傅里叶变换的性质.ppt

2 3傅里叶变换性质及定理 个随之确定 两者是一一对应的 在实际的信号分析 傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系 信号可以在时域中用时间函数 表示 亦可以在频域 中用频谱密度函数 表示 只要其中一个确定 另一 氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要 内在联系 我们也希望能简化变换的运算 为此对傅 的什么样变化 反之亦然 除了明白信号时频之间的 当一个信号在时域中发生了某些变化 会引起频域中 变换规律有更深入 具体的了解 例如我们希望清楚 中 往往还需要对信号的时 频特性之间的对应关系 一 傅里叶变换性质 1 线性 傅里叶变换的线性特性表示为 若 则 式中 为任意常数 证 利用傅氏变换的线性特性 可以将待求信号分解为若干 基本信号之和 2 时延 时移 移位 性 傅里叶变换的时延 移位 特性表示为 若 则 时延 移位 性说明波形在时间轴上时延 不改变信号 证 线性相位 振幅频谱 仅使信号增加一 例2 3 1求如图2 15所示信号 的频谱函数 并作频谱图 解 由上节门函数的变换 再由线性与时移性 得到 与门函数的关系为 0 的振幅 相位频谱函数 如图2 16所示 3 频移性 傅里叶变换的频移 调制 特性表示为 若 则 证 频移 调制 特性表明信号在时域中与复因子 信号乘以 相乘 则在频域中将使整个频谱搬移 通信技术中的调制 是将频谱在 附近的低频信号乘以 使其频谱 搬移到 附近 反之 频谱在 附近的高频 使其频谱搬移到 其频谱被搬移到附近 这就是解调 变频是将频谱在 附近的信号 的应用 乘以 附近 这些都是频移特性 实际调制解调的载波信号是正 余 弦信号 借助欧拉 这样 若有 则 这正是调制解调过程中频谱搬移情况 所以这一性质 公式正 余 弦信号可以表示为 也称调制特性 例2 4求 解 已知 的波形以及频谱如图2 17所示 图 的频谱函数 并画出频谱 利用频移性 图2 17例2 4的波形及振幅 相位频谱 0 0 A 例2 5求如图2 18所示 解 其中 并作图 的 则 图2 3 4 A 令 以及 如图2 19所示 0 4 尺度变换 傅里叶变换的尺度变换特性表示为 若 则 证 F 则 令 代入上式 F 则 令 代入上式 F 综合 两种情况 尺度变换特性表示为 特别地 当 尺度特性说明 信号在时域中压缩 频域中就扩展 反 其频谱亦为原频谱的折叠 即 时 得到 的折叠函数 宽无限 反之亦然 的脉宽与频宽成反比 一般来说时宽有限的信号 其频 之 信号在时域中扩展 在频域中就一定压缩 即信号 可以理解为信号波形压缩 扩展 倍 信号随时间 变化加快 慢 倍 所以信号所包含的频率分量增加 图2 20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况 0 0 0 0 0 5 时域微分特性 傅里叶变换的时域微分特性表示为 交换微 积分运算次序 若 则 证 所以 同理 可推广到高阶导数的傅里叶变换 6 时域积分特性 傅里叶变换的时域积分特性表示为 若 则 证 特别地 当 F 时 从时域上看 一般当 利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解 说明无直流分量则 是无限区间可积时 即 0 例2 6求如图2 21 a 所示 的频谱函数 a 解 0 b 如图2 21 b 所示 0 如图2 21 c 所示 因为 最后 7 频域微分特性 傅里叶变换的频域微分特性表示为 若 则 一般频域微分特性的实用形式为 对频谱函数的高阶导数亦成立 或 证 或 交换微 积分次序 所以 同理可证高阶导数 或 例2 7求 解 利用 的频谱函数 则 8 对称 偶 性 傅里叶变换的对称特性表示为 若 则 或 证 特别地 当 或 是 的偶函数 那么 由上式看 在此条件下时域与频域是完全对称性关系 2 54 的信号 其时域函数必为 就是说 当 是偶函数时 如果的频谱函数为 则频谱为 例2 8已知 解 图2 22 0 如图2 22所示 利用对称性求 0 其对应的 例2 6的波形是如图2 23所示的对称三角波 即 比较图2 22 2 23两者变化规律相同 利用对称性可以 则 得到 只差 很方便地求出 因为由图可以看出 只要将 中的 就有 这样一来 亦可由 的 数 即 系 利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对 方便的推出 利用对称性 我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换 与之相关的另一对傅氏变换对 从而减少了大量的运算 例2 3 8求 解由时延特性 可得 的傅氏变换 利用对称性 将上式中的 我们得到另一对变换对 变换成 变换成 并乘以系数 利用上面结果 可推导周期正 余弦函数的傅氏变换 1 1 1 1 0 的波形与频谱如图2 24所示 0 利用的 的频谱函数为 傅氏变换 我们还可以推导任意周期函数 F F F 证 F 例2 3 9求周期单位冲激序列 解 先将周期单位冲激序列展开傅氏级数 其中 的傅氏变换 即 再求这个级数的傅氏变换 F 的频谱函数如图2 25b所示 0 单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列 9 奇 偶 虚 实性 为实函数时 的模与幅角 实部与虚部表示形式 为 其中 由上式可知 是 是 的偶函数 的奇函数 实偶函数 特别地 为实奇函数 则 虚奇函数 10 时域卷积定理 傅里叶变换的时域卷积定理表示为 交换积分次序 利用时延性 若 则 证 由这个性质 我们可将两个时间函数的卷积运算变为两 求解信号通过系统的响应 个频谱函数的相乘 代数 运算 由此我们可以用频域法 11 频域卷积定理 傅里叶变换的频域卷积定理表示为 若 则 利用移频性 证 交换积分次序 表3 1傅氏变换性质 定理 序号名称时域频域 1线性 2 延时 3 尺度 4 频移性 5 时域微分 6 时域积分 7 频域微分 8 对称性 9 时域卷积 10频域卷积