分步计数原理与分类计数原理.ppt

2008年29届夏季奥运会在北京举行 奥运会足球赛共有 个队参赛 它们先分成 个小组进行循环赛 决出 强 这 个队按确定的程序进行淘汰赛后 最后决出冠亚军 此外还决出了第三 第四名 问一共安排了多少场比赛 实际问题 要回答这个问题 就要用到排列 组合的知识 在运用排列 组合方法时 经常要用到分类计数原理与分步计数原理 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号 总共能够编出多少种不同的号码 问题1 问题2 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有4班 汽车有2班 轮船有3班 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法 分析 从甲地到乙地有3类方法 第一类方法 乘火车 有4种方法 第二类方法 乘汽车 有2种方法 第三类方法 乘轮船 有3种方法 所以从甲地到乙地共有4 2 3 9种方法 一 分类计数原理 完成一件事 有两类办法 在第1类办法中有m种不同的方法 在第2类方法中有n种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体的问题确定一个分类标准 在分类标准下进行分类 然后对每类方法计数 1 各类办法之间相互独立 都能独立的完成这件事 要计算方法种数 只需将各类方法数相加 因此分类计数原理又称加法原理 说明 N m n种不同的方法 问题3 用前6个大写英文字母和1 9九个阿拉伯数字 以A1 A2 B1 B2 的方式给教室里的座位编号 总共能编出多少个不同的号码 字母数字得到的号码A 123456789 A1A2A3A4A5A6A7A8A9 树形图 二 分步计数原理 完成一件事 需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 则完成这件事共有 2 首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准 然后对每步方法计数 1 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数 又称乘法原理 说明 N m n种不同的方法 联系 区别一 完成一件事情共有n类办法 关键词是 分类 完成一件事情 共分n个步骤 关键词是 分步 区别二 每类办法都能独立完成这件事情 每一步得到的只是中间结果 任何一步都不能能独立完成这件事情 缺少任何一步也不能完成这件事情 只有每个步骤完成了 才能完成这件事情 分类计数原理和分步计数原理 回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别三 各类办法是互斥的 并列的 独立的 各步之间是相关联的 分类计数与分步计数原理的区别和联系 解 这名同学在A大学中有5种专业选择 在B大学中有4种专业选择 根据分类计数原理 这名同学可能的专业选择共有5 4 9种 例2 设某班有男生30名 女生24名 现要从中选出男 女生各一名代表班级参加比赛 共有多少种不同的选法 例3 肥城市的部分电话号码是0538323 后面每个数字来自0 9这10个数 问可以产生多少个不同的电话号码 变式 若要求最后4个数字不重复 则又有多少种不同的电话号码 0538323 分析 分析 例4 书架上第1层放有4本不同的计算机书 第2层放有3本不同的文艺书 第3层放有2本不同的体育杂志 2 从书架的第1 2 3层各取1本书 有多少种不同取法 N 4 3 2 9 N 4 3 2 24 1 从书架上任取1本书 有多少种不同的取法 解 需先分类再分步 3 从书架上取2本不同种的书 有多少种不同的取法 根据两个基本原理 不同的取法总数是N 4 3 4 2 3 2 26 第一类 从一 二层各取一本 有4 3 12种方法 第二类 从一 三层各取一本 有4 2 8种方法 第三类 从二 三层各取一本 有3 2 6种方法 答 从书架上取2本不同种的书 有26种不同的取法 例5 要从甲 乙 丙3幅不同的画中选出2幅 分别挂在左右两边墙上的指定位置 问共有多少种不同的挂法 课堂练习 1 8本不同的书 任选3本分给3个同学 每人1本 有多少种不同的分法 2 将4封信投入3个邮筒 有多少种不同的投法 3 已知则方程可表示不同的圆的个数有多少 4 要从甲 乙 丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班 有多少种不同的选法 第一步 选1人上日班 第二步 选1人上晚班 有3种方法 有2种方法 N 3 2 6 种 5 从5人中选4人参加数 理 化学科竞赛 其中数学2人 理 化各1人 求共有多少种不同的选法 5种 4种 3种 N 5 4 3 60 种 6 三个比赛项目 六人报名参加 每人参加一项有多少种不同的方法 每项 人 且每人至多参加一项 有多少种不同的方法 每项 人 每人参加的项数不限 有多少种不同的方法 7 现要安排一份5天值班表 每天有一个人值班 共有5个人 每个人都可以值多天班或不值班 但相邻两天不能由同一个人值班 问此值班表由多少种不同的排法 解 分5步进行 第一步 先排第一天 可排5人中的任一个 有5种排法 第二步 再排第二天 此时不能排第一天的人 有4种排法 第三步 再排第三天 此时不能排第二天的人 有4种排法 第四步 同前第五步 同前由分步计数原理可得不同排法有5 4 4 4 4 1280种 8 个班分别从 个风景点中选择一处游览 不同选法的种数是 还是 9 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5 展开后共有多少项 10 如图 该电路 从A到B共有多少条不同的线路可通电 A B 解 从总体上看由A到B的通电线路可分三类 第一类 m1 3条第二类 m2 1条第三类 m3 2 2 4 条所以 根据分类原理 从A到B共有N 3 1 4 8条不同的线路可通电 在解题时有时既要分类又要分步 课堂小结 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题 分类计数原理与分步计数原理的异同 区别在于 分类计数原理针对的是 分类 问题 其中各种方法相互独立 用任何一种方法都可以做完这件事 分步计数原理针对的是 分步 问题 各个步骤中的方法相互依存 只有各个步骤都完成才算做完这件事 分类计数原理 针对的是 分类 问题 各类方法相互独立 分步计数原理 针对的是 分步 问题 每步相互依存 结束语 两大原理妙无穷 茫茫数理此中求 万万千千说不尽 运用解题任驰骋 思考 已知二次函数若则可以得到多少个不同的二次函数 其中图象过原点的二次函数有多少个 图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个