（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.5 直线、平面垂直的判定与性质讲义（含解析）.docx

8.5　直线、平面垂直的判定与性质 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理. 2.理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想. 1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角. (2)范围：. 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 概念方法微思考 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？ 提示　垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？ 提示　垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面. 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　) (4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　　) (5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.(　√　) (6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　) 题组二　教材改编 2.[P73T1]下列命题中错误的是(　　) A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案　D 解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的. 3.[P67练习T2]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心； (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心. 答案　(1)外　(2)垂 解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心. 　　 (2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. ∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB， ∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC， ∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC， ∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高. 同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心. 题组三　易错自纠 4.(2018台州模拟)若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立； 若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立， 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A. 5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　) A.与AC，MN均垂直 B.与AC垂直，与MN不垂直 C.与AC不垂直，与MN垂直 D.与AC，MN均不垂直 答案　A 解析　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1， 因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2， 则OM＝＝，MN＝＝， ON＝＝， 所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A. 6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　) A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBC C.MN与BC所成的角为45 D.OC⊥平面VAC 答案　B 解析　由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B. 题型一　直线与平面垂直的判定与性质 例1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点.当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF. 证明　因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中， 因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC， 所以AD⊥B1B. 因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1， 所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F. 方法一　在矩形B1BCC1中， 因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2， 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1， 所以∠CFD＝∠C1B1F， 所以∠B1FD＝90，所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF. 方法二　在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3， 所以B1D＝＝. 在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1， 所以B1F＝＝. 在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1， 所以DF＝＝. 显然DF2＋B1F2＝B1D2， 所以∠B1FD＝90. 所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF， 所以B1F⊥平面ADF. 思维升华证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质. 跟踪训练1　(2019绍兴模拟)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD， 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 题型二　平面与平面垂直的判定与性质 例2　(2018全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA. (1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积. (1)证明　由已知可得，∠BAC＝90，即BA⊥AC. 又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD， 所以AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解　由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3. 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2. 如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E， 则QE∥DC且QE＝DC. 由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1. 因此，三棱锥Q－ABP的体积为VQ－ABP＝S△ABPQE ＝32sin451＝1. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 跟踪训练2　(2018宁波调研)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB＝2. (1)求证：平面PAC⊥平面ABC； (2)若PA＝PC，求三棱锥P－ABC的体积. 证明　(1)如图，取AC的中点O，连接BO，PO， 因为△ABC是边长为2的正三角形， 所以BO⊥AC，BO＝. 因为PA⊥PC，所以PO＝AC＝1. 因为PB＝2，所以OP2＋OB2＝PB2， 所以PO⊥OB. 因为AC∩OP＝O，AC，OP⊂平面PAC， 所以BO⊥平面PAC.又OB⊂平面ABC， 所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解　因为PA＝PC，PA⊥PC，AC＝2， 所以PA＝PC＝. 由(1)知BO⊥平面PAC， 所以VP－ABC＝VB－APC＝S△PACBO＝＝. 题型三　与垂直有关的探索性问题 例3　如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. (1)求证：C1E∥平面ADF； (2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF. (1)证明　连接CE交AD于O，连接OF. 因为CE，AD为△ABC的中线， 则O为△ABC的重心，故＝＝，故OF∥C1E， 因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF， 所以C1E∥平面ADF. (2)解　当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF. 证明如下：因为AB＝AC，AD⊂平面ABC， 故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中， BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1， 故平面B1BCC1⊥平面ABC. 又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC， 所以AD⊥平面B1BCC1， 又CM⊂平面B1BCC1，故AD⊥CM. 又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2， 故Rt△CBM≌Rt△FCD. 易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF， 故CM⊥平面ADF. 又CM⊂平面CAM， 故平面CAM⊥平面ADF. 思维升华对命题条件的探索的三种途径 途径一：先猜后证. 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 途径三：将几何问题转化为代数问题. 跟踪训练3　如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1. (1)求证：平面CFG⊥平面ACE； (2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由. (1)证明　连接BD交AC于点O，则BD⊥AC. 设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD， 连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN， 所以四边形FMNG为平行四边形， 所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD. 所以FG⊥AE， 又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE， 所以FG⊥平面ACE. 又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE. (2)解　存在.设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点， 连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH， 由已知易知，平面EFG∥平面ABCD， 又平面ACE∩平面EFG＝EQ， 平面ACE∩平面ABCD＝AC， 所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝， 所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ， 又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG， 所以EH∥平面CFG， 所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝. 1.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案　C 解析　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l. 2.(2019宁波模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是(　　) A.若l∥m，则必有α∥β B.若l⊥m，则必有α⊥β C.若l⊥β，则必有α⊥β D.若α⊥β，则必有m⊥α 答案　C 解析　对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误； 对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误； 对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确； 对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误. 3.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 答案　C 解析　因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则(　　) A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1 C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1 答案　D 解析　对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N∈平面CDD1C1，点M∉平面CDD1C1，所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线， 又因为直线C1D1在平面CDD1C1内，故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错； 对于选项B，正方体中易知NB≠NC1，因为点M是BC1的中点，所以直线MN与直线BC1不垂直，故选项B不对； 对于选项C，假设MN⊥平面ACD1，可得MN⊥CD1，因为N是CD1的中点， 所以MC＝MD1，这与MC≠MD1矛盾，故假设不成立，所以选项C不对； 对于选项D，分别取B1C1，C1D1的中点P，Q，连接PM，QN，PQ. 因为点M是BC1的中点， 所以PM∥CC1且PM＝CC1. 同理QN∥CC1且QN＝CC1. 所以PM∥QN且PM＝QN， 所以四边形PQNM为平行四边形. 所以PQ∥MN. 在正方体中，CC1⊥PQ，PQ⊥AC， 因为AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1，CC1⊂平面ACC1， 所以PQ⊥平面ACC1. 因为PQ∥MN，所以MN⊥平面ACC1. 故选项D正确. 5.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP， 则∠PAO是PA与平面ABC所成的角. 因为底面边长为， 所以AD＝＝，AO＝AD＝＝1. 三棱柱的体积为()2AA1＝， 解得AA1＝，即OP＝AA1＝， 所以tan∠PAO＝＝， 因为直线与平面所成角的范围是， 所以∠PAO＝. 6.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________. 答案　4 解析　∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形. 7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上. 答案　AB 解析　∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1. 又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上. 8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析　∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD. 9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________. 答案　 解析　 连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3， 所以sin∠AC1A1＝＝. 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________. 答案　 解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝. 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC， 所以AB∥平面PDC， 又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF， 所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形， 所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF， 所以AB⊥AF. 又AB⊥AD， 由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D， 所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD， 又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 12.(2019浙江省台州中学模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. (1)证明：MN∥平面PDC； (2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值. (1)证明　因为AB＝BC，AD＝CD， 所以BD垂直平分线段AC. 又∠ADC＝120， 所以MD＝AD＝，AM＝. 所以AC＝. 又AB＝BC＝， 所以△ABC是等边三角形， 所以BM＝，所以＝3， 又因为PN＝PB， 所以＝＝3， 所以MN∥PD. 又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC， 所以MN∥平面PDC. (2)解　因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA， 又BD⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC. 由(1)知MN∥PD， 所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角， 故∠DPM即为所求的角. 在Rt△PAD中，PD＝2， 所以sin∠DPM＝＝＝， 所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为. 13.(2018湖州质检)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.那么，在这个空间图形中必有(　　) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 答案　B 解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变， ∴AH⊥平面EFH，B正确； ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确； ∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，AG，GH⊂平面HAG，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF， ∴平面HAG⊥平面AEF，过点H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确； 由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确.故选B. 14.(2018全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等. 取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6sin60＝. 故选A. 15.(2019金华模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号) ①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定不会有EC⊥AD. 答案　①② 解析　由已知，在未折叠的原梯形中，易知四边形ABCE为矩形， 所以AB＝EC，所以AB＝DE， 又AB∥DE， 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BE＝AD，折叠后如图所示. ①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP. 因为M，N分别是AD，BE的中点， 所以点P为AE的中点，故NP∥EC. 又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E， 所以平面MNP∥平面DEC， 故MN∥平面DEC，①正确； ②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC， 所以AE⊥MP，AE⊥NP， 又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP， 又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确； ③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA， 从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA， 与BE和AD是异面直线矛盾，③错误； ④当EC⊥ED时，EC⊥AD. 因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E， 所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED， 所以EC⊥AD，④不正确. 16.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，EF∥AB，M为BC的中点. (1)求证：FM∥平面BDE； (2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离. (1)证明　取BD的中点O，连接OM，OE， 因为O，M分别为BD，BC的中点， 所以OM∥CD，且OM＝CD. 因为四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB， 又EF∥AB，所以CD∥EF， 又AB＝CD＝2EF， 所以EF＝CD， 所以OM∥EF，且OM＝EF， 所以四边形OMFE为平行四边形， 所以MF∥OE. 又OE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE， 所以MF∥平面BDE. (2)解　由(1)得FM∥平面BDE， 所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离. 取AD的中点H，连接EH，BH， 因为EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60， 所以EH⊥AD，BH⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD， 平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE， 所以EH⊥平面ABCD，所以EH⊥BH， 易得EH＝BH＝，所以BE＝， 所以S△BDE＝＝. 设点F到平面BDE的距离为h， 连接DM，则S△BDM＝S△BCD＝4＝， 连接EM，由V三棱锥E－BDM＝V三棱锥M－BDE， 得＝h， 解得h＝， 即点F到平面BDE的距离为.