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专题09 动量守恒定律应用模型模型界定本模型主要处理关于动量守恒定律的理解与应用方法以及与能量守恒相结合的一般情况，不涉及具体的碰撞、子弹打木块及人船模型等。模型破解1.动量守恒定律内容一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。2.动量守恒定律表达式（1）守恒角度：作用过程中系统在任一时刻动量均相等p=p或（等式两边均为矢量和）（2）变化的角度：作用前后系统的总动量变化为零p=0（3）转移角度：系统内A物体动量的增量等于B物体动量的减少量即两个物体的动量变化大小相等，方向相反p1=p2或（等式两边均为矢量差）此处要注意动量变化的矢量性.在两物体相互作用的过程中，也可能两物体的动量都增大，也可能都减小，但其矢量和不变。3.动量守恒定律的理解（1）条件性动量守恒定律是自然界最普遍、最基本的规律之一。不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用与微观物体的高速运动。小到微观粒子，大到宇宙天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适用的。应用动量守恒定律解题时可从三种情况进行判定：（i).系统不受外力或者所受合外力为零；(ii).系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒；(iii).系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒。但是若系统在某一方向上符合以上条件的任意一条，则系统在该方向上动量守恒。例1. 如图所示,质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连,放在光滑水平面上,A靠紧竖直墙.用水平力F将B向左压,使弹簧被压缩一定长度,静止后弹簧储存的弹性势能为E.这时突然撤去F,关于A、B和弹簧组成的系统,下列说法正确的是 （ ） A.撤去F后,系统动量守恒,机械能守恒B. 撤去F后,A离开竖直墙前,系统动量不守恒,机械能守恒C. 撤去F后,A离开竖直墙后,弹簧的弹性势能最大值为ED. 撤去F后,A离开竖直墙后,弹簧的弹性势能最大值为 【答案】BD例2.如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h。物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点的正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t。【答案】设碰撞后物块的速度大小为，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有得物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小设物块在水平面上滑行的时间为，根据动量定理，有得例3.如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑 A.在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒B.在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功C.被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动D.被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处【答案】C （2）矢量性动量是矢量。动量守恒定律的方程是一个矢量方程。在一维情况下，通常规定正方向后，能确定方向的物理量一律将方向表示为“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能确定方向的物理量可以用字母表示，若计算结果为“+”，则说明其方向与规定的正方向相同，若计算结果为“-”，则说明其方向与规定的正方向相反。例4.如图所示，质量为mB=2kg的木块B静止在光滑水平面上。一质量为mA= 1kg的木块A以某一初速度v0=5m/s沿水平方向向右运动，与B碰撞后都向右运动。木块B 与挡板碰撞后立即反弹（设木块B与挡板碰撞过程无机械能损失）。后来木块B与A发生二次碰撞，碰后A、B同向运动，速度大小分别为1.2m/s 、0.9m/s。求第一次木块A、B碰撞过程中A对B的冲量大小和方向。 【答案】0.4Ns，向右【解析】设A、B第一次碰撞后的速度大小分别为 vA1、vB1，取向右为正方向，对于A、B组成的系统，由动量守恒定律得： B与挡板碰撞，因为没有机械能损失，所以B以原速率反弹，则第二次A、B碰撞前瞬间的速度大小仍然分别为vA1、vB1，设碰撞后的速度大小分别为vA2、vB2，由题意知，vA2和vB2方向均向左，取向左为正方向，由动量守恒定律得： 第一次碰撞过程中，设向右为正，对B，由动量定理可得 方向向右 （3）相对性物体的动量与参考系的选择有关。通常，取地面为参考系，因此，作用前后的速度都必须相对于地面。（4）瞬时性动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。因此，列出的动量守恒定律表达式m1v1+m2v2+=m1v1+m2v2+，其中v1，v2都是作用前同一时刻的瞬时速度，v1，v2都是作用后同一时刻的瞬时速度。只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在具体问题中，可根据任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。例5.质量M的小船尾部有一质量m的人,人和船以v向前行驶.人以相对于船的水平速度u向后跳出后,船速为多大?【答案】（5）普适性它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。例6.如图所示，木块A的质量mA = 1 kg，足够长的木板B的质量mB = 4 kg，质量为mC = 4 kg的木块C置于木板B的右端，已知水平地面光滑，B、C之间有摩擦现使A以v0 = 12 m/s的初速度向右运动，与B碰撞后以4 m/s速率弹回，求此后的运动过程中 木板B的最大速率；木块C的最大速率【答案】4m/s2m/s 4.动量守恒定律的一般解题步骤 确定研究对象(系统),进行受力分析: 确定研究过程,进行运动分析; 判断系统在所研究的过程中是否满足动量守恒定律成立的条件; 规定某个方向为正方向,分析初末状态系统的动量;根据动量守恒定律建立方程,并求出结果。5.动量守恒与能量守恒的结合 在动量与能量结合的问题中，常见的情形有：一是利用在某一过程中动量或某一方向的动量守恒，同时利用此过程中系统的能量守恒列方程求解；二是多阶段过程中，整个过程中动量并不守恒，只在某个阶段中或某个瞬时动量守恒，可利用动量守恒列方程，而在其它阶段利用能量守恒列方程，再联立求解。例7.如图所示，物体A、B的质量分别是、，用轻弹簧相连接放在光滑的水平面上，物体B左侧与竖直墙相接触另有一个物体C以速度向左运动，与物体A相碰，碰后立即与A粘在一起不再分开，然后以的共同速度压缩弹簧，试求物块C的质量在B离开墙壁之后，弹簧的最大弹性势能【答案】2kg 6J 例8.两质量分别为M1和M2的劈A和B，高度相同，放在光滑水平面上，A和B的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图所示，一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上，距水平面的高度为h。物块从静止滑下，然后双滑上劈B。求物块在B上能够达到的最大高度。 【答案】【解析】设物块到达劈A的低端时，物块和A的的速度大小分别为和V，由机械能守恒和动量守恒得 设物块在劈B上达到的最大高度为，此时物块和B的共同速度大小为，由机械能守恒和动量守恒得 联立式得 例9.如图所示，相距L的光滑金属导轨，半径为R的圆弧部分竖直放置，直的部分固定于水平地面，MNQP范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场。金属棒ab和cd垂直导轨且接触良好，cd静止在磁场中；ab从圆弧的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触。已知ab的质量为m、电阻为r，cd的质量为3m、电阻为r，金属导轨电阻不计，重力加速度为g。求：ab到达圆弧底端时对轨道的压力大小；在图中标出ab刚进入磁场时cd中的电流方向；若cd离开磁场时的速度是此刻ab速度的一半，求：cd离开磁场瞬间，ab受到的安培力大小。【答案】（1）3mg（2）电流的方向为abdca(3) 设cd刚离开磁场时的速度为v，则ab此时的速度为2v，以为ab、cd为系统，所受合外力为零，动量守恒，则有：mv0=m2v+3mv 联得： 此时ab产生的感应电动势为E=2BLv ，cd已出磁场，不产生的感应电动势回路中的感应电流为： ab受到的安培力为：F=ILB 联得： 模型练习1如图所示，两辆质量相同的平板小车a、b成一直线排列，静止在光滑水平地面上，原来静止在a车上的一个小孩跳到b，接着又立即从b跳回a车，他跳回a车并相对a车保持静止，此后 。（填选项前的字母） Aa、b两车的速率相等 Ba车的速率大于b车的速率Ca车的速率小于b车的速率 Da、b两车均静止【答案】C 2.在质量为M的小车中挂有一单摆，摆球的质量为m0，小车和单摆一起以恒定的速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短在此碰撞瞬间，下列说法中可能发生的是（ ） A小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为vl、v2、v3，满足（M+m0）v=Mvl+m2v2+m0v3B摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为vl和v2，满足（M+m0）v=Mv1+mv2C摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为v1，满足Mv=（M+m）v1D小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足（M+m0）v=（M+m0）v1+mv【答案】C【解析】碰撞的瞬间小车和木块组成的系统动量守恒，摆球可认为没有参与碰撞，由于惯性其速度在瞬间不变若碰后小车和木块的速度变v1和v2，根据动量守恒有：Mv=mv1+mv2若碰后小车和木块速度相同，根据动量守恒定律有：Mv=（M+m）v1故C正确，A、B、D错误3.如图所示,将质量为M1,半径为R且内壁光滑的半圆槽置于光滑水平面上,左侧靠墙角,右侧靠一质量为M2的物块.今让一质量为m的小球自左侧槽口A的正上方h高处从静止开始落下,与圆弧槽相切自A点进入槽内,则以下结论中正确的是（ ） A.小球在槽内运动的全过程中,小球与半圆槽在水平方向动量守恒B.小球在槽内运动的全过程中,小球、半圆槽和物块组成的系统动量守恒C.小球离开C点以后,将做竖直上抛运动D.槽将与墙不会再次接触【答案】D3.两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m（M=2rn,），半径分别为R和r，两板之间用一根长为L= 0.4rm不可伸长的轻质绳相连结开始时，两板水平叠放在支架C上方高h=0.2m处，支架上有一个半径为的圆孔，两板中心与圆孔中心在同一直线上，如图所示现让两板一起自由下落，大圆板碰到支架后跳起，机械能无损失，小圆板穿过圆孔继续运动，两板分离，试求当细绳绷紧的瞬间两板的共同速度（不计碰撞时间及空气阻力，取g= 10m/s2） 【答案】【解析】设与m自由下落到与C碰撞时的速度为v1，大圆板碰到C后向上跳起，做竖直上抛运动，小圆板做加速度为g的加速运动。当二者之间的距离为L时细绳拉紧，则有：此时大圆板的速度，方向向上小圆板的速度为，方向向下选向下为正方向，细绳绷紧过程动量守恒：得4.如图，在光滑水平长直轨道上有A、B两个小绝缘体，质量分别为m、M，且满足M=4m、A带正电、B不带电它们之间用一根长为L的轻软细线相连，空间存在方向向右的匀强电场开始时将A与B靠在一起，且保持静止：某时刻撤去外力，A将向右运动，当细线绷紧时，两物体间将发生时间极短的相互作用，此后B开始运动，线再次松弛，已知B开始运动时的速率等于线刚要绷紧瞬间A物体速率的设整个过程中A的带电量保持不变B开始运动后到细线第二次被绷紧前的过程中，B与A是否会相碰?如果能相碰，求出相碰时B的位移大小及A、B相碰前瞬间的速度；如果不能相碰，求出B与A间的最短距离 【答案】【解析】当A、B之间的细线绷紧前，物块A的速度为vA，电场力为F，据动能定理有 细线绷紧时间很短可认为这个过程中A、B系统的动量守恒。则有 得可见软线绷紧后，A将先向左做减速运动，加速度a保持不变，同时B将向右做匀速直线运动。A减速为零后再次加速到B同速时所用的时间为tA据动量定理有 这段时间B前进位移为可见，细线再次绷紧时A、B不会相碰此时A、B间距离最短，则A、B间最近时相距为 5.如图所示，光滑绝缘杆上套有两个完全相同、质量都是m的金属小球a、b，a带电量为q（q0），b不带电。M点是ON的中点，且OM=MN=L，整个装置放在与杆平行的匀强电场中。开始时，b静止在杆上MN之间的某点P处，a从杆上O点以速度v0向右运动，到达M点时速度为，再到P点与b球相碰并粘合在一起（碰撞时间极短），运动到N点时速度恰好为零。求：电场强度E的大小和方向；a、b两球碰撞中损失的机械能；a球碰撞b球前的速度v。【答案】（1）向左（2）（3） 设碰撞中损失的机械能为E，对a、b球从O到N的全过程应用能的转化和守恒定律：qE2LE0 则碰撞中损失的机械能为 E= 设a与b碰撞前后的速度分别为v、v，则 ：mv2mv 又减少的动能E 6.如图所示，一轻质弹簧两端连接着物体A和物体B，放在光滑的水平面上,水平速度为V0的子弹射中物体A并嵌在其中，已知物体B的质量为mB，物体A的质量是物体B的质量的3/4，子弹的质量是物体B的质量的1/4,求弹簧被压缩到最短时的弹性势能。 【答案】 7.如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨（不计电阻），由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成。其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场，其磁感应强度为B，导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m。，电阻为2r。另一质量为m，电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60，求： （1）ab棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？（2）ab棒能达到的最大速度是多大？（3）ab棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？【答案】（1）、（2）（3）（2）设ab棒与cd棒所受安培力的大小为F，安培力作用时间为 t，ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v时，电路中电流为零，安培力为零，cd达到最大速度。运用动量守恒定律得 解得 （3）系统释放热量应等于系统机械能减少量，故有 解得8.如图中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料ER流体，它对滑块的阻力可调。起初，滑块静止,ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量为M=2m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块瞬间碰撞后粘在一起向下运动。为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为 （g为重力加速度）时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。试求（忽略空气阻力）:(1) 下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；(2) 在滑块下移停止之前的过程中，ER流体对滑块阻力的大小f与下滑距离d所满足的函数关系式。 【答案】（1）2mgL/3 （2）2mg-kd+4kL/9 （2）相碰前弹簧的压缩量为x1 =mg/k 共同下移到静止h=3mg/k , 设加速度的大小为a，由匀变速直线运动公式有V22=2ah 设滑块下滑距离d时受到ER流体的阻力大小为f,此时弹簧的压缩量为x2则x2= x1+d 由牛顿第二定律得：f+kx2 (M+m)g=(M+m)a 由、得f= 2mg-kd+4kL/9
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