ax2+bx+c（a0）与x轴没有交点；一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根。（5）一般地：已知二次函数yax2bxc的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2bxcm反之，解一元二次方程ax2bxcm又可以看作已知二次函数yax2bxc的值为m的自变量x的值一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是（x1,0),（x2,0)二次函数yax2bxc与x轴的位置关系： 一元二次方程ax2bxc0的根的判别式b24ac （1）当b24ac0时抛物线yax2bxc与x轴有两个交点； （2）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴只有一个交点； （3）当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴没有公共点二、基本知识练习1二次函数yx23x2，当x1时，y_；当y0时，x_2二次函数yx24x6，当x_时，y3图1y=ax2+bx+cO-14x=1(1,-4)-3-131y=ax2+bx+cX如图41O-1图3y=ax2+bx+cX图2y=ax2+bx+cX32O 3如图1，一元二次方程ax2bxc0的解为_4如图2,一元二次方程ax2bxc3 的解为_5如图3,填空：（1）a_0,（2）b_0,（3）c_0,（4）b24ac_0;（5）abc_0,（6）abc_0,（7）2ab _06如图4,利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2bxc0的根为_；（2）方程ax2bxc3的根为_；（3）方程ax2bxc4的根为_；（4）不等式ax2bxc0的解集为_；（5）不等式ax2bxc0的解集为_；（6）不等式4ax2bxc0的解集为_7、根据图象填空： 学生姓名： yy=ax2+bx+cXOm1x（1）a_0；（2）b_0；（3）c_0；（4）b24ac_0；（5）abc_0；（6）abc_0；（7）2ab_0；（8）方程ax2bxc0的根为_；（9）当y0时，x的范围为_；（10）当y0时，x的范围为_；三、课后训练1、抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点个数有 ；2、抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点，则顶点坐标是 ；3、关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根，则抛物线y=x2-x-n的顶点在第 象限；4、一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.5、根据下列表格的对应值: x3.323.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09 判断方程ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )A 3 x 3.23 B 3.23 x 3.24 C 3.24 x 3.25 D 3.25 x B、k C、k且k0 D、 k且k0 16、 若二次函数y= -x2+2x+k的部分图像如图7所示，则一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解是x1=3， 另一个解x2= ；17、 若函数y=（a-1）x2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则a= ；18、 已知二次函数y=ax2+bx+c中x与y的部分对应值如下表，则当x为 时，y=0；当x满足的条件是 时，y0.x-2-10123图7y31Oxy-16-602图9x21-1-2y0-6BAOCDxy图8 19、如图8二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像的顶点为D，图像与x轴交点A、B的横坐标分别是-1和3，与y轴的负半轴交于点C，下列四个结论：2a+b=0；a+b+c=0；只有a=时，ABD是等腰直角三角形；使ACB为等腰三角形的a的值可以有三个，其中正确的结论是 。20、如图9、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像经过点（-1，2),且与x轴交点的横坐标是x1、x2，其中-2x1-1，0x21，下列结论4a-2b+c0，2a-b0；a4ac，其中正确的有 个。21、已知二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+4m+4的图像与x轴有两个交点，（1）求m的取值范围；（2）不论x取何值，函数值总大于0，求m取值范围；（3）若抛物线的顶点在x轴上，求m的值。 22、已知二次函数y=x2+bx-c的图像与x轴两个交点的坐标分别是（m，0），（-3m，0），（m0） （1）求证：4c=3b2；（2）若该图像的对称轴是直线x=1，试求二次函数的最小值。23、已知二次函数y=2x2-mx-m2（1） 求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴总有公共点；（2） 若该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为（1，0），求B点坐标。
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