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第13讲立体几何1.2017全国卷 如图M4-13-1,图M4-13-1在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.试做_命题角度证明垂直的解题策略证明线面垂直或者面面垂直的关键是证明线线垂直,进而利用判定定理或性质定理得到结论.证明线线垂直的常用方法:利用特殊图形中的垂直关系;利用等腰三角形底边中线的性质;利用勾股定理的逆定理;利用直线与平面垂直的性质.2.2016全国卷 如图M4-13-2,图M4-13-2四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.试做 _命题角度证明平行的解题策略证明线面平行的一般思路:先证明线线平行(用几何体的特征、中位线定理、线面平行的性质定理或者构造平行四边形、寻找比例式等证明两直线平行),再证明线面平行(注意推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则会出现错误).3.2016全国卷 如图M4-13-3,图M4-13-3菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD=22,求五棱锥D-ABCFE的体积.试做 _命题角度折叠问题证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置关系和数量关系中的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置关系和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.解答1平行、垂直关系的证明1 如图M4-13-4,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B为菱形,AB=AC=BC,D,E,F分别为A1B1,CC1,AA1的中点.(1)求证:DE平面A1BC;(2)若平面ABC平面AA1B1B,求证:AB1CF.图M4-13-4听课笔记_【考场点拨】高考常考平行、垂直关系的解题策略:(1)证明空间中的平行、垂直关系的常用方法是转化,如证明面面平行时,可转化为证明线面平行,而证明线面平行时,可转化为证明线线平行,但有的时候证明线面平行时,也可先证明面面平行,然后就能根据定义得出线面平行.(2)在证明时,常通过三角形、平行四边形、矩形等平面图形去寻找平行和垂直关系.【自我检测】如图M4-13-5所示,四边形ABCD为菱形,AF=2,AFDE,DE平面ABCD.(1)求证:AC平面BDE.(2)当DE为何值时,直线AC平面BEF?请说明理由.图M4-13-5解答2体积、距离的计算2 如图M4-13-6,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.(1)求证:AD平面PNB;(2)若平面PAD平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.图M4-13-6听课笔记_【考场点拨】 高考常考体积和距离问题的解题策略:(1)求空间几何体的体积的常用方法有换底法,转化法,割补法.换底法的一般思路是找出几何体的底面和高,看底面积和高是否容易计算,若较难计算,则转换顶点和底面,使得底面积和高都比较容易求出;转化法是利用一个几何体与另一个几何体之间的关系,转化为求另一个几何体的体积;对于较复杂的几何体,有时也进行分割和补形,间接求得体积. (2)求立体几何中的距离问题时常利用等体积法,即把要求的距离转化成一个几何体的高,利用同一个几何体的体积相等,转换这个几何体的顶点去求解.【自我检测】1.如图M4-13-7,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,AC1平面A1BC.(1)证明:平面ABC平面ACC1A1;(2)若BC=AC=2,A1A=A1C,求点B1到平面A1BC的距离.图M4-13-72.在如图M4-13-8所示的四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,DAB=60,PAB为正三角形.(1)证明:ABPD;(2)若PD=62AB,四棱锥P-ABCD的体积为16,求PC的长.图M4-13-8解答3翻折与探索性问题32018全国卷 如图M4-13-9所示,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.图M4-13-9听课笔记 _【考场点拨】高考中翻折与探索性问题的解题策略:(1)翻折问题有一定的难度,在解题时,一定要先弄清楚在翻折过程中哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化.一般情况下,长度不发生变化,而位置关系发生变化.再通过连线得到三棱锥、四棱锥等几何体,最后把问题转化到我们较熟悉的几何体中去解决.(2)对于探索性问题,一般根据问题的设问,首先假设其存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设,如果得到了矛盾就否定假设.【自我检测】1.如图M4-13-10所示,在矩形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,将ADM沿AM折起,使平面ADM平面ABCM,如图M4-13-10所示.(1)求证:平面BMD平面ADM; (2)当AB=2时,求三棱锥M-BCD与三棱锥D-ABM的体积比.图M4-13-102.如图M4-13-11,在四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EFAB,现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC,如图M4-13-11所示.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且AP=PD,使得CP平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值.图M4-13-11第13讲立体几何 典型真题研析1.解:(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x,故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22,可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin60=6+23.2.解:(1)证明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中点T,连接AT,TN.由N为PC的中点知TNBC,且TN=12BC=2.又ADBC,所以TNAM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为12PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3,得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距离为5,故SBCM=1245=25.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13SBCMPA2=453.3.解:(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CFCD,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得OHDO=AEAD=14.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-AO2=4,所以OH=1,DH=DH=3,于是OD2+OH2=(22)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD,又ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.由EFAC=DHDO得EF=92.五边形ABCFE的面积S=1268-12923=694.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=1369422=2322. 考点考法探究解答1例1证明:(1)设AB1,A1B相交于点O,连接OD,OC.因为O,D分别为A1B,A1B1的中点,所以ODBB1,且OD=12BB1.因为BB1CC1,BB1=CC1,E是CC1的中点,所以CEBB1,且CE=12BB1,所以CEOD,CE=OD,所以四边形ODEC是平行四边形,所以OCDE.又OC平面A1BC,DE平面A1BC,所以DE平面A1BC.(2)因为四边形AA1B1B为菱形,所以AB1A1B.取AB的中点M,连接MF,MC.因为M,F分别为AB,AA1的中点,所以MFA1B,AB1MF.因为ABC为等边三角形,所以CMAB.因为平面ABC平面AA1B1B,CM平面ABC,平面ABC平面AA1B1B=AB,所以CM平面AA1B1B,所以CMAB1.又MFCM=M,所以AB1平面CMF,所以AB1CF.【自我检测】解:(1)证明:因为DE平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACDE.在菱形ABCD中,ACBD,又DEBD=D,DE平面BDE,BD平面BDE.所以AC平面BDE.(2)当DE=4时,直线AC平面BEF,理由如下:在菱形ABCD中,设AC交BD于点O,取BE的中点M,连接OM,FM,则OM为BDE的中位线,所以OMDE,且OM=12DE=2,又AFDE,AF=12DE=2,所以OMAF,且OM=AF.所以四边形AOMF为平行四边形,则ACFM.因为AC平面BEF,FM平面BEF,所以直线AC平面BEF.解答2例2解:(1)证明:PA=PD,N为AD的中点,PNAD.底面ABCD为菱形,BAD=60,N为AD的中点,BNAD,PNBN=N,AD平面PNB.(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PNAD,PN平面PAD,PN平面ABCD,PNNB,又PA=PD=AD=2,PN=NB=3,SPNB=1233=32.AD平面PNB,ADBC,BC平面PNB.PM=2MC,VP-NBM=VM-PNB=23VC-PNB=2313322=23,三棱锥P-NBM的体积为23.【自我检测】1.解:(1)证明:AC1平面A1BC,AC1BC.BCA=90,BCAC,又ACAC1=A,BC平面ACC1A1.又BC平面ABC,平面ABC平面ACC1A1.(2)取AC的中点D,连接A1D,B1C,如图所示.A1A=A1C,A1DAC.又平面ABC平面ACC1A1,平面ABC平面ACC1A1=AC,A1D平面ACC1A1,A1D平面ABC.AC1平面A1BC,AC1A1C,四边形ACC1A1为菱形,AA1=AC.又A1A=A1C,A1AC是边长为2的正三角形,A1D=3,VABC -A1B1C1=12223=23.设点B1到平面A1BC的距离为h,则VB1-A1BC=13VABC -A1B1C1=233=13hSA1BC.又BCA1C,BC=2,A1C=2,SA1BC=2,h=3.所以点B1到平面A1BC的距离为3.2.解:(1)证明:取AB的中点O,连接PO,DO,BD,如图所示.四边形ABCD为菱形,DAB=60,ABD为正三角形,DA=DB,DOAB,PAB为正三角形,POAB,又DOPO=O,PO平面POD,DO平面POD,AB平面POD,PD平面POD,ABPD.(2)设AB=2x,则PD=6x.在正三角形PAB中,PO=3x,同理DO=3x,PO2+OD2=PD2,POOD,又POAB,DOAB=O,DO平面ABCD,AB平面ABCD,PO平面ABCD,VP-ABCD=1323x23x=16,x=2,则PD=26,CD=AB=4.ABCD,ABPD,CDPD,PC=PD2+CD2=(26)2+42=210.解答3例3解:(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可知DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=13QESABP=13112322sin45=1.【自我检测】1.解:(1)证明:在矩形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点,ADM,BCM都是等腰直角三角形,且ADM=90,BCM=90,BMAM,折起后这一垂直关系不变.又平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,BM平面ABCM,BM平面ADM.又BM平面BMD,平面BMD平面ADM.(2)如图所示,取AM的中点N,连接DN,DA=DM,DNAM,平面ADM平面ABCM,平面ADM平面ABCM=AM,DN平面ADM,DN平面ABCM.AB=2,AD=DM=CM=CB=1,AM=BM=2,DN=22,SBCM=12CMCB=12,SABM=12AMMB=1,VM-BCD=VD-BCM=13SBCMDN=212,VD-ABM=13SABMDN=26,VM - BCDVD - ABM=12.2.解:(1)在折叠后的图中,过C作CGFD,交FD于G,过G作GPFD交AD于P,连接PC.在折叠前的四边形ABCD中,EFAB,ABAD,所以EFAD.折起后DFEF,所以CGEF,又平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,所以FD平面ABEF.又AF平面ABEF,所以FDAF,所以PGAF,又BE=1,所以FG=EC=3,GD=2,故APPD=FGGD=32.因为CGPG=G,EFAF=F,所以平面CPG平面ABEF,因为CP平面CPG,所以CP平面ABEF.所以在线段AD上存在一点P,且AP=32PD,使得CP平面ABEF.(2)因为AFEF,平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,所以AF平面EFDC.设BE=x(0x4),所以AF=x,FD=6-x,又CG=AB=2,所以VA-CDF=13122(6-x)x=13(-x2+6x)=139-(x-3)2,所以当x=3时,VA-CDF取得最大值3,即三棱锥A-CDF的体积的最大值为3.备选理由 本题用切割法求几何体的体积,是对正文中例2的补充和拓展.例配例2使用 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,ABBC,D为AC的中点,A1A=AB=2,BC=3.(1)求证:AB1平面BC1D;(2)求四棱锥B-AA1C1D的体积.解:(1)证明:如图所示,连接B1C,设B1C与BC1相交于点O,连接OD. 四边形BCC1B1是平行四边形,点O为B1C的中点.D为AC的中点,OD为AB1C的中位线,ODAB1.OD平面BC1D,AB1平面BC1D,AB1平面BC1D.(2)AA1平面ABC,AB平面ABC,AA1AB.BB1AA1,BB1AB.ABBC,BCBB1=B,AB平面BB1C1C.取BC的中点E,连接DE,则DEAB,DE=12AB,DE平面BB1C1C.BB1平面ABC,BB1BC,又BB1CC1,BCB1C1,CC1BC,BB1B1C1,又A1A=AB=2,BC=3,DE=1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=12ABBCAA1=6,VD - BCC1=1312BCCC1DE=1,VA1- BB1C1=1312B1C1BB1A1B1=2.又V=VD - BCC1+VA1- BB1C1+VB - AA1C1D,6=1+2+VB - AA1C1D,VB - AA1C1D=3,四棱锥B-AA1C1D的体积为3.
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