2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式复习课学案 新人教A版选修4-5.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式 复习课 学习目标　1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法． 1．二维形式的柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|αβ|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥. 2．一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 3．排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 类型一　利用柯西不等式证明不等式 例1　已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋. 证明　由柯西不等式知， ≥2， 于是＋＋＋≥＋＋＋. ① 等号成立⇔＝＝＝ ⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d. 又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立． 即＋＋＋＞＋＋＋. 反思与感悟　利用柯西不等式证题的技巧 (1)柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解． (2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会． 跟踪训练1　若n是不小于2的正整数，求证：＜1－＋－＋…＋－＜. 证明　1－＋－＋…＋－ ＝－2 ＝＋＋…＋， 所以求证式等价于＜＋＋…＋＜. 由柯西不等式，有 [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2， 于是＋＋…＋＞ ＝＝≥＝， 又由柯西不等式，有＋＋…＋ ＜ ＜＝. 综上，＜1－＋－＋…＋－＜. 类型二　利用排序不等式证明不等式 例2　设A，B，C表示△ABC的三个内角弧度数，a，b，c表示其对边，求证：≥. 证明　不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C) ＝π(a＋b＋c)，得≥. 引申探究 若本例条件不变，求证：＜. 证明　不妨设0＜a≤b≤c，于是A≤B≤C. 由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b， 有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)． 得＜. 反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的策略 (1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择． (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷． 跟踪训练2　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10. 证明　由a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c， 于是a12≥b12≥c12，≥≥. 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋＝＋＋. ① 又因为a11≥b11≥c11，≤≤， 再次由排序不等式，得 ＋＋≤＋＋. ② 由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10. 类型三　利用柯西不等式或排序不等式求最值 例3　(1)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值． (1)解　由柯西不等式，得 (12＋22＋12)[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2] ≥[1(y－1)＋2(3－x－y)＋1(2x＋y－6)]2＝1， 即(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2≥， 当且仅当＝＝， 即x＝，y＝时，上式取等号．故x＝，y＝. (2)设a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整数，求M＝a1＋＋＋＋的最小值． 解　设b1，b2，b3，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一个排列，且b1＜b2＜b3＜b4＜b5. 因此b1≥1，b2≥2，b3≥3，b4≥4，b5≥5. 又1≥≥≥≥. 由排序不等式，得 a1＋＋＋＋≥b1＋＋＋＋ ≥11＋2＋3＋4＋5 ＝1＋＋＋＋＝.即M的最小值为. 反思与感悟　利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易． (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略． 跟踪训练3　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解　＋＋≤＋＋ ＝ ≤＝. 故λ的取值范围是. 1．函数y＝2＋的最大值为(　　) A. B．－ C．－3 D．3 答案　D 解析　y2＝(＋1)2≤[()2＋12][()2＋()2] ＝33＝9. ∴y≤3，y的最大值为3. 2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则a的最大值是(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　∵(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2， 即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. ∴5－a2≥(3－a)2. 解得1≤a≤2. 验证：当a＝2时，等号成立． 3．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　) A.，， B.，， C．1，， D．1，， 答案　B 解析　由柯西不等式得 (22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2， 即x2＋y2＋z2≥. 当且仅当＝＝时，等号成立， 所以联立 可得x＝，y＝，z＝. 4．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明　不妨设a≥b≥c＞0， 则≤≤，ab≥ac≥bc， ∵＋＋≥＋＋＝a＋b＋c， ∴＋＋≥a＋b＋c. 1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式． 2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想． 3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列． 4．数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系． 一、选择题 1．已知a，b是给定的正数，则＋的最小值为(　　) A．2a2＋b2 B．2ab C．(2a＋b)2 D．4ab 答案　C 解析　＋＝(sin2α＋cos2α)≥2＝(2a＋b)2， 当且仅当sin α＝cosα时，等号成立． 故＋的最小值为(2a＋b)2. 2．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为(　　) A．4B．4C．6D．6 答案　C 解析　∵a，b，c为正数， ∴＝≥a＋b. 同理≥b＋c，≥c＋a， 相加得(＋＋) ≥2(b＋c＋a)＝6， 即＋＋≥6， 当且仅当a＝b＝c＝时取等号． 3．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为(　　) A．21 B．11 C．18 D．28 答案　A 解析　根据柯西不等式，得 [(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2 ＝(3x＋4y－11)2， ∴(3x＋4y－11)2≤100. 可得3x＋4y≤21，当且仅当＝＝时取等号． 4．已知x，y，z是非负实数，若9x2＋12y2＋5z2＝9，则函数u＝3x＋6y＋5z的最大值是(　　) A．9B．10C．14D．15 答案　A 解析　∵(3x＋6y＋5z)2≤[12＋()2＋()2][(3x)2＋(2y)2＋(z)2]＝9(9x2＋12y2＋5z2)＝81，当且仅当3x＝2y＝z时，等号成立． 故u＝3x＋6y＋5z的最大值为9. 5．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值为(　　) A．5B．6C．8D．9 答案　D 解析　由柯西不等式知， ≥(1＋1＋1)2＝9， 因为＋＋＝1， 所以x＋＋≥9. 即x＋＋的最小值为9. 6．设c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的某一排列(a1，a2，…，an均为正数)，则＋＋…＋的最小值是(　　) A．nB.C.D．2n 答案　A 解析　不妨设a1≥a2≥…≥an＞0， 则≤≤…≤， 由排序不等式知， ＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an＝n. 二、填空题 7．设a，b，c，d，m，n∈R＋，P＝＋，Q＝，则P，Q的大小关系为________． 答案　P≤Q 解析　由柯西不等式得P＝＋≤＝Q，当且仅当＝时，等号成立， ∴P≤Q. 8．设x，y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________． 答案　－6 解析　由柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)[12＋(－2)2＋22]≥(x－2y＋2z)2， 故(x－2y＋2z)2≤49＝36. 当且仅当＝＝＝k，k＝时，上式取得等号， 当k＝－时，x－2y＋2z取得最小值－6. 9．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足的关系式为________，x2＋y2＋z2的最小值是________． 答案　x＋y＋z＝3　3 解析　利用三角形面积相等，得 2(x＋y＋z)＝(2)2， 即x＋y＋z＝3. 由(1＋1＋1)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9， 得x2＋y2＋z2≥3， 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号． 10．若a，b，c∈R，设x＝a3＋b3＋c3，y＝a2b＋b2c＋c2a，则x，y的大小关系为________． 答案　x≥y 解析　取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小顺序如何，a3＋b3＋c3都是顺序和，a2b＋b2c＋c2a都是乱序和，a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a. 三、解答题 11．(2018江苏)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值． 解　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2. 因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4， 当且仅当＝＝时，不等式取等号， 此时x＝，y＝，z＝， 所以x2＋y2＋z2的最小值为4. 12．已知a，b，c为正数，求证：≥abc. 证明　考虑到正数a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c>0， 则≤≤，bc≤ca≤ab， 由排序不等式知，顺序和≥乱序和， ∴＋＋≥＋＋， 即≥a＋b＋c. ∵a，b，c为正数， ∴两边同乘以， 得≥abc. 13．设a，b，c，d∈R＋，令S＝＋＋＋，求证：1＜S＜2. 证明　首先证明＜(a＞b＞0，m＞0)． 因为－＝ ＝＜0， 所以S＝＋＋＋ ＜＋＋＋＝＝2， 所以S＜2. 又S＞＋＋＋ ＝＝1， 所以1＜S＜2. 四、探究与拓展 14．已知5a2＋3b2＝，则a2＋2ab＋b2的最大值为________． 答案　1 解析　∵[(a)2＋(b)2] ≥2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， 当且仅当5a＝3b，即a＝，b＝时取等号． ∴(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2. ∴a2＋2ab＋b2≤(5a2＋3b2)＝＝1. ∴a2＋2ab＋b2的最大值为1. 15．已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＋2－2m＝0，a2＋b2＋c2＋m－1＝0. (1)求证：a2＋b2＋c2≥； (2)求实数m的取值范围． (1)证明　由柯西不等式得(12＋22＋32)≥(a＋b＋c)2，当且仅当a＝b＝c时，等号成立， 即14≥(a＋b＋c)2， ∴a2＋b2＋c2≥. (2)解　由已知得a＋b＋c＝2m－2， a2＋b2＋c2＝1－m， ∴由(1)可知，14(1－m)≥(2m－2)2， 即2m2＋3m－5≤0，解得－≤m≤1. 又∵a2＋b2＋c2＝1－m≥0，∴m≤1， ∴－≤m≤1. 即实数m的取值范围为.