运动的守恒量和守恒定律.ppt

第二章 运动的守恒量和守恒定律 力和加速度之间的瞬时效应 牛顿定律 力的时间累积效应 冲量 力的空间累积效应 功 力的时间积累 即冲量 动量 一 冲量和动量 二 质点动量定理 重写牛顿第二定律的微分形式 元冲量 考虑一过程 时间从t1 t2 两端积分 这就是动量定理 物体在运动过程中所受到的合外力的冲量 等于该物体动量的增量 动量定理的几点说明 1 冲量的方向 冲量的方向一般不是某一瞬时力的方向 而是所有元冲量的合矢量的方向 3 在直角坐标系中将矢量方程改为标量方程 2 冲量与动量具有因果关系 冲量是原因 动量是结果 4 动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均冲力 打击或碰撞 力的方向保持不变 曲线与t轴所包围的面积就是t1到t2这段时间内力的冲量的大小 根据改变动量的等效性 得到平均力 4 动量定理是牛顿第二定律的积分形式 因此其适用范围是惯性系 车上 5 物体的动量相对于不同的惯性系是不同的 但动量定理不变 地上 6 动量是状态量 冲量是过程量 动量定理给出了过程量与状态量之间的关系 因此 在应用动量定理解问题时可以忽略瞬息万变的相互作用以及加速度 常见的几种动量现象 跳远时 在落地处置一沙坑 这是为了防止运动员在接触到地面时 受力时间太短而造成特别大的撞击力 使运动员腿部受伤 跳高时 在落地处垫上海绵 也是同样的道理 美国 勇气号 火星探测器登陆时使用的安全气囊 卫星发射 MPG 逆风行舟 例题2 1质量m 3t的重锤 从高度h 1 5m处自由落到受锻压的工件上 工件发生形变 如果作用的时间 1 t 0 1s 2 t 0 01s 试求锤对工件的平均冲力 解 以重锤为研究对象 分析受力 作受力图 解法一 锤对工件的冲力变化范围很大 采用平均冲力计算 其反作用力用平均支持力代替 在竖直方向利用动量定理 取竖直向上为正 初状态动量为 末状态动量为0 得到 解得 代入m h t的值 求得 2 1 解法二 考虑从锤自由下落到静止的整个过程 动量变化为零 重力作用时间为 支持力的作用时间为t 根据动量定理 整个过程合外力的冲量为零 得到解法一相同的结果 例题2 2矿砂从传送带A落到另一传送带B 其速度v1 4m s 方向与竖直方向成30 角 而传送带B与水平成15 角 其速度v2 2m s 如传送带的运送量恒定 设为k 20kg s 求落到传送带B上的矿砂在落上时所受到的力 解 设在某极短的时间 t内落在传送带上矿砂的质量为m 即m k t 这些矿砂动量的增量为 于是 其量值可用矢量差方法求得 设这些矿砂在 t时间内的平均作用力为F 根据动量定理 作用力F的方向与 mv 的方向相同 图 b 中的 角可由下式求得 例1 质量m 1kg的小球作半径R 2m的圆周运动 运动方程为 自然坐标 求小球从到所受外力的冲量 解 以O为自然坐标原点 时 时 圆周周长 小球线速度 动量 方向 抛手榴弹的过程 1 质心质点系的质量中心 简称质心 描述与质点系有关的某一空间点的位置 质心运动反映了质点系的整体运动趋势 三 质点系的动量定理 对于N个质点组成的质点系 直角坐标系中 质心的速度为 质心的加速度为 说明 1 坐标系的选择不同 质心的坐标也不同 2 对于密度均匀 形状对称的物体 其质心在物体的几何中心处 3 质心不一定在物体上 例如圆环的质心在圆环的轴心上 4 质心和重心是两个不同的概念 区别 2 质点系动量定理 质点系动量 内力 系统内部各质点间的相互作用力 成对出现 大小相等方向相反 外力 系统外部对质点系内部质点的作用力 以两个质点的质点系为例 两式相加 推广到n个质点的质点系 系统所受合外力的冲量等于质点系总动量的增量 质点系动量定理 只有质点系的外力才能改变质点系的总动量 内里只能改变质点系个别质点的动量 不能改变质点系的总动量 四 动量守恒定律 质点系动量定理 当 则有 常矢量 如果系统所受的外力之和为零 即 则系统的总动量保持不变 这个结论叫做动量守恒定律 2 守恒条件合外力为零当时 可略去外力的作用 近似地认为系统动量守恒 例如在碰撞 打击 爆炸等问题中 1 系统的动量守恒是指系统的总动量不变 系统内任一物体的动量是可变的 各物体的动量必相对于同一惯性参考系 3 若某一方向合外力为零 则此方向动量守恒 4 动量守恒定律只在惯性参考系中成立 同时也适用于高速 微观领域 是自然界最普遍 最基本的定律之一 例题2 6如图所示 设炮车以仰角 发射一炮弹 炮车和炮弹的质量分别为M和m 炮弹的出口速度为v 求炮车的反冲速度V 炮车与地面间的摩擦力不计 解 把炮车和炮弹看成一个系统 发炮前系统在竖直方向上的外力有重力和地面支持力 而且 在发射过程中并不成立 想一想为什么 系统所受的外力矢量和不为零 所以这一系统的总动量不守恒 经分析 对地面参考系而言 炮弹相对地面的速度 按速度变换定理为 它的水平分量为 于是 炮弹在水平方向的动量为m vcos V 而炮车在水平方向的动量为 MV 根据动量守恒定理有 由此得炮车的反冲速度为 2 2功动能动能定理 2 恒力的功 3 变力的功 求质点M在变力作用下 沿曲线轨迹由a运动到b 变力作的功 一段上的功 在 1 功的概念 功是描写力对质点引起的空间累积效应的物理量 一 功 在直角坐标系中 说明 1 功是标量 且有正负 在ab一段上的功 在自然坐标系中 qp 2 功A为负值 力对物体作负功 或物体克服该力作功 单位 焦耳 J 1J 1N m 3 一般来说 功的值与质点运动的路径有关 2 合力的功等于各分力的功的代数和 图中的曲线下面积为 即为功的定义 4 功的图像 在图中的曲线下面积为功 功常用图示法来计算 这种计算方法比较简便 二 功率 定义 力在单位时间内所作的功 称为功率 平均功率 当 t 0时的瞬时功率 例题一个质点同时在几个力作用下的位移为 其中一个力为恒力 则此力在该位移过程中所做的功为 例题装有货物的木箱 重G 980N 要把它运上汽车 现将长l 3m的木板搁在汽车后部 构成一斜面 然后把木箱沿斜面拉上汽车 斜面与地面成30o角 木箱与斜面间的滑动摩擦系数 0 20 绳的拉力与斜面成10o角 大小为700N 如图所示 求 1 木箱所受各力所作的功 2 合外力对木箱所作的功 3 如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不能少做些功 三 质点动能定理 单位 J 质点的动能 2 动能定律只用于惯性系 1 Ek是一个状态量 A是过程量 说明 作用于质点的合外力在某一路程中对质点所作的功 等于质点在同一路程的始 末两个状态动能的增量 一 保守力的功 1 保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关 而与路径无关 这种力称为保守力 典型的保守力 重力 万有引力 弹性力 与保守力相对应的是耗散力 典型的耗散力 摩擦力 2 重力的功 m在重力作用下由a运动到b 取地面为坐标原点 可见 重力是保守力 2 3保守力势能 3 弹力的功 可见 弹性力是保守力 4 引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时 以M所在处为原点 M指向m的方向为矢径的正方向 m受的引力方向与矢径方向相反 可见万有引力是保守力 质点在保守力场中某点的势能 在量值上等于质点从M点移动至零势能点M0的过程中保守力所作的功 1 重力势能 二 势能 2 弹性势能 3 万有引力势能以无穷远为零势能点 在保守力场中 质点从起始位置1到末了位置2 保守力的功A等于质点在始末两位置势能增量的负值 说明 1 势能是态函数 在保守力作用下 只要确定了物体的起始和终末位置 保守力所做的功也就确定了 有 2 势能的相对性 由于势能零点可以任意选取 所以某一点的势能值是相对的 但是任意两点间的势能差与势能零点选取无关 3 势能的属性 势能是由于系统的各物体间具有保守力作用而产生的 因此它是属于系统的 单独谈单个物体的势能是没有任何意义的 三 势能曲线 利用势能曲线 可以判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向 表明 保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值 一 质点系动能定律 把质点动能定理应用于质点系内所有质点并把所得方程相加有 1 内力和为零 内力功的和是否为零 讨论 不一定为零 2 3质点系功能原理机械能守恒 2 内力的功也能改变系统的动能 例 炸弹爆炸 过程内力和为零 但内力所做的功转化为弹片的动能 二 质点系功能原理 利用质点系的动能定理 其中内力作功的代数和项可分为系统保守内力的功和非保守内力的功 由保守力作功等于势能增量的负值的结论 定义机械能 为质点系的动能与势能之和 功能原理 系统内各质点所受外力与非保守内力的功的代数和 等于系统机械能的增量 2 Wi外和 Wi内非系指各质点所受的外力和非保守内力的功之代数和 而非合力的功 1 在应用功能原理时 不必考虑保守力的功 因为这部分功已以势能增量的负值替换 功能原理 注意几点 例题在图中 一个质量m 2kg的物体从静止开始 沿四分之一的圆周从A滑到B 已知圆的半径R 4m 设物体在B处的速度v 6m s 求在下滑过程中 摩擦力所作的功 三 机械能守恒定律 对质点系 当 机械能守恒定律 机械能增量 2 守恒定律是对一个系统而言的 说明 1 守恒条件 四 能量守恒定律 能量不能消失 也不能创造 只能从一种形式转换为另一种形式 对一个封闭系统来说 不论发生何种变化 各种形式的能量可以互相转换 但它们总和是一个常量 这一结论称为能量转换和守恒定律 3 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现 1 能量守恒定律可以适用于任何变化过程 2 功是能量交换或转换的一种度量 例如 利用水位差推动水轮机转动 能使发电机发电 将机械能转换为电能 电流通过电热器能发热 把电能又转换为热能 讨论 例题起重机用钢丝绳吊运一质量为m的物体 以速度v0作匀速下降 如图所示 当起重机突然刹车时 物体因惯性进行下降 问使钢丝绳再有多少微小的伸长 设钢丝绳的劲度系数为k 钢丝绳的重力忽略不计 这样突然刹车后 钢丝绳所受的最大拉力将有多大 解 我们考察由物体 地球和钢丝绳所组成的系统 除重力和钢丝绳中的弹性力外 其它的外力和内力都不作功 所以系统的机械能守恒 一 角动量 2 7质点的角动量与角动量守恒定律 质点对圆心的角动量 行星在公转轨道上的角动量 定义 质点对点的角动量为 角动量大小 面积 角动量方向 1 质点的角动量与参考点的选择有关 对同一质点的运动 参考点的选择不同 其角动量不同 2 角动量是矢量 其大小为 为位置矢量与速度的夹角 角动量的方向由右手螺旋法则决定 力臂 刚体绕Oz轴旋转 力作用在刚体上点P 且在转动平面内 为由点O到力的作用点P的径矢 对转轴Z的力矩 二 力矩 力矩方向 遵循右手螺旋法则 表明小球对圆心的角动量保持不变 实验中发现 三 质点的角动量定律 质点的角动量对时间的变化率 等于质点所受的力矩 如果对某一固定点 质点所受合外力矩为零 则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变 称为角动量守恒定律 例题2 1我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动 地球的中心O为该椭圆的一个焦点 已知地球的平均半径R 6378km 人造卫星距地面最近距离l1 439km 最远距离l2 2384km 若人造卫星在近地点A1的速度v1 8 10km s 求人造卫星在远地点v2的速度 解 因人造卫星所受引力指向地球中心 所以 人造卫星的角动量守恒 例2 2证明行星对太阳矢径在相等的时间内扫过相等的面积 证明 行星是在太阳引力的作用下沿椭圆轨道运动的 由于引力的方向在任何时刻总与行星对太阳矢径的方向相反 所以行星受到的引力对太阳的力矩等于零 因此 行星在运动过程中 对太阳的角动量将保持不变 根据右手螺旋法则 可知 行星在运动过程中 对太阳的角动量的方向不变 在时间之内扫过的面积 开普勒第二定律