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3.3.1二元一次不等式表示的平面区域学习目标1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式表示的平面区域知识点一二元一次不等式(组)的概念思考对于只含有一个未知数的不等式x6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x0.那么对于含有两个未知数的不等式xy0(A2B20)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组(3)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集知识点二二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0(或0(或1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x1右侧()2若(x1，y1)，(x2，y2)分别位于直线AxByC0两侧，则(Ax1By1C)(Ax2By2C)0表示的平面区域内()类型一二元一次不等式解的几何意义例1已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域答案(7,24)解析点(3,1)和(4,6)必有一个是3x2ya0的解，另一个点是3x2ya0的解或即(3321a)3(4)26a0，(a7)(a24)0，解得7a24.反思与感悟对于直线l：AxByC0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，则Ax2By2C0，即同侧同号，异侧异号跟踪训练1经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域解由题意知直线l的斜率存在，设为k.则可设直线l的方程为kxy10，由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k1)(2k2)0，所以1k1.类型二二元一次不等式表示的平面区域命题角度1给不等式画平面区域例2画出不等式x4y4表示的平面区域考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解先作出边界x4y4，因为这条线上的点都不满足x4y4，所以画成虚线取原点(0,0)，代入x4y4，因为040440，所以原点(0,0)在x4y40表示的平面区域内，所以不等式x4y4表示的平面区域在直线x4y4的左下方所以x4y0表示的平面区域考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解在平面直角坐标系中画出直线x2y60，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x2y6，得00660，所以原点(0,0)在不等式x2y60表示的平面区域内，所以x2y6表示的平面区域如图阴影部分所示命题角度2给平面区域写不等式例3如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案x2y20解析过点(2,0)和(0,1)的直线方程为y1，即x2y20.代入(0,0)有020220.阴影部分表示的区域满足x2y20.反思与感悟用不等式表示平面区域的步骤：(1)利用已知平面区域边界上点的坐标求出直线方程(2)将平面区域内的特殊点代入直线方程，判断不等号的方向(3)结合平面区域的边界虚实写出相应的不等式跟踪训练3将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定解(1)2x0.(3)xy20.1在不等式3x2y6表示的平面区域外的一个点是_(0,0); (1,1); (0,2); (2,0)考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域答案解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点在不等式3x2y6表示的平面区域外2已知点(1,2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是_考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域答案(1,6)解析由题意知，(32a)(93a)0，即(a1)(a6)0，1a6.3画出不等式x3y20表示的平面区域考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解代入(0,0)，03022x.考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解(1)画出直线x2y40，020440，x2y40表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求平面区域为如图阴影部分所示的区域，包括边界(2)画出直线y2x0，02120(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求平面区域为如图阴影部分所示的区域，不包括边界1对于任意的二元一次不等式AxByC0(或0时，(1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；(2)AxByC0表示直线AxByC0下方的区域2画平面区域时，注意边界线的虚实问题一、填空题1下列所给点中与点(1,2)位于直线2xy10的同一侧的是_(1,1); (0,1); (1,0); (1,0)考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域答案解析212110，点(1,2)位于2xy10表示的平面区域内，而四个点(1,1)，(0,1)，(1,0)，(1,0)中只有(1,0)满足2xy10.2设点P(x，y)，其中x，yN，满足xy3的点P的个数为_考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域答案10解析作的平面区域如图所示，符合要求的点P的个数为10.3在3x5y4表示的平面区域内的一个点是(1，y)，则y的取值范围是_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案解析将点(1，y)代入3x5y4，得5y7，y0,020330，所以点M与原点在直线l的异侧5若点A(2，b)不在平面区域2x3y50内，则b的取值范围是_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案解析依题意，点A(2，b)满足2x3y50，2(2)3b50，即b.6已知点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案(7,24)解析因为点(3，1)和(4，6)分别在直线3x2ya0的两侧，所以3(3)2(1)a342(6)a0，即(a7)(a24)0，解得7a0所表示的平面区域内，则m的取值范围是_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案(1，)解析由2m350，得m1.8原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2xya0表示的平面区域内，则a的取值范围为_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案(1,0解析根据题意，分以下两种情况：原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内，则无解；原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则1a0.综上所述，10解析过(2,0)，(0,5)的直线方程为1，即5x2y100.代入(0,0)得5020100，(0,0)所在区域为5x2y100.10不等式组表示的平面区域的形状为_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案正方形解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)，是边长为的正方形11若点P(m,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数m的值为_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案3解析由点P(m,3)到直线4x3y10的距离d4，得m7或m3.又点P在不等式2xy30表示的平面区域内，当m3时，点P的坐标为(3,3)，则2(3)330，不符合题意，舍去综上，m3.二、解答题12画出下列不等式表示的平面区域(1)3xy0；(2)y2x3.考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解(1)画出直线3xy0(画成虚线)，将点(1,0)代入3xy，得3100，所以不等式3xy0表示的平面区域与点(1,0)位于直线3xy0的同侧，如图所示图图(2)将y2x3变形得2xy30，先画出直线2xy30(画成实线)将点(0,0)代入2xy3得30，所以2xy30表示的区域与点(0,0)位于直线2xy30的同侧，如图所示13已知两条平行直线l1：6x8y10，l2：3x4y50.(1)用不等式表示夹在l1，l2之间的平面区域(包括边界)；(2)点B(5，b)在l1，l2的同侧，求b的取值范围考点二元一次不等式(组)题点用二元一次不等式(组)表示平面区域解(1)直线l1，l2如图所示，l1上方的区域可用6x8y10表示夹在l1，l2之间的平面区域(包括边界)可表示为(2)当x5时，658y10，y，354y50，y5.要使B(5，b)在l1，l2的同侧，需b5，即b的取值范围是b5.三、探究与拓展14已知点P(1，2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2xby10表示的平面区域内，则b的取值范围是_考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的判定答案解析P(1，2)关于(0,0)的对称点为(1,2)，依题意有2b(2)12(1)b210，即(2b3)(12b)0，0，所以b或b.15设满足y|xa|的点(x，y)的集合为A，满足y|x|b的点(x，y)的集合为B，其中a，b是正数，且AB.(1)a，b之间有什么关系？(2)求AB表示的图形的面积考点二元一次不等式(组)表示的平面区域题点二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解(1)画出y|xa|及y|x|b表示的区域(如图所示)可知，若AB，则ba(如图所示)(2)当ba时，AB表示一矩形区域，各边所在直线方程分别为xya0，xyb0，xya0，xyb0，矩形两边长分别是两平行线间的距离，即d1，d2，S矩形d1d2.当ba时，面积为0.综上所述，所求面积S(b2a2)
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