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模块综合试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1命题“xR,3x0”的否定是()AxR,3x0BxR,3x0CxR,3x0DxR,3x0答案B2x1是x23x20的()A充分不必要条件B既不充分也不必要条件C必要不充分条件D充要条件答案A解析若x1,则x23x21320成立,即充分性成立,若x23x20,则x1或x2,此时x1不一定成立,即必要性不成立,故x1是x23x20的充分不必要条件3函数f(x)exlnx在点(1,f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1) Byex1CyxeDye(x1)答案D解析因为f(x)ex,所以f(1)e.又f(1)0,所以所求的切线方程为ye(x1)4下列说法中正确的是()A一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B“ab”与“acbc”不等价C“a2b20,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2b20”D一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真答案D解析否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性,故选D.5若椭圆1(ab0)的离心离为,则双曲线1的渐近线方程为()AyxBy2xCy4xDyx答案A解析由椭圆的离心率e,可知,所以,故双曲线1的渐近线方程为yx.6设函数f(x)在R上可导,f(x)x2f(2)3x,则f(1)与f(1)的大小关系是()Af(1)f(1) Bf(1)f(1)Cf(1)f(1)7已知定义在R上的函数f(x),其导函数f(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()Af(b)f(c)f(d) Bf(b)f(a)f(e)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(e)f(d)答案C解析由题意得,当x(,c)时,f(x)0;当x(c,e)时,f(x)0.因此,函数f(x)在(,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,)上是增函数,又abf(b)f(a),选C.8点F1,F2分别是双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点,过点F1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,若ABF2为等边三角形,则双曲线C的离心率为()A.B2C.D3答案C解析ABF2是等边三角形,|BF2|AB|,根据双曲线的定义,可得|BF1|BF2|2a,|BF1|AB|AF1|2a,又|AF2|AF1|2a,|AF2|AF1|2a4a.在AF1F2中,|AF1|2a,|AF2|4a,F1AF2120,|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos120,即4c24a216a222a4a28a2,解得ca,由此可得双曲线C的离心率e.9已知F1(3,0),F2(3,0)是椭圆1的两个焦点,点P在椭圆上,F1PF2.当时,F1PF2的面积最大,则mn的值是()A41B15C9D1答案B解析由SF1PF2|F1F2|yP|3|yP|,知当P为短轴端点时,F1PF2的面积最大此时F1PF2,得a2,b,故mn15.10设函数f(x)xlnx(x0),则yf(x)()A在区间,(1,e)内均有零点B在区间,(1,e)内均无零点C在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点D在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点答案C解析由题意得f(x)(x0),令f(x)0,得x3;令f(x)0,得0x3;令f(x)0,得x3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,)上为增函数,在点x3处有极小值1ln30,f(1)0,f(e)10),则h(x).当x(0,1)时,h(x)0,函数h(x)单调递增,所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故实数a的取值范围是(,412设F1,F2是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(O)0(O为坐标原点),且|PF1|PF2|,则双曲线的离心率为()A.B.1C.D.1答案D解析设P(x0,y0),F1(c,0),F2(c,0),由(O)0,得(O)(O)0,22,|O|,故F1PF2是直角三角形,又|PF1|PF2|,|F1F2|2c,|PF1|c,|PF2|c,由双曲线的定义知cc2a,e1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13若命题“存在实数x,使x2ax10,a2或a0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2,则p_.答案2解析由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离,得12,即p2.15若函数f(x)kx33(k1)x2k21在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围是_答案解析f(x)3kx26(k1)x.当k0时,f(x)0在区间(0,4)上恒成立,即f(x)在区间(0,4)上是减函数,故kb0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|10,|BF|8,cosABF,则C的离心率为_答案解析如图所示,在AFB中,|AB|10,|BF|8,cosABF,由余弦定理可得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF10064210836.|AF|6,BFA90.设F为椭圆右焦点,连接BF,AF.根据对称性,可得四边形AFBF是矩形,|BF|6,|FF|10,2a8614,2c10,则e.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)已知命题p:方程1(a0)表示双曲线,命题q:方程1表示焦点在y轴上的椭圆(1)若命题q为真命题,求m的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围解(1)命题q为真命题,2mm10,1m0)表示双曲线,则(m3a)(m4a)0),解得3amln21且x0时,exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a,xR知,f(x)ex2,xR.令f(x)0,得xln2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,ln2)ln2(ln2,)f(x)0f(x)极小值2(1ln2a)故f(x)的单调递减区间是(,ln2),单调递增区间是(ln2,),f(x)在xln2处取得极小值,极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明设g(x)exx22ax1,xR,于是g(x)ex2x2a,xR.由(1)知,当aln21时,g(x)取最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R上单调递增所以当aln21时,对任意x(0,),都有g(x)g(0)而g(0)0,从而对任意x(0,),都有g(x)0.即exx22ax10,故exx22ax1.20(12分)已知函数f(x)ax2lnx,aR.(1) 当a1时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)讨论f(x)的单调性;(3)是否存在a,使得方程f(x)2有两个不等的实数根?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由解(1)当a1时,f(x)lnx(x0),则f(x)x(x0),f(1)0,f(1),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y.(2)f(x)的定义域为(0,),f(x)ax(x0)当a0时,f(x)0时,令f(x)0,解得x,当x时,f(x)0.故函数f(x)在上单调递减,在上单调递增(3)存在a(0,e3),使得方程f(x)2有两个不等的实数根理由如下:由(2)可知,当a0时,f(x)0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,使得方程f(x)2有两个不等的实数根,等价于函数f(x)的极小值f2,即flna2,解得0af,即函数f(x)在上的最大值为fb,b0.(2)由g(x)x2(a2)x,得(xlnx)ax22x.x1,e,lnx1x,且等号不能同时成立,lnx0,a恒成立,即amin,令t(x),x1,e,求导得,t(x),当x1,e时,x10,lnx1,x2(1lnx)0,从而t(x)0,t(x)在1,e上为增函数,t(x)mint(1)1,a1.22(12分)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A,B两点若线段AB中点的横坐标为,求斜率k的值;若点M,求证为定值(1)解因为1(ab0)满足a2b2c2,b2c,解得a25,b2,则椭圆C的方程为1.(2)解设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)由(1)将yk(x1)代入1,得(13k2)x26k2x3k250,36k44(3k21)(3k25)48k2200,x1x2.因为AB中点的横坐标为,所以,解得k.证明由知x1x2,x1x2,所以y1y2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k2k2k2.即为定值
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