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宁德市20172018学年度第一学期期末高三质量检测文科数学第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，故选D.2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A3. 福建省第十六届运动会将于年在宁德召开，组委会预备在会议期间从女男共名志愿者中任选名志愿者参考接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设名女志愿者为，名男志愿者为，任取人共有，共种情况，都是女性的情况有三种情况，故选到的都是女性志愿者的概率为，故选B.4. 已知等差数列的前和为，若，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】等差数列的前和为，解得，故选A.5. 已知命题：“若是正四棱锥棱上的中点，则”；命题：“是的充分不必要条件”，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】为正四棱锥，平面，平面，由此为真，不能推出，能推出，所以是的必要不充分条件，为假命题，为真命题，因此为真命题，故选C.6. 执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 执行程序框图，输入时，；时，；时，；时，的值呈周期性出现，周期为，所以时，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C.【 方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.8. 我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据棱柱的体积公式，可得城墙所需土方为（立方尺），一个秋天工期所需人数为，故选B.9. 已知函数 的最小正周期为，则当时，函数的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】化简 ， ， ，函数的值域为，故选D.10. 已知三角形中，连接并取线段的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，线段的中点为， ，故选B.11. 已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，当点为右顶点时，可取等号，故选D.12. 已知函数 若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】时，由，得，由，得，在上递增，在上递减，时，且 时， 画出的图象如图，由图知时，与有三个交点，此时有三个零点，所以实数取值范围是，故选A.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的图象以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质第卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分. 13. 若复数满足，其中为虚数单位，则_【答案】【解析】由，得，所以，故答案为.14. 设，满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】画出约束条件，表示的可行域，如图，平移直线，由图可知，当直线，经过点 时，直线在 轴上的截距最小，此时有最小值 ，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 在三棱锥中，平面，则此三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】因为中，设外接圆的半径为，由正弦定理，平面，所以由勾股定理可得 ，三棱锥的外接球的表面积为，故答案为.16. 今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上，如图（2）所示；第三次把段圆弧二等分，并在这个分点处分别标上，如图（3）所示.如此继续下去，当第次标完数以后，这圆周上所有已标出的数的总和是_【答案】【解析】由题意可得，第次标完后，圆周上所有标出的数的总和为，设，两式相减相减可得， ，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，中，为边上一点，.（1）若的面积为，求的长；（2）若，求的值.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析：（1）由，的面积为可求出，再利用余弦定理可得；（2）在中，由正弦定理得，得，在中，由正弦定理得，.试题解析：（1）,，在中，由余弦定理得，.（2）在中，由正弦定理得， ，在中，由正弦定理得，.18. 在多面体中，为等边三角形，四边形为菱形，平面平面，.（1）求证：；（2）求点到平面距离.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）取中点，连接，,由正三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，从而可得；（2）由面面，面，从而得，由勾股定理可得，从而求得，设点到面的距离为，由即，从而可得结果.试题解析：（1）证明：取中点，连接，.为等边三角形，四边形为菱形，为等边三角形， ，又，面，面，.（2）面面，面面，面， 面，面，.在中，由（1）得，因为，且，设点到面的距离为.即. 即，.19. 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出吨可获利万元，每积压吨则亏损万元.根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.（1）请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；（2）今年该经销商欲进货吨，以（单位：吨，）表示今年的年需求量，以（单位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率.【答案】（1）；（2）今年获利不少于万元的概率为.【解析】试题分析：（1）根据各小矩形面积和为 ，可确定所缺矩形的纵坐标，从而可补全直方图，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可估计年需求量的平均数；（2）根据销售收入减成本可将表示为的函数解析式，由解析式可求出今年获利不少于万元的的范围是，结合直方图可得.试题解析：（1）解：设年需求量平均数为，则，（2）设今年的年需求量为吨、年获利为万元，当时，当时，故， 则，.所以今年获利不少于万元的概率为.20. 已知抛物线：的焦点为，圆：，过作垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且的面积为.（1）求抛物线的方程和圆的方程；（2）若直线、均过坐标原点，且互相垂直，交抛物线于，交圆于，交抛物线于，交圆于，求与的面积比的最小值.【答案】(1) 抛物线方程为：,圆方程为：(2) 当时， 与的面积比的取到最小值4.【解析】试题分析：（1）先求得的坐标，可得，由的面积为，可得，从而可得抛物线的方程，进而可得圆的方程；（2）设的方程为，则方程为.由得=0，或 同理可求得.根据弦长公式及点到直线距离公式可得，从而，利用基本不等式可得结果.试题解析：（1）因为抛物线焦点F坐标为 , 则，联立 或，故，即，抛物线方程为：.圆方程为：，（2） 显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，则方程为.(注:末说明斜率不给分)由得=0，或 同理可求得.则.设到、的距离分别为、，则；.则.当且仅当时， 与的面积比的取到最小值4.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积比的最值的.21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) ,;(2) 实数的取值范围是.【解析】试题分析：（1）求出，由，可求得，的值；（2）恒成立等价于. 设，利用导数研究函数的单调性，讨论可证明证明当时，恒成立，当时，不合题意，从而可得结果.试题解析：（1）函的定义域为，把代入方程中，得，即，又因为，故.（2）由（1）可知，当时，恒成立等价于. 设，则，由于，当时，则在上单调递增，恒成立. 当时，设,则.则为上单调递增函数，又由.即在上存在，使得，当时，单调递减，当时， 单调递增；则，不合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，成等比数列.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.【答案】(1);(2) .【解析】试题分析：（）设，由成等比数列，可得，进而得，又满足，代入即可得解；（）将直线的参数方程代入圆中得，由，结合韦达定理即可得解.试题解析：（1）设，则由成等比数列，可得， 即， 又满足，即，化为直角坐标方程为.（）依题意可得，故，即直线倾斜角为， 直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程，得，故， 23. 已知，.（1）若，求不等式的解集；（2）若时，的解集为空集，求的取值范围.【答案】(1) 解集为或;(2) .【解析】试题分析：（）时即求解，分段讨论去绝对值求解即可；（）由题意可知，即为时，恒成立，分段求解析式，当时，；时，即可.试题解析：(1)当时，化为 ， 当，不等式化为，解得或，故； 当时，不等式化为，解得或，故； 当，不等式化为，解得或故；所以解集为或 (2) 由题意可知，即为时，恒成立 当时，得； 当时，得，综上，
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