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第2讲平面向量基本定理及坐标表示考纲解读1.熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示的平面向量共线的条件(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的一个热点预测2020年会从以下几点进行命题：向量的坐标运算及线性表示；根据向量共线求参数值；共线向量与其他知识综合题型以客观题为主，有时也会与三角函数、解析几何综合命题，试题难度以中档题型为主.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2平面向量的坐标运算设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|，|ab|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.1概念辨析(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)设平面向量a(1,0)，b(0,2)，则2a3b等于()A(6,3) B(2，6)C(2,1) D(7,2)答案B解析2a3b2(1,0)3(0,2)(2,0)(0,6)(2，6)(2)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则的值为()A. BC1 D1答案A解析由题意得，又，由平面向量基本定理得，1，所以.(3)设向量a(x，4)，b(1，x)，若向量a与b同向，则x()A2 B2 C2 D0答案A解析因为a与b同向，所以ab，所以x(x)(4)10，解得x2.当x2时，a2b，a与b同向当x2时，a2b，a与b反向，所以x2.(4)若a与b不共线，已知下列各向量：a与2b；ab与ab；ab与a2b；ab与ab.其中可以作为基底的是_(填序号)答案解析中两个向量不共线，可以作为基底；中，ab2，所以两个向量共线，不可以作为基底题型 平面向量基本定理及其应用 1向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则ab()A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2答案C解析设向量a，b的终点分别为A，B，因为向量a，b共起点，所以ab，根据图形可知e13e2.2(2018资阳模拟)在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则()A. B2 C. D.答案D解析，.()，则.3已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则2xy_.答案9解析由平面向量基本定理可知解得故2xy9.条件探究1若把举例说明2的条件改为“在平行四边形ABCD中，e1，e2，”，试用e1，e2表示.解由得()(e2e1)，又因为e2，所以(e2e1)e2e1e2.条件探究2若把举例说明2的条件改为“在平行四边形ABCD中，边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2”，试用e1，e2表示，.解设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得ye1e2，即e1e2.1用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要注意运用平面几何的一些性质定理2运用平面向量基本定理时应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算(3)利用“唯一性”建立方程组如举例说明2,3. 1如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_答案解析P是BN上的一点，设，由，则()(1)(1)m.m1，解得，m.2(2018衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xayb(x，y为非零实数)共线，则的值为_答案解析设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c与xayb共线，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以则的值为.题型 平面向量的坐标运算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)，又因为2b，所以2b(12,6)(3，4)(9,2)，所以N(9,2)所以(9，18)结论探究举例说明中条件不变，求三角形ABC的重心G的坐标解设AB的中点为P，O为坐标原点，因为，所以()，所以()(2,4)(3，1)(3，4)，所以重心G的坐标为.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案A解析根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A.2已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.abCab Dab答案B解析设cab.则(1,2)(1,1)(1，1)，所以解得所以cab.题型 平面向量共线的坐标表示角度1利用向量共线求参数的值1(1)(2018全国卷)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_；(2)平面内有三点A(0，3)，B(3,3)，C(x，1)，且A，B，C三点共线，则x_.答案(1)(2)1解析(1)由题意可得2ab(4,2)，c(2ab)，c(1，)，420，即.(2)由题意知(3,6)，(x3，4)因为A，B，C三点共线，所以与共线，所以3(4)6(x3)0，解得x1.角度2利用向量坐标运算求解综合问题2(2018山东德州一模)已知ABC的三边分别是a，b，c，设向量m(sinBsinA，ac)，n(sinC，ab)，且mn，则B的大小是()A. B. C. D.答案B解析因为mn，所以(ab)(sinBsinA)sinC(ac)由正弦定理得，(ab)(ba)c(ac)，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cosB.又0B0，n0)，则m2n的最小值为_答案3解析因为2，所以.连接AP，则().因为M，P，N三点共线，所以1，因为m0，n0，所以m2n(m2n)，23，当且仅当，即mn时等号成立所以m2n的最小值为3.
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