多属性决策讲义课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,管理决策分析,裴 凤,合肥工业大学管理学院,1,第四章 多属性决策,第一节,多属性决策问题,第二节 确定权重的常用方法,第三节 加权和法,第四节 TOPSIS法,第五节 层次分析法,第六节 数据包络分析法,2,第一节 多属性决策问题,引例,设某人拟购买住宅一栋，有四所房屋可供选择，房屋的合意程度用五个指标去衡量，即价格、使用面积、距工作地点的距离、设备、环境。见下表的决策矩阵：,指标,方案,价格,C,1,(,万元,),使用面积,C,2,(m,2,),上班距离,C,3,(,公里,),设备,C,4,环境,C,5,A,1,60,100,10,好,好,A,2,50,80,8,差,一般,A,3,36,50,20,一般,很好,A,4,44,70,12,一般,很好,3,一、决策矩阵,设有,n,个决策指标,C,j,(,j,=1,2,n,)，,m,个可行方案,A,i,(,i,=1,2,m,)，,方案,A,i,在指标,C,j,下的,指标（属性）值为,x,ij,，,则有如下决策矩阵(或属性值表)：,指标,方案,C,1,C,j,C,n,A,1,x,11,x,1,j,x,1,n,A,i,x,i,1,x,ij,x,in,A,m,x,m,1,x,mj,x,mn,第一节 多属性决策问题,4,例1,研究生院试评估,指标,方案,人均专著,C,1,（本/人）,生师比,C,2,科研经费,C,3,（万元/年）,逾期毕业率,C,4,（%）,A,1,0.1,5,5000,4.7,A,2,0.2,7,4000,2.2,A,3,0.6,10,1260,3.0,A,4,0.3,4,3000,3.9,A,5,2.8,2,284,1.2,第一节 多属性决策问题,5,例2,某航空公司在国际市场买飞机，按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这6个指标是，最大速度（,C,1,）、最大范围（,C,2,）、最大负载（,C,3,）、价格（,C,4,）、可靠性（,C,5,）、灵敏度（,C,6,）。现有4种型号的飞机可供选择，具体指标值如表。写出决策矩阵，并用向量归一化法处理。,指标,机型,最大速度,马赫,最大范围,公里,最大负载,千克,费用,10,6,美元,可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,一般,很高,A,2,2.5,2700,18000,6.5,低,一般,A,3,1.8,2000,21000,4.5,高,高,A,4,2.2,1800,20000,5.0,一般,一般,第一节 多属性决策问题,6,数据的预处理又称属性值的规范化（标准化），主要有如下作用：,1.区分属性值的多种类型,使得对于任一属性，其属性值都是越大越好。,2.无量纲化,多属性决策的目标间具有不可公度性，即在属性值表中每一列数据都具有不量纲。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也会不同。需要排除量纲的选用对决策结果的影响。,3.归一化,将属性值变换到0,1区间上。,二、数据的预处理,第一节 多属性决策问题,7,定性指标量化处理方法,等级,分值,指标,很低,低,一般,高,很高,正向指标,1,3,5,7,9,逆向指标,9,7,5,3,1,将定性指标按性质划分为若干级别，分别赋予不同的量值。,一般可以划分为五个级别，最优值10分，最劣值0分。其余级别赋予适当的分值。也可以划分为其他级别和赋予其他分值，方法类似，视具体情况而定。具体分值见表。,第一节 多属性决策问题,8,指标,机型,最大速度,(马赫),最大范围,(公里),最大负载,(千克),费用,(10,6,美元),可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,一般,很高,A,2,2.5,2700,18000,6.5,低,一般,A,3,1.8,2000,21000,4.5,高,高,A,4,2.2,1800,20000,5.0,一般,一般,指标,机型,最大速度,(马赫),最大范围,(公里),最大负载,(千克),费用,(10,6,美元),可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,5,9,A,2,2.5,2700,18000,6.5,3,5,A,3,1.8,2000,21000,4.5,7,7,A,4,2.2,1800,20000,5.0,5,5,第一节 多属性决策问题,9,1.向量归一化法,在决策矩阵中，令,则矩阵Y=(,y,ij,),m,n,称为向量归一标准化矩阵。,显然，矩阵,Y,的列向量的模等于1，即,经过向量归一化处理后，其指标均满足0,y,ij,1,并且，正、逆向指标的方向没有发生变化。,第一节 多属性决策问题,10,指标,机型,最大速度,马赫,最大范围,公里,最大负载,千克,费用,10,6,美元,可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,5,9,A,2,2.5,2700,18000,6.5,3,5,A,3,1.8,2000,21000,4.5,7,7,A,4,2.2,1800,20000,5.0,5,5,第一节 多属性决策问题,11,2.线性比例变换法,在决策矩阵,中，取,对于正向指标,C,j,，,则,对于逆向指标,C,j,，,则,经过线性比例变换后，其指标均满足,0,y,ij,1,并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。,第一节 多属性决策问题,12,指标,机型,A,i,最大速度,马赫,最大范围,公里,最大负载,千克,费用,10,6,美元,可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,5,9,A,2,2.5,2700,18000,6.5,3,5,A,3,1.8,2000,21000,4.5,7,7,A,4,2.2,1800,20000,5.0,5,5,max,2.5,2700,21000,6.5,7,9,min,1.8,1500,18000,4.5,3,5,第一节 多属性决策问题,13,3.极差变换法,正向指标,逆向指标,经过极差变换后，其指标均满足,0,y,ij,1,并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。,第一节 多属性决策问题,14,指标,机型,A,i,最大速度,马赫,最大范围,公里,最大负载,千克,费用,10,6,美元,可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,5,9,A,2,2.5,2700,18000,6.5,3,5,A,3,1.8,2000,21000,4.5,7,7,A,4,2.2,1800,20000,5.0,5,5,max,2.5,2700,21000,6.5,7,9,min,1.8,1500,18000,4.5,3,5,第一节 多属性决策问题,15,4.标准样本变换法,其中，样本均值,样本均方差,矩阵,称为标准样本变换矩阵。,经过标准样本变换之后，标准化的矩阵的样本均值为0，方差为1。,第一节 多属性决策问题,16,5.区间型指标,(指标值落在某个区间为最好)：,其中， 为区间指标的适度区间。,6.居中型指标：,其中，,q,j,为居中指标的理想值。,第一节 多属性决策问题,17,逐对比较法是一种主观赋权法。,基本思想：,将属性按重要性进行两两比较，根据三级比例标度进行评分，各属性得分与所有属性总得分之比即为该属性的权重。,1.逐对比较法,第二节 确定权重的常用方法,18,设有,n,个指标,C,1,C,2, ,C,n,，,按三级比例标度评分值为,a,ij,，,三级比例标度的含义是,当,C,i,比,C,j,重要时,当,C,i,与,C,j,同等重要时,当,C,i,比,C,j,不重要时,评分值构成矩阵,A=(,a,ij,),n,*,n,显然，该矩阵单元之间存在如下的关系,指标,C,k,的权重系数分别为,第二节 确定权重的常用方法,19,最大速度,C,1,最大范围,C,2,最大负载,C,3,费用,C,4,可靠性,C,5,灵敏度,C,6,评分总计,权重,w,i,C,1,0.5,1,1,1,0.5,0,4,0.22,C,2,0,0.5,0.5,0.5,0,0,1.5,0.08,C,3,0,0.5,0.5,0.5,0,0,1.5,0.08,C,4,0,0.5,0.5,0.5,0,0,1.5,0.08,C,5,0.5,1,1,1,0.5,0,4,0.22,C,6,1,1,1,1,1,0.5,5.5,0.31,4/18,1.5/18,5.5/18,第二节 确定权重的常用方法,20,连环比率法也是一种主观赋权法，其,基本思路,是：将所有指标排成一列，从上到下比较相邻两个指标重要性，并赋予一个比率值，对最后一个指标赋予1。再从下到上，依次求出各指标修正评分值，最后，进行归一化处理，求得各指标的权重。,（1）设有,n,个指标,C,1,C,2, ,C,n,，,将,C,i,与,C,i,+1,比较，赋予,C,i,以比率值,r,i,，,r,i,按三级比例标度：,C,i,比,C,i,+1,重要（或相反）,C,i,比,C,i,+1,较重要（或相反）,C,i,与,C,i,+1,同等重要,2.连环比率法,第二节 确定权重的常用方法,21,比率值,r,i,修正评分值,k,i,权重,w,i,最大速度,C,1,3,最大范围,C,2,1,最大负载,C,3,1,费用,C,4,1/3,可靠性,C,5,1/2,灵敏度,C,6,1,和,（2）计算各指标修正评分值,（3）归一化处理，,1,1/2,1/6,1/6,1/6,1/2,2.5,0.20,0.07,0.07,0.07,0.20,0.40,1.01,第二节 确定权重的常用方法,22,熵是信息论中一个衡量系统不确定性的量。不确定性越大，熵越大；反之，不确定性越小，熵越小。,3.熵值法,熵值法依据各指标所包含的信息量大小确定指标权重，是一种客观赋权法。,（1）对决策矩阵用线性比例变换法进行标准化处理，得标准化矩阵,Y,=(,y,ij,),m,*,n,，,并进行归一化处理，得,第二节 确定权重的常用方法,23,（2）计算第,j,个指标的熵值,（3）根据每个指标的熵值求其差异系数 ，即,指标的差异越大，对方案的评价作用就越大；反之，差异越小，对方案评价的作用越小。根据每个指标的差异系数，确定其权重系数，即,第二节 确定权重的常用方法,24,组织若干对决策系统熟悉的专家，采用一定的方式对指标权重独立地发表意见，用统计方法作适当处理。这种方法称为专家赋权法，也称Delphi法。,设有,n,个决策指标,C,1,C,2, ,C,n,，,组织,l,个专家咨询，每个专家确定一组指标权重估计值,4.专家赋权法,第二节 确定权重的常用方法,25,对,l,个专家给出的权重估计值平均，得到平均估计值,根据专家赋值和平均估计值求赋值权重的偏差,，,即,对于偏差较大的第,j,个指标的权重估计值，再请第,i,个专家重新估计权重值。经过几轮反复，直到偏差满足一定要求为止。这样，就得到一组指标权重的平均估计修正值。,第二节 确定权重的常用方法,26,第三节 加权和法,步骤,（1）用适当方法确定各指标的权重,得到权重向量,W,=(,w,1,w,2, ,w,n,),T,;,（2）对决策矩阵进行标准化处理(要求将所有的指标正向化),得到标准化矩阵,Y,=(,y,ij,),m,n,；,（3）求出各方案的指标线性加权和,（4）按照,u,i,由大到小的顺序对方案进行排序。,27,指标,机型,A,i,最大速度,马赫,最大范围,公里,最大负载,千克,费用,10,6,美元,可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,5,9,A,2,2.5,2700,18000,6.5,3,5,A,3,1.8,2000,21000,4.5,7,7,A,4,2.2,1800,20000,5.0,5,5,例3,使用加权和法对例2的购买飞机问题进行决策。,解：用适当方法确定决策指标的权重，得到,w,T,= ( 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0.2, 0.3 ),用线性比例变换法得到标准化决策矩阵,第三节 加权和法,28,求得四个方案的加权指标值分别为,u,1,=0.835,u,2,=,0.709,u,3,=,0.853,u,4,=,0.738,利用公式 计算各方案的加权指标值。,由此可得最满意方案为,a,3, 且各方案的优劣排序结果为,第三节 加权和法,29,（1）指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联。,（2）每个属性的边际价值是线性的，每两个属性都是相互价值独立的。,（3）属性间的完全可补偿性，即某个属性的缺陷可以由其他属性来补偿。,使用加权和法的前提条件,第三节 加权和法,30,(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution),基本思想：,通过构造理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离负理想解两个基准，作为评价各方案的依据。,理想解：,各指标属性都达到最满意时的解。,负理想解：,各指标属性都处在最不满意时的解。,早期理想解法只考虑与理想解距离，但有时会出现某两个备选方案与理想解距离相同的情况，为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优。这就出现了后来的双基点理想解法，现仍称为理想解法。,第四节 理想点法（TOPSIS）,31,准则,准则,TOPSIS,理想解与负理想解图形,说明,：,最佳方案亦即距离理想解最近，同時距离负理想解最,远的方案。,第四节 理想点法（TOPSIS）,32,价格,使用面积,A,1,60,100,A,2,50,80,A,3,36,50,A,4,44,70,A,+,36,100,A,-,60,50,A,-,A,+,确定了理想解和负理想解，还需要定义一个距离测度表示各方案与理想解和负理想解的距离，TOPSIS法所用的是欧氏距离.,A,1,A,2,A,3,A,4,第四节 理想点法（TOPSIS）,例如，,A,2,到,A,+,的距离为,33,（1）用向量规一化方法求得标准化决策矩阵,Y,=(,y,ij,),m,*,n,设多属性决策问题的决策矩阵,X,=(,x,ij,),m,*,n,指标权重向量为,W,=(,w,1,w,2, ,w,n,),T,，,则理想点法的步骤为：,（2）计算加权标准化决策矩阵,V,=(,v,ij,),m,*,n,理想点法的步骤,第四节 理想点法（TOPSIS）,34,（4）计算各方案到理想解与负理想解的距离。,方案,A,i,到负理想解,V,-,的距离,方案,A,i,到理想解,V,+,的距离,（5）计算各方案的相对贴近度,（6）按,C,i,由大到小对方案排序。,（3）确定理想解,V,+,和负理想解,V,-,，定义如下：,其中，,第四节 理想点法（TOPSIS）,35,指标,机型,A,i,最大速度,马赫,最大范围,公里,最大负载,千克,费用,10,6,美元,可靠性,灵敏度,A,1,2.0,1500,20000,5.5,5,9,A,2,2.5,2700,18000,6.5,3,5,A,3,1.8,2000,21000,4.5,7,7,A,4,2.2,1800,20000,5.0,5,5,例4,使用理想解法对例2的购买飞机问题进行决策。,解：用适当方法确定决策指标的权重，得到,w,T,= ( 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0.2, 0.3 ),用向量归一化法得到标准化决策矩阵,第四节 理想点法（TOPSIS）,36,计算加权标准化决策矩阵，可得,确定理想解和负理想解,V,+,= ( 0.1168, 0.0659, 0.0531, 0.0414, 0.1347, 0.2012 ),V,-,= ( 0.0841, 0.0366, 0.0455, 0.0598, 0.0577, 0.1118 ),计算各方案到理想解和负理想解的距离,S,1,+,=0.0545,S,2,+,=0.1197,S,3,+,=0.0580,S,4,+,=0.1009,S,1,-,=0.0983,S,2,-,=0.0439,S,3,-,=0.0920,S,4,-,=0.0548,第四节 理想点法（TOPSIS）,37,计算各方案的相对贴近度,C,1,=0.643,C,2,=0.268,C,3,=0.613,C,4,=0.312,按,C,i,由大到小对方案排序,第四节 理想点法（TOPSIS）,38,第五节 层次分析法,(AHP),层次分析法,（The Analytical Hierarchy Process）,是美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代初提出来的。它是处理多目标、多准则、多要素、多层次的复杂问题，进行决策分析、综合评价的一种简单、实用而有效的方法，是一种定性分析与定量分析相结合的方法。,39,基本思路：,首先根据问题的性质和所要达到的总目标，将问题分解为不同的组成要素，并按照这些要素间的相互关联影响以及隶属关系，将要素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型。最后将该问题归结为最低层相对最高层(总目标)的比较优劣的排序问题。,第五节 层次分析法,(AHP),40,一、,AHP,的步骤,（1）建立层次分析结构模型;（2）构造判断矩阵;（3）层次单排序及一致性检验;（4）层次总排序及一致性检验。,第五节 层次分析法,(AHP),41,最高层(目标层)：,表示系统的目的，即AHP所要达到的目标。,中间层(准则层)：,表示采用某种措施或政策来实现预定目标所涉及的中间环节，这些环节通常是需要考虑的准则。他可以有多个子层。,最低层(措施层)：,表示解决问题的措施或政策。,确定各层次后，标明上一层与下一层要素之间的联系。层次结构往往用结构模型来描述。,1. 建立层次分析结构模型,分析评价系统中各基本要素之间的关系，建立系统的递阶层次结构（分解法、ISM法）,第五节 层次分析法,(AHP),42,房屋的合意性A,房屋C,1,房屋,C,2,房屋,C,3,房屋,C,4,价格B,1,面积B,2,距离B,3,设备B,4,环境B,5,第五节 层次分析法,(AHP),43,总人口A,保健水平D,1,出生率B,1,死亡率B,2,食物营养D,2,国民收入D,3,污染程度D,4,生育能力C,1,计划生育政策C,2,思想、风俗C,3,期望寿命C,4,第五节 层次分析法,(AHP),44,判断矩阵,B,的含义：,相对于上一层某要素，本层次各个要素重要性两两比较的判断值。,b,ij,表示要素,i,与要素,j,重要性的比值。,b,ij,按,19,标度给定,i,与,j,重要性比较,b,ij,i,与,j,同等重要,1,i,比,j,稍重要,3,i,比,j,重要,5,i,比,j,明显重要,7,i,比,j,绝对重要,9,相邻两级间,2,4,6,8,判断矩阵,B,具有如下性质：,(1),b,ii,=1,(2),b,ij,与,b,ji,互为倒数,2构造判断矩阵,B,b,11,b,1,n,B,=(,b,ij,),n,n,= ,b,n,1,b,nn,第五节 层次分析法,(AHP),45,例如：,相对于投资合理性，将风险小、利润高和易转产之间的重要性进行两两比较。如,b,21,=3，表示利润高比风险小稍微重要。,同理，相对于风险小、利润高、易转产，第三层各有一个方案之间满意度两两比较矩阵。这样，本问题共有四个判断矩阵。,1,1/5,1/2,B,3,5,1,3,B,2,2,1/3,1,B,1,B,3,B,2,B,1,A,B,=,选择合理投资方向,A,风险小,B,1,家用电器,C,1,利润高,B,2,易转产,B,3,紧俏产品,C,2,传统产品,C,3,第五节 层次分析法,(AHP),46,层次单排序：,根据判断矩阵计算出某层次各要素相对于上一层次中某要素的相对权重。,设有,n,个事物构成的一个整体,W,，其分量为：,W,=,w,1,w,2, ,w,n,其总体和为1。为了得到每个事物在总体和中的权重，就需两两比较其分量：,3层次单排序及一致性检验,一致性：,设矩阵,A,(,a,ij,),n,n,满足对任意,i,j,k,=1,2,n,有,a,ik,a,kj,=,a,ij,则称,A,为一致性矩阵。,第五节 层次分析法,(AHP),47,A,具有如下性质：,a,ii,1,a,ij,与,a,ji,互为倒数, 完全一致性，即,a,ik,a,kj,=,a,ij,i,j,k,=1,n,第五节 层次分析法,(AHP),48,根据矩阵理论，一致性矩阵,A,的最大特征值等于矩阵,A,的阶数,n,。以,n,个事物为元素的向量,W,是矩阵,A,对应于,n,的特征向量，它表示,n,个事物在总量和中的权重。也就是说，,矩阵,A,的最大特征值,n,所对应的特征向量即为被比较事物的权重。,第五节 层次分析法,(AHP),49,特征根法,基本思想：,当矩阵,A,为一致性矩阵时，其特征根问题,AW,=,W,的最大特征值所对应的特征向量归一化后即为排序权重向量。,结论：,求,A,的重要性权重就可以归结为求,A,的最大特征值所对应的特征向量。,第五节 层次分析法,(AHP),50,A的元素按列归一化，即,将归一化后的各列相加再除以,n,，即为权重向量。,权重向量的近似算法,1.求和法(算术平均法),第五节 层次分析法,(AHP),51,步骤,按行求乘积开,n,次方根,将 归一化为,w,i, 得权重向量,W,=(,w,1,w,2, ,w,n,).,归一化公式:,2.方根法(几何平均法),第五节 层次分析法,(AHP),52,求和法,列归一,0.22 0.22 0.25,0.67 0.65 0.62,0.11 0.13 0.13,列相加,0.69,1.94,0.37,除以3,0.230,0.647,0.123,A,B,1,B,2,B,3,B,B,1,1 1/3 2,B,2,3 1 5,B,3,1/2 1/5 1,例2,分别使用求和法与方根法计算要素,B,1,B,2,B,3,关于要素,A,的相对权重。,第五节 层次分析法,(AHP),53,方根法,连乘,2/3,15,1/10,归一化,0.230,0.648,0.122,开,3,次方,0.87,2.47,0.46,A,B,1,B,2,B,3,B,B,1,1 1/3 2,B,2,3 1 5,B,3,1/2 1/5 1,第五节 层次分析法,(AHP),54,B,与,A,都表示元素重要性比值，但,A,是按定义构造，而,B,是由主观判断获得，因此两者数学性质并不完全一致，表现在,A,具有完全一致性，从而其判断矩阵的最大特征根,=n,。而,B,不具备性质，,大于,n,，从而把,A,推广到,B,所得的结论也有一定误差。,为使特征根法仍能适用，须对误差进行检验，若误差在允许范围内，则对,B,所求的特征向量可近似表示权重。这一检验环节称,一致性检验（相容性检验）。,例如：,例,2,中的判断矩阵,B,就不满足完全一致性,b,13,.,b,32,=21/5 2/5，,b,12,=,1/3 ，,b,13,.,b,32,b,12,第五节 层次分析法,(AHP),55,前述,A,的最大特征值为,n,，而判断矩阵,B,的最大特征值,max,n,，可以认为这是,B,不满足而产生的结果，,B,越是不满足，,max,-,n,越大，因此，将这一误差值作为衡量,A,满足完全一致性的程度。,一致性指标,(,Consistency Index,),其中,第五节 层次分析法,(AHP),56,考虑到,n,越大，判断矩阵,B,越难满足一致性，所以应对不同阶数的矩阵给予不同的误差限，为此引入,随机一致性指标,R.I.,（,1000,个样本得到的平均,C.I.,值）：,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,R.I.,0,0,0.58,0.96,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,一致性比率,(,Consistency Ratio,):,C.R.,=,C.I.,/,R.I.,若,C.R.,0.1,，判断矩阵,B,具有,满意一致性,;,若,C.R.,0.1,，判断矩阵,B,不具有满意一致性，需要重新构造，直到满意为止。,第五节 层次分析法,(AHP),57,A,B,1,B,2,B,3,B,B,1,1 1/3 2,B,2,3 1 5,B,3,1/2 1/5 1,1 1/3 2,BW,= 3 1 5,1/2 1/5 1,0.230,0.648,0.122,0.69,= 1.948,0.367,例3,对例2中的判断矩阵,B,进行一致性检验。,故此判断矩阵具有满意一致性。,第五节 层次分析法,(AHP),58,4层次总排序,及一致性检验,b,1,b,2,b,m,C,层次总排序,C,1,C,2,C,n,c,1,1,c,1,2,c,1,m,c,2,1,c,2,2,c,2,m, ,c,n,1,c,n,2,c,n,m,B,1,B,2,B,m,层次,B,要素,总排序值,单排序值,层次,C,要素,层次总排序：,计算各层要素相对于最高层(总目标)的总权重，并据此对方案等排序。,第五节 层次分析法,(AHP),59,采用同一层次中所有层次单排序的结果，就可计算对上一层次而言的本层次所有要素重要性的数值。总排序过程从上到下逐层进行，直到得出最后一层的总排序。,设以第,k,-1,层的第,j,个要素为准则的一致性指标为,C.I.,j,k,，相应的平均随机一致性指标为,R.I.,j,k,(,j,=1,2,n,k,-1,),，那么第,k,层的综合指标分别为,综合一致性检验,第五节 层次分析法,(AHP),60,当,C.R.,(,k,),0.1,时，认为层次结构在第,k,层以上的判断具有整体满意一致性，否则，认为层次结构在第,k,层以上的判断不具有整体满意一致性。但在实际应用中，整体一致性检验常常不必进行。,第五节 层次分析法,(AHP),61,-,以第,k-1,层要素为准则的一致性指标,平均随机一致性,指标,第,k,层总排序,第,k-1,层要素,第,k-1,层总排序值,单排序值,第,k,层要素,层次总排序及一致性检验表,第五节 层次分析法,(AHP),62,二、,AHP,的流程图,构造判断矩阵B,求B的特征向量,求B的最大特征值,结束,一致性检验,建立层次分析结构模型,修改判断矩阵,没有通过,第五节 层次分析法,(AHP),63,三、应用举例,例4,某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻工产品。现拟定三个投资方案:,(1)生产某种家用电器；(2)生产某种紧俏产品；(3)生产传统产品。评价和选择投资方案的准则是：风险程度、资金利润率和转产难易程度。经初步分析认为：若投资用来生产家用电器，其优点是资金利润率高，但因竞争厂家多，故所冒风险也大，且今后若要转产其他产品也较困难。若资金用来生产传统产品，情况正好相反，即其优点是所冒风险小，今后若要转产也较方便，但资金利润却很低。生产紧俏产品的投资方案，其优缺点则介于上述两种方案之间。因此，对上述三种投资方案不能立即作出评价与决策。,第五节 层次分析法,(AHP),64,1. 建立层次分析结构模型,A,B,1,B,2,B,3,W,i,0,C.R.=C.I./R.I.,B,1,1 1/3 2,0.230,B,2,3 1 5,0.648,0.004/0.58=0.0070.10,B,3,1/2 1/5 1,0.122,选择合理投资方向,A,风险小,B,1,家用电器,C,1,利润高,B,2,易转产,B,3,紧俏产品,C,2,传统产品,C,3,2. 构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。,第五节 层次分析法,(AHP),65,B,1,C,1,C,2,C,3,W,i,0,C.R.,C,1,1 1/3 1/5,0.105,C,2,3 1 1/3,0.258,0.022/0.58=0.0380.10,C,3,5 3 1,0.637,B,2,C,1,C,2,C,3,W,i,0,C.R.,C,1,1 2 7,0.592,C,2,1/2 1 5,0.333,0.008/0.58=0.014 0.10,C,3,1/7 1/5 1,0.075,B,3,C,1,C,2,C,3,W,i,0,C.R.,C,1,1 1/3 1/7,0.081,C,2,3 1 1/5,0.188,0.035 /0.58=0.060.10,C,3,7 5 1,0.731,第五节 层次分析法,(AHP),66,0.2300.105+0.6480.592+0.1220.081,0.2300.022+0.6480.008+0.1220.035,层次,B,要素,B,层总排序值,单排序值,层次,C,要素,B,1,B,2,B,3,综合重要度,0.230,0.648,0.122,C,1,C,2,C,3,0.105,0.258,0.637,0.592,0.333,0.075,0.081,0.188,0.731,0.418,0.298,0.284,C.I.,0.022,0.008,0.035,0.015,R.I.,0.58,0.58,0.58,0.58,3. 层次总排序及一致性检验。,C.R.,=,C.I/R.I.,=0.015/0.58=0.0250.1,第五节 层次分析法,(AHP),67,总人口,A,保健水平,D,1,出生率,B,1,死亡率,B,2,食物营养,D,2,国民收入,D,3,污染程度,D,4,生育能力,C,1,计划生育政策,C,2,思想、风俗,C,3,期望寿命,C,4,例5,四级递阶结构的AHP算法,第五节 层次分析法,(AHP),68,A,B,1,B,2,W,i,0,C.R.,B,1,1 4,0.8,B,2,1/4 1,0.2,00.1,B,1,C,1,C,2,C,3,W,i,0,C.R.,C,1,1 1/4 1/2,0.143,C,2,4 1 2,0.571,0.002,/0.58=0.003 0.1,C,3,2 1/2 1,0.286,B,2,C,4,W,i,0,C.R.,C,4,1,1,0,0.1,1.构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。,第五节 层次分析法,(AHP),69,C,1,D,1,D,2,D,3,W,i,0,C.R.,D,1,1 1/2 1/4,0.136,D,2,2 1 1/3,0.239,0.014,/0.58=0.0240.1,D,3,4 3 1,0.625,C,2,D,3,W,i,0,C.R.,D,3,1,1,0,0.1,C,3,D,3,W,i,0,C.R.,D,3,1,1,0,0.1,C,4,D,1,D,2,D,3,D,4,W,i,0,C.R.,D,1,1 2 1/3 3,0.245,D,2,1/2 1 1/3 2,0.157,0.067/0.96=0.070.1,D,3,3 3 1 4,0.505,D,4,1/3 1/2 1/4 1,0.452,第五节 层次分析法,(AHP),70,B,i,C,j,i,C,j,B,1,B,2,综合重要度,0.8,0.2,C,1,C,2,C,3,C,4,0.143,0.571,0.286,1,0.114,0.457,0.229,0.200,C.I.,0.002,0,0.0016,R.I.,0.58,0,0.464,二级综合重要度计算表,2. 层次总排序及一致性检验,C.R.=C.I/R.I.=,0.0016/0.464 0.1,第五节 层次分析法,(AHP),71,C,i,D,j,i,D,j,C,1,C,2,C,3,C,4,综合,重要度,0.114,0.457,0.229,0.200,D,1,D,2,D,3,D,4,0.136,0.239,0.625,1,1,0.245,0.157,0.505,0.093,0.065,0.058,0.858,0.019,C.I.,0.014,0,0,0.067,0.015,R.I.,0.58,0,0,0.96,0.258,三级综合重要度计算表,C.R.=C.I/R.I.=,0.015/0.258 0.1,第五节 层次分析法,(AHP),72,改进的1-9 标度Ax标度,Ax,标度,赋值,因素,i,与,j,相比较的,重要程度等级,9,0,1,同等重要,9,1/8,1.3161,稍微重要,9,2/8,1.7321,重要,9,4/8,3,明显重要,9,6/8,5.1962,强烈重要,9,8/8,9,极端重要,参考书籍：,系统工程定量技术批判与创新, 张志勇，陕西人民出版社。,第五节 层次分析法,(AHP),73,第六节 数据包络分析法,1. DEA,的产生,数据包络分析是运筹学、管理科学和数理经济学交叉研究的一个新的领域，它是由,A.Charnes,和,W.W.Cooper,等人于1978年创建的。,DEA,是使用数学规划模型评价具有多个投入和多个产出的部门或单位间的相对有效性。,(D,ata Envelopment AnalysisDEA),1978年,Charnes、Cooper、Rhodes，C,2,R模型,1985年,Charnes、Cooper、Golany、Seiford、Stutz,C,2,GS,2,模型,1986年,Charnes、Cooper、魏权龄, C,2,W模型,74,国外：,评价为弱智儿童开设的公立学校项目,2. DEA,的应用研究工作,国内：,1986年，周泽昆、陈珽等， 中小学教育,1988年，魏权龄等，学会,1989年，余学林，科技情报机构,1990年，李树根、杨印生等，机械部所属院校的科研相对有效性,1992年，杨印生等，高校实验室管理效率,第六节 数据包络分析法,75,DEA,适用于具有多投入多产出的复杂系统,（1）DEA以各投入产出的权系数为决策变量，在最优化的意义上进行评价，避免了在统计平均意义上确定指标权系数，具有内在的客观性。,（2）DEA不必给出反映各投入与产出之间关联关系的表达式。,3. DEA,的优点,第六节 数据包络分析法,76,（1）收集数据。投入、产出数据,（2）调整数据。使投入数据的优化方向为越小越好，产出数据的优化方向为越大越好。,（3）建模。以,N,个决策单元为行向量，形成一个,N,(,M,+,S,)维数表，即为标准DEA模型。,（4）运行DEA程序，得出效率评价指数，据此判断决策单元是否有效，以及有效的投入量和产出量。,4. DEA,的操作步骤,第六节 数据包络分析法,77,二、,C,2,R,模型的基本原理,1C,2,R模型,x,11,x,12,x,1,n,x,21,x,22,x,2,n, ,x,m,1,x,m,2,x,mn,y,11,y,12,y,1,n,y,21,y,22,y,2,n, ,y,p,1,y,p,2,y,pn,v,1,v,2,v,m,u,1,u,2,u,p,投入,产出,1 2,n,第六节 数据包络分析法,78,决策单元,j,的,效率指标：,h,j,表示第,j,个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率，可以适当选择权系数,u,、,v,，使得,h,j,1,第六节 数据包络分析法,79,评价第,j,0,个决策单元相对有效性的C,2,R模型：,意义：,寻找一组权系数,v,1, ,v,m,和,u,1,、,u,p,，,在全部所考察的决策单元的效率指数,h,j,满足小于等于,1,的条件下，使所评价的决策单元,j,0,的效率指数,h,0,最大。,第六节 数据包络分析法,80,向量形式：,其中：,第六节 数据包络分析法,81,利用Charnes-Cooper变换，将上述分式规划问题转化为等价的线性规划问题，令,则有：,向量形式：,第六节 数据包络分析法,82,(,P,),的对偶规划问题为：,其中 为松弛变量，,为剩余变量。,第六节 数据包络分析法,83,例1,设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，写出评价第1个决策单元相对效率的C,2,R模型。,1,3 3 4,3,1 3 2,1 2 3 4,1,1 2 1,1,1,2,解得：,第六节 数据包络分析法,84,2,系统的DEA有效性,定义1,如果LP问题(,P,)的最优解 满足条件,则称决策单元,j,0,为弱DEA有效。,定义2,如果LP问题(,P,)的最优解 满足条件,并且 则称决策单元,j,0,为DEA有效。,定理1,（1）如果(,D,)的最优值,V,D,=1，则,j,0,为弱DEA有效；反之亦然。 （2）如果,(,D,),的最优值,V,D,=1,，,并且每个最优解 都满足条件,则,j,0,为,DEA,有效；反之亦然。,第六节 数据包络分析法,85,3,系统DEA有效性的判定,为使模型计算简便易行，,查恩斯和库伯,引入非阿基米德无穷小量,，,得：,第六节 数据包络分析法,86,定理2,设LP问题(,D,)的最优解为 则,（1）若,0,=1，则,j,0,为弱DEA有效；,（2）若,0,=1,，,并且,s,0,=0，,t,0,=0,，,则,j,0,为,DEA,有效。,第六节 数据包络分析法,87,例如，例1中评价第4个决策单元相对有效性的C,2,R模型为：,1 3 3,4,3 1 3,2,1 2 3 4,1 1 2,1,1,1,2,第六节 数据包络分析法,88,利用单纯形法求解，得到最优解：,因为,0,0(,i,=1,m,)，或至少有某个,t,k,0,0,(,k,=1,s,),时，,j,0,为弱,DEA,有效。,（3）当,0,1，,j,0,不是,DEA,有效。,第六节 数据包络分析法,91,实证研究,企业技术进步分析,取年份为决策单元，表中前2个指标是投入指标，后4个是指标是产出指标。根据表中数据可写出评价决策单元1991年相对有效性的,C,2,R,模型：,指标年份,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,R&D经费,(万元),11,152,251,130,558,817,898,1128,固定资产,净值(万元),4642,6666,6528,10096,18046,33501,42175,40905,销售收入,(万元),7618,19356,45175,58303,71291,80380,84494,114963,新产品,产值率(%),26.2,10,10.2,12.2,12.8,13.9,16.5,33.5,全员劳动,生产率(%),2.2,6.7,15.2,20.3,19.7,21.5,22.7,21.3,产品开发,周期(月),6,6,1,1,1,1,1,0.36,第六节 数据包络分析法,92,min,-10,-6,(s,1,+ s,2,+ t,1,+t,2,+t,3,+t,4,),s.t. 11,1,+152,2,+251,3,+130,4,+558,5,+817,6,+898,7,+1128,8,+s,1,=,11,4642,1,+6666,2,+6528,3,+10096,4,+18046,5,+33501,6,+42175,7,+40905,8,+s,2,=,4642,7618,1,+19356,2,+45175,3,+58303,4,+71291,5,+80380,6,+84494,7,+114963,8,-t,1,=,7618,26.2,1,+10,2,+10.2,3,+12.2,4,+12.8,5,+13.9,6,+16.5,7,+33.5,8,-t,2,=,26.2,2.2,1,+6.7,2,+15.2,3,+20.3,4,+19.7,5,+21.5,6,+22.7,7,+21.3,8,-t,3,=,2.2,6,1,+6,2,+,3,+,4,+,5,+,6,+,7,+0.36,8,-t,4,=,6,j,0,j=1,2,8；s,i,0,i=1,2；t,k,0,k=1,2,3,4；,0,93,在上述模型中，用各年份2个投入指标分别替换约束条件中第1第2个等式中y的系数，用4个产出指标分别替换第3第4第5第6个等式中右端常数，则可得到各年份的C,2,R模型。,C,2,R,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,y,*,1,0.9583,1,1,0.6001,0.3814,0.3527,0.4582,s,1,*,59.064,s,2,*,t,1,*,1581.6,t,2,*,17.97,2.9922,3.578,1.6978,t,3,*,4.503,6.021,6.353,17.654,t,4,*,0.486,0.577,0.605,3.947,结论,有效,非有效,有效,有效,非,有效,非,有效,非有效,非有效,由定理1，决策单元,1、3、4,即,91、93、94,年同时为技术效率最佳和规模收益不变，其余年份为非同时技术效率最佳和规模收益不变。其中,1992,年,s,1,*=59,(万元)，表示R&D投入有那么多未真正起作用；,t,1,*=1582,(万元),t,2,*=18,(%),分别表示销售收入和新产品产值率有那么多的不足。,94,某快餐企业拥有12个分店,总经理拟对分店业绩进行评估,以确定分店员工奖金,分店投入产出数据如下:,分店,利润,满意度,卫生,工作小时,运营成本,1,5.98,7.70,92,4.74,6.75,2,7.18,9.70,99,6.38,7.42,3,4.97,9.30,98,5.04,6.35,4,5.32,7.70,87,3.61,6.34,5,3.39,7.80,94,3.45,4.43,6,4.95,7.90,88,5.25,6.31,7,2.89,8.60,90,2.36,3.23,8,6.40,9.10,100,7.09,8.69,9,6.01,7.30,89,6.49,7.28,10,6.94,8.80,89,7.36,9.07,11,5.86,8.20,93,5.46,6.69,12,8.35,9.60,97,6.58,8.75,快餐分店相对有效性分析,95,仿照上述公式,写出求分店1效率的,DEA,模型:,分店1加权产出,分店1效率约束,分店2效率约束,分店12效率约束,分店1投入约束,96,