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第17章 一元一次方程章末小结与提升一元二次方程的概念概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a0)一元二次方程的解法配方法公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是x=-bb2-4ac2a(b2-4ac0)因式分解法一元二次方程根的判别式当0时一元二次方程有两个不相等的实数根当=0时一元二次方程有两个相等的实数根当0时一元二次方程没有实数根一元二次方程根与系数的关系:若x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根,则x1+x2=-ba,x1x2=ca一元二次方程的应用:审、设、列、解、验、答类型1一元二次方程的概念典例1若方程(m+2)x|m|+3mx-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为()A.2B.2C.-2D.1【解析】由一元二次方程的概念知,|m|=2且m+20,解得m=2.【答案】 B【针对训练】1.下列方程中,一定是一元二次方程的有(B)3x2+5=0;ax2+bx+c=0;(x-2)(x+3)=0;x2-1x=0.A.1个B.2个C.3个D.4个2.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2+m-6=0的常数项为0,则m的值为(C)A.0B.2C.-3D.2或-3类型2一元二次方程的解法1.方程x(x-2)=2-x的解为(C)A.x=-1B.x=2C.x=-1或x=2D.x=1或x=22.解下列方程:(1)2x2-43x=2;解:x1=1+103,x2=1-103.(2)2x2+1=25x.解:x1=5+32,x2=5-32.类型3一元二次方程根的判别式典例2若5k+200,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【解析】=16+4k=45(5k+20),5k+200,0,方程没有实数根.【答案】 A【针对训练】1.一元二次方程x2-ax+1=0有两个相等的实数根,则a的值为(B)A.0B.2或-2C.2D.2或02.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+8x+6=0有实数根,则满足条件的正整数m的值是1或3或4.类型4一元二次方程根与系数的关系1.已知,是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足1+1=-1,则m的值是3.2.(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-2)x+(m2-2m)=0的两实数根为x1,x2,且x12+x22=10,求m的值.解:由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=2m-2,x1x2=m2-2m.x12+x22=10,(x1+x2)2-2x1x2=10,(2m-2)2-2(m2-2m)=10,解得m1=3,m2=-1,m的值为3或-1.类型5一元二次方程的应用典例3(眉山中考)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?【解析】(1)设此批次蛋糕属第x档次产品,则10+2(x-1)=14,解得x=3.答:此批次蛋糕属第三档次产品.(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品,根据题意,得10+2(x-1)76-4(x-1)=1080,解得x1=5,x2=11(舍去).答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.【针对训练】1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?解:每轮传染中平均一个人传染了x个人,根据题意得1+x+x(1+x)=64,解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去),答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)647=448(人).答:如果不及时控制,第三轮将又有448人被传染.2.安徽省长丰县素有“中国草莓之乡”的美誉.该县某草莓种植户xx年种植的草莓亩产量比xx年增加了20%,销售单价比xx年也增加了,结果发现每亩草莓的销售额比xx年增加了45.2%,求xx年至xx年这两年草莓销售单价的年平均增长率.解:设xx年至xx年草莓单价的年平均增长率为x,根据题意得(1+20%)(1+x)2=1+45.2%,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:xx年至xx年这两年草莓销售单价的年平均增长率为10%.3.某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.(1)若每个房间定价增加40元,则这个宾馆这一天的利润为多少元?(2)若宾馆某一天获利10640元,则房价定为多少元?(3)房价定为多少时,宾馆的利润最大?解:(1)若每个房间定价增加40元,则这个宾馆这一天的利润为(180+40-20)50-4010=9200元.(2)设每个房间的定价为a元.根据题意,得(a-20)50-a-18010=10640,解得a=300或a=400.答:房价定为300元或400元.(3)设房价增加x元时,利润为w.w=(180-20+x)50-x10=-110(x-170)2+10890.因而当x=170时,即房价是350元时,利润最大.
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