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模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1命题“xR,3x0”的否定是()AxR,3x0BxR,3x0CxR,3x0DxR,3x0答案B2x1是x23x20的()A充分不必要条件B既不充分也不必要条件C必要不充分条件D充要条件答案A解析若x1，则x23x21320成立，即充分性成立，若x23x20，则x1或x2，此时x1不一定成立，即必要性不成立，故x1是x23x20的充分不必要条件3函数f(x)exlnx在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1) Byex1CyxeDye(x1)答案D解析因为f(x)ex，所以f(1)e.又f(1)0，所以所求的切线方程为ye(x1)4下列说法中正确的是()A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“ab”与“acbc”不等价C“a2b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真答案D解析否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5若椭圆1(ab0)的离心离为，则双曲线1的渐近线方程为()AyxBy2xCy4xDyx答案A解析由椭圆的离心率e，可知，所以，故双曲线1的渐近线方程为yx.6设函数f(x)在R上可导，f(x)x2f(2)3x，则f(1)与f(1)的大小关系是()Af(1)f(1) Bf(1)f(1)Cf(1)f(1)7已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得，当x(，c)时，f(x)0；当x(c，e)时，f(x)0.因此，函数f(x)在(，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，)上是增函数，又abf(b)f(a)，选C.8点F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为()A.B2C.D3答案C解析ABF2是等边三角形，|BF2|AB|，根据双曲线的定义，可得|BF1|BF2|2a，|BF1|AB|AF1|2a，又|AF2|AF1|2a，|AF2|AF1|2a4a.在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos120，即4c24a216a222a4a28a2，解得ca，由此可得双曲线C的离心率e.9已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF2.当时，F1PF2的面积最大，则mn的值是()A41B15C9D1答案B解析由SF1PF2|F1F2|yP|3|yP|，知当P为短轴端点时，F1PF2的面积最大此时F1PF2，得a2，b，故mn15.10设函数f(x)xlnx(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点答案C解析由题意得f(x)(x0)，令f(x)0，得x3；令f(x)0，得0x3；令f(x)0，得x3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，)上为增函数，在点x3处有极小值1ln30，f(1)0，f(e)10)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故实数a的取值范围是(，412设F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(O)0(O为坐标原点)，且|PF1|PF2|，则双曲线的离心率为()A.B.1C.D.1答案D解析设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，由(O)0，得(O)(O)0，22，|O|，故F1PF2是直角三角形，又|PF1|PF2|，|F1F2|2c，|PF1|c，|PF2|c，由双曲线的定义知cc2a，e1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若命题“存在实数x，使x2ax10，a2或a0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2，则p_.答案2解析由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离，得12，即p2.15若函数f(x)kx33(k1)x2k21在区间(0,4)上是减函数，则k的取值范围是_答案解析f(x)3kx26(k1)x.当k0时，f(x)0在区间(0,4)上恒成立，即f(x)在区间(0,4)上是减函数，故kb0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为_答案解析如图所示，在AFB中，|AB|10，|BF|8，cosABF，由余弦定理可得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10064210836.|AF|6，BFA90.设F为椭圆右焦点，连接BF，AF.根据对称性，可得四边形AFBF是矩形，|BF|6，|FF|10，2a8614,2c10，则e.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)已知命题p：方程1(a0)表示双曲线，命题q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆(1)若命题q为真命题，求m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解(1)命题q为真命题，2mm10，1m0)表示双曲线，则(m3a)(m4a)0)，解得3amln21且x0时，exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)极小值2(1ln2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知，当aln21时，g(x)取最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增所以当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.20(12分)已知函数f(x)ax2lnx，aR.(1) 当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)是否存在a，使得方程f(x)2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)当a1时，f(x)lnx(x0)，则f(x)x(x0)，f(1)0，f(1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y.(2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)ax(x0)当a0时，f(x)0时，令f(x)0，解得x，当x时，f(x)0.故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增(3)存在a(0，e3)，使得方程f(x)2有两个不等的实数根理由如下：由(2)可知，当a0时，f(x)0时，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，使得方程f(x)2有两个不等的实数根，等价于函数f(x)的极小值f2，即flna2，解得0af，即函数f(x)在上的最大值为fb，b0.(2)由g(x)x2(a2)x，得(xlnx)ax22x.x1，e，lnx1x，且等号不能同时成立，lnx0，a恒成立，即amin，令t(x)，x1，e，求导得，t(x)，当x1，e时，x10，lnx1，x2(1lnx)0，从而t(x)0，t(x)在1，e上为增函数，t(x)mint(1)1，a1.22(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A，B两点若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值；若点M，求证为定值(1)解因为1(ab0)满足a2b2c2，b2c，解得a25，b2，则椭圆C的方程为1.(2)解设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)将yk(x1)代入1，得(13k2)x26k2x3k250，36k44(3k21)(3k25)48k2200，x1x2.因为AB中点的横坐标为，所以，解得k.证明由知x1x2，x1x2，所以y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k2k2k2.即为定值
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