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第二章 基本初等函数测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.计算:log225log522=()A.3B.4C.5D.6解析log225log522=lg25lg2lg 812lg5=3,故选A.答案A2.函数y=x2,y=x3,y=12x,y=lg x中,在区间(0,+)上为减函数的是()A.y=x2B.y=x3C.y=12xD.y=lg x答案C3.函数f(x)=-x,x-1,x2,x-1的最小值是()A.-1B.0C.1D.2答案B4.满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数可以是()A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=log2xD.f(x)=eln x解析f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).答案C5.函数f(x)=1ln(x+1)+4-x2的定义域为()A.-2,2B.(-1,2C.-2,0)(0,2D.(-1,0)(0,2解析要使函数有意义,x应满足x+10,x+11,4-x20,解得-1x0或0bcB.bacC.cbaD.cab解析因为c=log1213=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+)上单调递增,所以log23log2elog22=1,即ca1.因为y=ln x在(0,+)上单调递增,且b=ln 2,所以ln 2ln e=1,即bab.故选D.答案D7.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么a kg的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于()A.lg0.50.92B.lg0.920.5C.lg0.5lg0.92D.lg0.92lg0.5解析设t年后剩余量为y kg,则y=(1-8%)ta=0.92ta.当y=12a时,12a=0.92ta,所以0.92t=0.5,则t=log0.920.5=lg0.5lg0.92.答案C8.函数y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是()A.(0,2B.-2,+)C.(-,-2D.2,+)解析-x2+3x+4=-x-322+254254,又-x2+3x+40,则01,排除C、D,故选B.答案B10.若函数f(x)=4x-32x+3的值域为1,7,则f(x)的定义域为()A.(-1,1)2,4B.(0,1)2,4C.2,4D.(-,01,2解析设t=2x,则t0,且y=t2-3t+3=t-322+34.函数f(x)=4x-32x+3的值域为1,7,函数y=t2-3t+3的值域为1,7.由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),则0t1或2t4,即00,且a1)及y=logbx(b0,且b1)的图象与线段OA分别交于M,N,且M,N恰好是OA的两个三等分点,则a,b满足()A.ab1B.baa1D.ab1解析由题图,得a13=13,即a=133,logb23=23,即b23=23,b=2332=633133=a,且b=2332230=1,即ab1.故选A.答案A12.已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在0,2)上的图象如图所示,则使关于x的不等式f(x)g(x)0成立的x的取值范围为()A.(-2,-1)(1,2)B.(-1,0)(0,1)C.(-1,0)(1,2)D.(-2,-1)(0,1)解析如题图所示,当0x0,g(x)0,故f(x)g(x)0;当1x2时,f(x)0,故f(x)g(x)0时,其解集为(1,2).y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,f(x)g(x)是奇函数,由奇函数的对称性可得当x0时,其解集为(-1,0).综上,不等式f(x)g(x)0的解集是(-1,0)(1,2),故选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果幂函数f(x)的图象过点16,12,那么f(64)=.解析设幂函数f(x)=x(为常数),将16,12代入,求得=-14,则f(x)=x-14,所以f(64)=64-14=24.答案2414.设函数f(x)=1+log6x,x4,f(x2),x4,则f(3)+f(4)=.解析f(x)=1+log6x,x4,f(x2),x4,f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,f(3)+f(4)=2+log69+log64=2+log636=2+2=4.答案415.已知(1.40.8)a1,00.81.41,且(1.40.8)a(0.81.4)a,y=xa为减函数,a的取值范围是(-,0).答案(-,0)16.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图所示,给出以下结论:b2-4ac0;a+b+c0,故不对;因为对称轴为直线x=-1,所以另一根在(0,1)之间,故f(1)0,即a+b+c0,对;因为y=a(x+1)2+2=ax2+2ax+a+2,所以b=2a,c=a+2,因此c-a=2,对;ax2+bx+c-2=a(x+1)2=0有两个相等的实数根,正确.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)计算:(1)21432+0.2-2-0+127-13;(2)log3(9272)+log26-log23+log43log316.解(1)21432+0.2-2-0+127-13=32232+15-2-1+(3-3)-13=323+25-1+3=2438.(2)log3(9272)+log26-log23+log43log316=log332(33)2+(log23+log22)-log23+log43log342=log33236+log22+(log43)2(log34)=log338+1+2=8+1+2=11.18.(本小题满分12分)画出函数f(x)=|log3x|的图象,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值.解因为f(x)=|log3x|=log3x,x1,-log3x,0x1,所以在1,+)上f(x)的图象与y=log3x的图象相同,在(0,1)上的图象与y=log3x的图象关于x轴对称,据此可画出其图象,如图所示.由图象可知,函数f(x)的值域为0,+),单调递增区间是1,+),单调递减区间是(0,1).当x19,6时,f(x)在19,1上是单调递减的,在(1,6上是单调递增的.又f19=2,f(6)=log360且满足不等式22a+125a-2.(1)求实数a的取值范围;(2)求不等式loga(3x+1)25a-2,2a+15a-2,即3a3,a0,0a1.(2)由(1)知0a1,loga(3x+1)0,7-5x0,3x+17-5x,即x-13,x34,34x75,即不等式的解集为34,75.(3)0a0且a1.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若f35=2,求使f(x)0成立的x的集合.解(1)要使函数有意义,则1+x0,1-x0,解得-1x0,则log2(x+1)log2(1-x),x+11-x0,解得0x1,故所求x的集合为(0,1).21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x-2m2+m+3(mZ)为偶函数,且f(3)0,且a1)在区间2,3上为增函数,求实数a的取值范围.解(1)f(x)为偶函数,-2m2+m+3为偶数.又f(3)f(5),3-2m2+m+35-2m2+m+3,即有35-2m2+m+30,-1m0,且a1)在区间2,3上为增函数.令u(x)=x2-ax,y=logau,当a1时,y=logau为增函数,只需u(x)=x2-ax在区间2,3上为增函数,即a22,u(2)=4-2a01a2;当0a0a.综上可知,实数a的取值范围为(1,2).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-2x2x+1.(1)用定义证明函数f(x)在(-,+)上为减函数;(2)若x1,2,求函数f(x)的值域;(3)若g(x)=a2+f(x),且当x1,2时,g(x)0恒成立,求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为R,设x1,x2R且x1x2,则f(x1)-f(x2)=2x22x2+1-2x12x1+1=2x2-2x1(2x1+1)(2x2+1).x10.又2x1+10,2x2+10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在(-,+)上为减函数.(2)f(x)在(-,+)上为减函数,当x1,2时,f(x)min=f(2)=-45,f(x)max=f(1)=-23.当x1,2时,f(x)的值域为-45,-23.(3)由(2)得,当x1,2时,f(x)-45,-23,g(x)=a2+f(x),当x1,2时,g(x)a2-45,a2-23.g(x)0在x1,2上恒成立,a2-450,a85.
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