2019版高考数学 9.3 用样本估计总体课件.ppt

第三节用样本估计总体 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 常用统计图表 频率分布表的画法 第一步 求 决定组数和组距 组距 第二步 通常对组内数值所在区间取左闭右开区间 最后一组取闭区间 第三步 登记频数 计算频率 列出频率分布表 极差 分组 频率分布直方图 反映样本频率分布的直方图 如图 横轴表示样本数据 纵轴表示 每个小矩形的面积表示样本落在该组内的 频率 茎叶图的画法 第一步 将每个数据分为茎 高位 和叶 低位 两部分 第二步 将最小茎与最大茎之间的数按 次序排成一列 写在左 右 侧 第三步 将各个数据的叶依次写在其茎的右 左 侧 大小 2 样本的数字特征及意义 众数 中位数 平均数 大小顺序 最中间 最多 标准差 方差 i 标准差 表示样本数据到平均数的一种平均距离 一般用s表示 s ii 方差 标准差的平方s2叫做方差 s2 其中xi i 1 2 3 n 是样本数据 n是 是 样本容量 样本平均数 2 必备结论教材提炼记一记 1 频率分布直方图中纵轴的含义是 不是频率 2 小矩形的面积即数据落在该区间内的频率 所有小矩形的面积和为 3 方差 标准差 越小 样本数据越稳定 波动越 方差 标准差 越大 样本数据越不稳定 波动 1 小 越大 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 由具体到抽象的方法 用样本估计总体的方法 2 数学思想 数形结合思想 方程思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 2 平均数 众数与中位数都可以描述数据的集中趋势 3 一组数据的方差越大 说明这组数据的波动越大 4 频率分布直方图中 小矩形的面积越大 表示样本数据落在该区间内的频率越高 5 茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写 相同的数据可以只记一次 解析 1 错误 平均数一定不大于这组数据中的最大值 2 正确 平均数表示一组数据的平均水平 众数表示一组数据中出现次数最多的数 中位数等分样本数据所占频率 都可以从不同的角度描述数据的集中趋势 3 正确 由方差的意义知结论正确 4 正确 由频率分布直方图的意义知结论正确 5 错误 茎叶图要求不能丢失数据 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修3P70例题改编 某赛季 甲 乙两名篮球运动员都参加了11场比赛 他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 则甲 乙两名运动员得分的中位数分别为 解析 数据的个数为奇数时 中位数为数据按大小排列后最中间的数据 答案 19 13 2 必修3P82A组T6改编 甲 乙两人在相同条件下各射靶10次 每次命中环数如下 甲47109568688乙7868678759试问10次射靶的情况较稳定的是 解析 本题要计算两样本的方差 当样本平均数不是整数 且样本数据不大时 可用简化公式计算方差 4 7 8 7 1 7 8 9 7 1 42 72 82 10 7 12 3 09 72 82 92 10 7 12 1 29 因为 所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定 答案 乙 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 陕西高考 设样本数据x1 x2 x10的均值和方差分别为1和4 若yi xi a a为非零常数 i 1 2 10 则y1 y2 y10的均值和方差分别为 A 1 a 4B 1 a 4 aC 1 4D 1 4 a 解析 选A 样本数据x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 1 方差s 2 x1 1 2 x2 1 2 x10 1 2 4 新数据x1 a x2 a x10 a的均值 x1 a x2 a x10 a x1 x2 x10 a 1 a 新数据x1 a x2 a x10 a的方差s2 x1 a 1 a 2 x2 a 1 a 2 x10 a 1 a 2 x1 1 2 x2 1 2 x10 1 2 4 2 2015 济南模拟 对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查 所得样本的频率分布直方图如图所示 由图可知 这一批电子元件中使用寿命在100 300h的电子元件的数量与使用寿命在300 600h的电子元件的数量的比是 解析 由于已知的频率分布直方图中组距为100 寿命在100 300h的电子元件对应的矩形的高分别为 则寿命在100 300h的电子元件的频率为 寿命在300 600h的电子元件对应的矩形的高分别为 则寿命在300 600h的电子元件的频率为 则寿命在100 300h的电子元件的数量与寿命在300 600h的电子元件的数量的比大约是答案 考点1数字特征的计算与应用 典例1 1 2014 陕西高考 某公司10位员工的月工资 单位 元 为x1 x2 x10 其均值和方差分别为和s2 若从下月起每位员工的月工资增加100元 则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 A s2 1002B 100 s2 1002C s2D 100 s2 2 2015 东城模拟 汽车的碳排放量比较大 某地规定 从2014年开始 将对二氧化碳排放量超过130g km的轻型汽车进行惩罚性征税 检测单位对甲 乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测 记录如下 单位 g km 经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 120g km 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆 则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g km的概率是多少 求表中x的值 并比较甲 乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性 解题提示 1 根据均值和方差的计算公式代入求解即可 2 利用古典概型的概率公式求解 计算两种品牌车二氧化碳排放量的平均数与方差 再根据平均数和方差的意义判断 规范解答 1 选D 样本数据x1 x2 x10的均值 x1 x2 x10 方差s2 x1 2 x2 2 x10 2 新数据x1 100 x2 100 x10 100的均值 x1 100 x2 100 x10 100 x1 x2 x10 100 100 新数据x1 100 x2 100 x10 100的方差 x1 100 100 2 x2 100 100 2 x10 100 100 2 x1 2 x2 2 x10 2 s2 2 从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆 共有10种不同的二氧化碳排放量结果 80 110 80 120 80 140 80 150 110 120 110 140 110 150 120 140 120 150 140 150 设 至少有一辆二氧化碳排放量超过130g km 为事件A 则事件A包含以下7种不同的结果 80 140 80 150 110 140 110 150 120 140 120 150 140 150 所以P A 0 7 即至少有一辆二氧化碳排放量超过130g km的概率为0 7 由题可知 120 所以 120 解得x 120 80 120 2 110 120 2 120 120 2 140 120 2 150 120 2 600 100 120 2 120 120 2 120 120 2 100 120 2 160 120 2 480 因为所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好 一题多解 解答本题 1 你还会什么解法 解答本题 1 还可以利用以下解法 因为平均值反映的是数据的平均水平 都增加100时 平均值也增加100 而方差反映的是数据的波动情况 都增加100时 数据的波动情况不变 故选D 规律方法 众数 中位数 平均数及方差的意义及计算方法 1 平均数与方差都是重要的数字特征 是对总体的一种简明地描述 平均数 中位数 众数描述其集中趋势 方差和标准差描述波动大小 2 平均数 方差的公式推广 若数据x1 x2 xn的平均数为 那么mx1 a mx2 a mx3 a mxn a的平均数是m a 数据x1 x2 xn的方差为s2 i 数据x1 a x2 a xn a的方差也为s2 ii 数据ax1 ax2 axn的方差为a2s2 3 方差的简化计算公式 s2 或写成即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 变式训练 1 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40 在一次考试中 男 女平均分数分别是75 80 则这次考试该年级学生平均分数为 解析 由平均数的定义得75 40 80 1 40 78 答案 78 2 2013 江苏高考 抽样统计甲 乙两位射击运动员的5次训练成绩 单位 环 结果如下 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 解题提示 利用平均数公式与方差公式求解可得结果 解析 答案 2 加固训练 某人5次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为x y 10 11 9 已知数据的平均数为10 方差为2 则 x y 解析 由题意得答案 4 考点2茎叶图的应用 典例2 1 2013 重庆高考 以下茎叶图记录了甲 乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩 单位 分 已知甲组数据的中位数为15 乙组数据的平均数为16 8 则x y的值分别为 A 2 5B 5 5C 5 8D 8 8 2 2013 安徽高考 为调查甲 乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况 用简单随机抽样 从这两校中各抽取30名高三年级学生 以他们的数学成绩 百分制 作为样本 样本数据的茎叶图如下 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0 05 求甲校高三年级学生总人数 并估计甲校高三年级学生这次联考数学成绩的及格率 60分及60分以上为及格 设甲 乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为估计的值 解题提示 1 直接利用中位数和平均数的定义进行求解 2 利用抽样比求总体容量 利用样本及格率估计总体及格率 利用样本平均成绩估计总体平均成绩 规范解答 1 选C 因为甲组数据的中位数为15 所以易知x 5 又乙组数据的平均数为16 8 所以 16 8 解得y 8 故选C 2 设甲校高三年级学生总数为n 由题意知 0 05 即n 600 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5 据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1 设甲 乙两校样本平均数分别为根据样本茎叶图可知 7 5 55 8 14 24 12 65 26 24 79 22 20 92 2 49 53 77 2 92 15 因此 0 5 故的估计值为0 5分 互动探究 题 1 中甲组的平均分是多少 乙组的中位数是多少 解析 因为x 5 y 8 所以甲组的平均分是乙组的中位数是18 规律方法 茎叶图的优缺点优点 一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到 二是茎叶图便于记录和表示 能够展示数据的分布情况 缺点 样本数据较多或数据位数较多时 不方便表示数据 变式训练 1 2015 长治模拟 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计 得到样本的茎叶图 如图所示 则该样本的中位数 众数 极差分别是 A 47 45 56B 46 45 53C 46 45 56D 45 47 53 解析 选C 由茎叶图可知 中位数为 46 众数为45 极差为68 12 56 2 2013 山东高考 将某选手的9个得分去掉1个最高分 去掉1个最低分 7个剩余分数的平均分为91 现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊 无法辨认 在图中以x表示 则7个剩余分数的方差为 解析 选B 这组数据为87 87 94 90 91 90 90 x 99 91 最高分为99 最低分为87 剩余数据为87 94 90 91 90 90 x 91 加固训练 1 2013 重庆高考 如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量 单位 台 的茎叶图 则数据落在区间 22 30 内的概率为 A 0 2B 0 4C 0 5D 0 6 解题提示 直接根据数据的总个数和落在区间 22 30 内的个数求解即可 解析 选B 落在区间 22 30 内的个数为4个 总的数据有10个 故概率为0 4 选B 2 2013 新课标全国卷 为了比较两种治疗失眠症的药 分别称为A药 B药 的疗效 随机地选取20位患者服用A药 20位患者服用B药 这40位患者在服用一段时间后 记录他们日平均增加的睡眠时间 单位 h 实验的观测结果如下 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间 0 61 22 71 52 81 82 22 33 23 52 52 61 22 71 52 93 03 12 32 4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间 3 21 71 90 80 92 41 22 61 31 41 60 51 80 62 11 12 51 22 70 5 1 分别计算两组数据的平均数 从计算结果看 哪种药的疗效更好 2 根据两组数据完成下面茎叶图 从茎叶图看 哪种药的疗效更好 解析 1 设A药观测数据的平均数为 B药观测数据的平均数为 由观测结果可得 0 6 1 2 1 2 1 5 1 5 1 8 2 2 2 3 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 7 2 8 2 9 3 0 3 1 3 2 3 5 2 3 0 5 0 5 0 6 0 8 0 9 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 6 1 7 1 8 1 9 2 1 2 4 2 5 2 6 2 7 3 2 1 6 由以上计算结果可得 因此可以看出A药的疗效更好 2 由观测结果可绘制如下茎叶图 从茎叶图可以看出 A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2 3上 B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0 1上 由此可以看出A药的疗效更好 考点3频率分布直方图知 考情高考中对频率分布直方图的考查主要侧重于以下三个方面 一是求某一组的频率或频数 二是完善频率分布直方图 补画小矩形或求纵轴中的参数 三是与概率相结合出题 明 角度命题角度1 利用频率分布直方图求频率或频数 典例3 2014 山东高考改编 为研究某药品的疗效 选取若干名志愿者进行临床试验 所有志愿者的舒张压数据 单位 kPa 的分组区间为 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组 第二组 第五组 如图是根据试验数据制成的频率分布直方图 所有志愿者的舒张压中位数为 众数为 若已知第一组与第二组共有20人 第三组中没有疗效的有6人 则第三组中有疗效的人数为 解题提示 中位数是使直方图中左右两侧面积相等的值 众数是最高的小矩形的中间值 利用已知数据估计总体数据 再根据比例计算第三组数据有疗效的人数 规范解答 由图知 若中位数是a 则0 24 0 16 a 14 0 36 0 5 解得a 14 28 众数是14 5 因为样本总数为N 50 所以若第三组中有疗效的人数为x 则 0 36 解得x 12 答案 14 2814 512 命题角度2 利用频率分布直方图求概率 典例4 2014 重庆高考 20名学生某次数学考试成绩 单位 分 的频率分布直方图如下 1 求频率分布直方图中a的值 2 分别求出成绩落在 50 60 与 60 70 中的学生人数 3 从成绩在 50 70 的学生中任选2人 求此2人的成绩都在 60 70 中的概率 解题提示 直接根据频率之和为1可求出a的值 再根据对应频率可求出成绩落在 50 60 与 60 70 中的学生人数 然后利用古典概型概率公式求解成绩都在 60 70 中的概率 规范解答 1 根据直方图知组距为10 由 2a 3a 7a 6a 2a 10 1 解得a 0 005 2 成绩落在 50 60 中的学生人数为2 0 005 10 20 2 成绩落在 60 70 中的学生人数为3 0 005 10 20 3 3 记成绩落在 50 60 中的2人为A1 A2 成绩落在 60 70 中的3人为B1 B2 B3 则从成绩在 50 70 的学生中任选2人的基本事件共有10个 A1 A2 A1 B1 A1 B2 A1 B3 A2 B1 A2 B2 A2 B3 B1 B2 B1 B3 B2 B3 其中2人的成绩都在 60 70 中的基本事件有3个 B1 B2 B1 B3 B2 B3 故所求概率为P 悟 技法关于频率分布直方图的常见题型及解题思路 1 求某组内的频数或频率 利用小矩形的面积即数据落在该区间内的频率求解 2 求概率 通常是借助频率分布直方图的几何意义 用频率近似估计概率 通 一类1 2013 陕西高考 对一批产品的长度 单位 mm 进行抽样检测 如图为检测结果的频率分布直方图 根据标准 产品长度在区间 20 25 上的为一等品 在区间 15 20 和区间 25 30 上的为二等品 在区间 10 15 和 30 35 上的为三等品 用频率估计概率 现从该批产品中随机抽取一件 则其为二等品的概率为 A 0 09B 0 20C 0 25D 0 45 解析 选D 组距为5 二等品的概率为1 0 02 0 06 0 03 5 0 45 所以 从该批产品中随机抽取1件 则其为二等品的概率为0 45 2 2013 辽宁高考 某班的全体学生参加英语测试 成绩的频率分布直方图如图 数据的分组依次为 20 40 40 60 60 80 80 100 若低于60分的人数是15 则该班的学生人数是 A 45B 50C 55D 60 解析 选B 由频率分布直方图 计算出低于60分的人数的频率 前两个小矩形的面积 p 20 0 005 20 0 01 0 3 则总人数为15 0 3 50 3 2015 自贡模拟 统计1000名学生的数学模块 一 水平测试成绩 得到样本频率分布直方图如图所示 规定不低于60分为及格 不低于80分为优秀 则及格但不优秀的人数是 解析 由频率分布直方图得及格但不优秀的学生频率为 0 025 0 035 10 0 6 所以及格但不优秀的学生人数为1000 0 6 600 答案 600 4 2015 邯郸模拟 某商场在庆元宵促销活动中 对元宵节当天9时至14时的销售额进行统计 其频率分布直方图如图所示 已知9时至10时的销售额为2 5万元 则11时至12时的销售额为万元 解析 设11时至12时的销售额为x万元 则解得x 10 答案 10 规范解答18统计与概率的综合应用 典例 12分 2014 龙岩模拟 为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况 对某班M名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计 得到如下的频率分布表与直方图 1 求频率分布表中M c d及频率分布直方图中f的值 2 求参加锻炼次数的众数 直接写出答案 不要求计算过程 3 从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人 求至少一人参加锻炼的次数在区间 22 26 内的概率 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 1分因为2 11 16 15 d 2 M 所以d 4 2分 4分 2 众数为12 6分 3 参加次数不少于18次的学生共有 d 2 6人 设在 18 22 内的4人为 A B C D 在 22 26 内的2人为m n 7分 设 从参加锻炼次数不少于18次的学生中任选2人 其中至少一人参加锻炼的次数在区间 22 26 内 为事件M P M 12分 高考状元满分心得把握规则争取满分 1 注意审题 看清题目要求 既要步骤完整 又能够省时省力 如本题 2 中 只需写出答案 就不必解释理由 2 步骤要规范严谨 不能随意删减 本题 3 中不求15和9这两个数据 直接得出P的值是不得分的