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第2讲 利用导数研究函数的综合问题A组小题提速练一、选择题1设函数f(x)在R上的导函数为f(x)，且2f(x)xf(x)x2，下面的不等式在R上恒成立的是()Af(x)0Bf(x)x Df(x)x解析：可令f(x)x2，则f(x)满足条件，验证各个选项，知B、C、D都不恒成立，故选A.答案：A2对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则有()Af(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)解析：由题意得，当x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，f(x)的最小值为f(1)，即对任意实数x，都有f(x)f(1)，f(0)f(1)，f(2)f(1)，f(0)f(2)2f(1)，故选D.答案：D3设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且f(3)0，则不等式f(x)g(x)0知x0时，h(x)为增函数，又f(x)，g(x)分别是奇函数和偶函数，h(x)为奇函数且在(0，)上为增函数，且h(3)0，所以f(x)g(x)0的解集为(，3)(0,3)，故选D.答案：D4已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)是f(x)的导函数，且f(x)，f(1)1，则不等式f(x)的解集为()Ax|x1Cx|x1 Dx|1x1解析：f(x)，f(x).令g(x)f(x)，g(1)，g(x)g(1)g(x)f(x)1.答案：B5(2018贵阳模拟)求曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dxBS(x2x)dxCS(y2y)dyDS(y2y)dy解析：依题意，在同一坐标系下画出曲线yx2与直线yx的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为(x2x)dx，选B.答案：B6(2018合肥模拟)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2y0)的点的个数的估计值为()A5 000B6 667C7 500 D7 854解析：S阴影S正方形x2dx1，所以有，解得n6 667，故选B.答案：B7函数f(x)x2ln x的最小值为()A. B1C0 D不存在解析：f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：当x0时，f(x)0，当x0时，xf(x)0，则h(x)xf(x)在(0，)上为增函数，且h(0)0，h(x)xf(x)0在(0，)上恒成立，又0，F(x)0在(0，)上恒成立，即F(x)在(0，)上无零点当x0时，xf(x)0在(，0)上恒成立，所以F(x)xf(x)在(,0)上为减函数，当x0时，xf(x)0，则F(x)0，在0,2上，g(x)0，故g(x)的最小值为g(2)1，所以2a1，即a.故选D.答案：D10已知常数a，b，c都是实数，f(x)ax3bx2cx34的导函数为f(x)，f(x)0的解集为x|2x3，若f(x)的极小值等于115，则a的值是()A B.C2 D5解析：由题意知，f(x)3ax22bxc0的解集为2,3，且在x3处取得极小值115，故有解得a2.答案：C11设函数f(x)在2,2上的最大值为2，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0) D.解析：设y2x33x21(2x0)，则y6x(x1)(2x0)，所以2x0，1x0时y0时，yeax在(0,2上的最大值e2a2，所以0aln 2，当a0时，y12，当a0时，yeax在(0,2上的最大值小于1，所以实数a的取值范围是.答案：D12定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，已知f(x1)是偶函数，且(x1)f(x)0.若x12，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()Af(x1)f(x2) D不确定解析：由(x1)f(x)1时，f(x)0，函数单调递减当x0，函数单调递增因为函数f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(1x)，f(x)f(2x)，即函数f(x)图象的对称轴为x1.所以，若1x1f(x2)；若x12x11，此时有f(x2)f(x2)综上，必有f(x1)f(x2)，选C.答案：C二、填空题13定积分dx_.解析：由y得x2y216(y0)，所以dx表示以原点为圆心，半径为4的圆的面积的，所以dx424.答案：414已知函数f(x)x22axln x，若f(x在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_解析：由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立又yx在上单调递减，max，2a，即a.答案：15已知函数f(x)ln x，则函数g(x)f(x)f(x)在区间2，e上的最大值为_解析：因为f(x)ln x，所以f(x)，则g(x)f(x)f(x)ln x，函数g(x)的定义域为(0，)，g(x)0在x(0，)上恒成立，所以函数g(x)在(0，)上是增函数，所以g(x)在区间2，e上的最大值g(x)maxg(e)ln e1.答案：116已知yf(x)为R上的连续可导函数，且xf(x)f(x)0，则函数g(x)xf(x)1(x0)的零点个数为_解析：设F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)0在R上恒成立，且F(0)0，所以F(x)xf(x)0在(0，)上恒成立，所以在(0，)上g(x)xf(x)11恒成立，则函数g(x)xf(x)1的零点个数为0.答案：0B组大题规范练1已知函数f(x).(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求证：exln(x1)x2ln(x1)解析：(1)由已知得f(x)的定义域为x|x0，f(x)，设g(x)(x1)ex1，则g(x)xex，令g(x)0，得x0，g(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数，g(x)g(0)0，f(x)0，f(x)在(，0)和(0，)上都是增函数(2)证明：设h(x)xln(x1)，x1，则h(x)1，令h(x)0，得x0，h(x)在(1,0)上是减函数，在(0，)上是增函数，h(x)h(0)0，即xln(x1)当x0时，xln(x1)0，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(ln(x1)，即，(ex1)ln(x1)x2.当1xxln(x1)，f(x)在(，0)上是增函数，f(x)f(ln(x1)，即，(ex1)ln(x1)x2.当x0时，(ex1)ln(x1)x20.由可知，对一切x1，均有(ex1)ln(x1)x2，即exln(x1)x2ln(x1)2已知函数f(x)(aR)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线xy10垂直(1)试比较2 0162 017与2 0172 016的大小，并说明理由；(2)若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点x1，x2，证明：x1x2e2.解析：(1)2 0162 0172 0172 016.理由如下：依题意得，f(x)，因为函数f(x)在x1处有意义，所以a1.所以f(1)，又由过点(1，f(1)的切线与直线xy10垂直可得，f(1)1，即1，解得a0.此时f(x)，f(x)，令f(x)0，即1ln x0，解得0xe；令f(x)0，即1ln xe.所以f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)所以f(2 016)f(2 017)，即，则2 017ln 2 0162 016 ln 2 017，所以2 0162 0172 0172 016.(2)证明：不妨设x1x20，因为g(x1)g(x2)0，所以ln x1kx10，ln x2kx20.可得ln x1ln x2k(x1x2)，ln x1ln x2k(x1x2)，要证x1x2e2，即证ln x1ln x22，也就是k(x1x2)2，因为k，所以只需证，即ln，令t，则t1，即证ln t.令h(t)ln t(t1)由h(t)0，得函数h(t)在(1，)上是增函数，所以h(t)h(1)0，即ln t.所以x1x2e2.3已知函数f(x)2ln xx22ax(a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，且f(x1)f(x2)2ln 2恒成立，求a的取值范围解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)，令x2ax10，则a24，当02时，0，方程x2ax10有两个不同的实根，分别设为x3，x4，不妨令x3x4，则x3，x4，此时0x30，当x(x3，x4)时，f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增(2)由(1)得f(x)在(x1，x2)上单调递减，x1x2a，x1x21，则f(x1)f(x2)2ln(x1x2)(x1x22a)2ln2ln，令t，则0t1，f(x1)f(x2)2ln tt，令g(t)2ln tt(0t1)，则g(t)0，故g(t)在(0,1)上单调递减且g2ln 2，故g(t)f(x1)f(x2)2ln 2g，即0t，而a2(x1x2)22t2，其中0t，令h(t)t2，t，所以h(t)10在t上恒成立，故h(t)t2在上单调递减，从而a2，故a的取值范围是.4已知f(x)e2xln(xa)(1)当a1时，求f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程；当x0时，求证：f(x)(x1)2x.(2)若存在x00，)，使得f(x0)0，F(x)在0，)上单调递增，所以F(x)F(0)0，F(x)在0，)上单调递增，所以F(x)F(0)0.(2)原问题等价于x00，使得e2x0ln(x0a)x0，u(x)在0，)上单调递增，u(x)u(0)2，当a时，u(0)20，u(x)在0，)上单调递增，u(x)minu(0)1ln ae.当a时，ln(xa)0x，令h(x)00xln.设g(x)e2xx2(x0)，则g(x)2e2x2x1，g(x)4e2x2420，g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)10，g(x)在0，)上单调递增，g(x)g(0)0，e2xx2xlnln(xa)，当a2ln(xa)x2在x0，)上恒成立，不合题意综上可得，a的取值范围是(e，)
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