动力计算12章第二讲.ppt

第12章 结构的动力计算第2讲 12 2单自由度体系的运动方程 暂不考虑阻尼的作用 要了解和掌握结构动力反应的规律 必须首先运用动静法建立描述结构运动的 微分 方程 体系运动方程 1 单自由度体系 弹簧 质块体系 K11梁在质点处产生单位位移所须施加的力 刚度系数 2 单自由度体系运动微分方程的建立 方法 达朗伯尔原理 应用条件 微幅振动 线性微分方程 1 刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力 建立平衡方程 m ys yd 质量m在任一时刻的位移y t ys yd k11 力学模型 yd m m W I t 重力W 弹性力 恒与位移反向 惯性力 a 其中k11ys W及 上式可以简化为 m 振动荷载P t 列平衡方程 W P t S t I t 0 A 以位移为未知量的动力平衡方程式 引用了刚度系数 称为 刚度法 运动方程 2 柔度法 研究结构上质点的位移 建立位移协调方程 可得 b 由 A 式S t S t W P t I t y t ys yd 柔度系数 受单位弹性力时弹簧的伸长量 由于 因此 建立位移协调方程 引入了柔度系数 称为 柔度法 静平衡位置 三 列运动方程例题 例1 刚度法常用于刚架类结构 柔度法常用于梁式结构 例2 例3 12 3单自由度体系的自由振动 1 无阻尼自由振动 改写为 其中 它是二阶线性齐次微分方程 其一般解为 积分常数C1 C2由初始条件确定 设t 0时 g 式可以写成 由式可知 位移是由初位移y 引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦运动的合成 为了便于研究合成运动 令 h 式改写成 它表示合成运动仍是一个简谐运动 其中 振幅 相位角 二 结构的自振周期和频率 由式 及图可见位移方程是一个周期函数 周期 工程频率 园频率 计算频率和周期的几种形式 频率和周期的讨论 1 只与结构的质量与刚度有关 与外界干扰无关 2 与m的平方根成正比 与k11成反比 据此可改变周期 减小质量 或增加刚度可减小周期 即增高自振频率 3 是结构动力特性的重要数量标志 例1 计算图示结构的频率和周期 例2 计算图示结构的水平和竖向振动频率 例3 计算图示刚架的频率和周期 由截面平衡 例4 求图示体系的自振频率和周期 解 例5 求图示体系的自振频率和周期 解 例6 质点重W 求体系的频率和周期 解 1 在建筑物中产生阻尼 耗散能量的因素 1 结构在变形过程中材料内部有摩擦 称 内摩擦 耗散能量 2 建筑物基础的振动引起土壤发生振动 此振动以波的形式向周围扩散 振动波在土壤中传播而耗散能量 3 土体内摩擦 支座上的摩擦 结点上的摩擦和空气阻尼等等 振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑 由于对非弹性力的描述不同 目前主要有两种阻尼理论 粘滞阻尼理论 非弹性力与变形速度成正比 滞变阻尼理论 关于阻尼有两种定义或理解 1 使振动衰减的作用 2 使能量耗散 2 阻尼力的确定 总与质点速度反向 大小与质点速度有如下关系 1 与质点速度成正比 比较常用 称为粘滞阻尼 2 与质点速度平方成正比 如质点在流体中运动受到的阻力 3 与质点速度无关 如摩擦力 其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析 体系振动的衰减现象 阻尼力 2 有阻尼的自由振动 m k11 y m m W I t D t 阻尼力 1 小阻尼情形 k 令 通解 或 d e Ce kt 低阻尼自由振动y t曲线 有阻尼自振圆频率 不出现振动 实际问题不常见 2 大阻尼情形 k 特征根为两个负数 通解中不含简谐振动的因子 双曲正弦函数 双曲余弦函数 阻尼比 反映阻尼情况的基本参数 这条曲线仍具有衰减性 但不具有波动性 不再具有在静平衡位置上下振动的性质 3 临界阻尼情形 k Cc 临界阻尼系数 振与不振的分界点 使运动称为非振动的相应阻尼系数的最小值 4 阻尼比 阻尼对自振频率的影响 当 0 2 则存在0 96 1 在工程结构问题中 若0 01 0 1 可近似取 初始条件 低阻尼情况 阻尼对振幅的影响 设yk和yk n是相隔n个周期的两个振幅则 经过一个周期后 相邻两振幅yk和yk 1的比值的对数为 工程中常用此方法测定阻尼 振幅Ce t随时间衰减 相邻两个振幅的比 振幅按等比级数递减 称为振幅的对数递减率 例 对图示体系作自由振动试验 用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm 用力16 4kN 将绳突然切断 开始作自由振动 经4周期 用时2秒 振幅降为1cm 求 1 阻尼比2 刚度系数3 无阻尼周期4 重量5 阻尼系数 解 1 阻尼比 2 刚度系数 3 无阻尼周期 4 重量 5 阻尼系数 例 图示一单层建筑物的计算简图 屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m 加一水平力P 9 8kN 测得侧移A0 0 5cm 然后突然卸载使结构发生水平自由振动 在测得周期T 1 5s及一个周期后的侧移A1 0 4cm 求结构的阻尼比 和阻尼系数c 解