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第07节 解三角形及其应用举例班级_ 姓名_ 学号_ 得分_一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.【2018年全国卷II理】1海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是( )A. B. C. D. 【答案】C2一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里【答案】B【解析】如图所示,COA=135,ACO=ACB=ABC=15,OAC=30，AB=10，AC=10.AOC中,由正弦定理可得，这艘船的速度是每小时海里，本题选择D选项.3如图，有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要加长（）A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 32【答案】B【解析】设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，如图ABD=，C=，BAC=.AB=BC，BC=1，即坡底要加长1km.故选B.4如图，在海岸线上相距千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且，则BC之间的距离是 A. 千米 B. 30千米 C. 千米 D. 12千米【答案】D【解析】依题意得，AC=，sinA=sin(+)=cos=sinB=sin(-2)=cos2=2cos2-1=，在ABC中，由正弦定理得， =12则C与B的距离是12km6.如图，在三角形ABC中，点 在 边上， ， ,则的值为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由题意，根据条件知为等边三角形，则，由余弦定理，得，即，由正弦定理，得，则，故正确答案为D.7【山东省青岛市2018年春季高考二模】如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点，测出的距离为，后，就可以计算出，两点的距离为A B C D 【答案】A8.【2018届湖北省稳派教育第二次联考】如图，在ABC中，D是AB边上的点，且满足A B C D 0【答案】D9.【2018届广西二模】我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设三个内角，所对的边分别为，面积为，则“三斜求积公式”为.若，则用“三斜求积公式”求得的（ ）A B C D 【答案】D【解析】由 可得，由 可得，整理计算有：，结合三角形面积公式可得： .本题选择D选项.10.【2018届安徽亳州市涡阳一中最后一卷】已知锐角的内角为，点为上的一点，则的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，当时，从而可得的取值范围.详解：中，由余弦定理可得， ，中，由正弦定理得，得，当时，当时，为锐角三角形，的取值范围为，故选A.二、填空题：本大题共7小题，共36分11.【2018届安徽省示范高中（皖江八校）5月联考】如图，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为_尺【答案】【解析】分析：根据题意画出图形，列出等式关系，联立即可求解.详解：如图，已知（尺），（尺）， ，解得，因此，解得，故折断后的竹干高为尺.12.【2018届吉林省吉大附中四模】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，就可以计算出两点的距离为_【答案】13.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为_海里/小时.【答案】【解析】如图,在MNO中，由正弦定理可得，则这艘船的航行速度 (海里/小时).14.【2018届贵州省凯里市第一中学黄金卷三】如图，为测量一座山的高度，某勘测队在水平方向的观察点， 测得山顶的仰角分别为， ，且该两点间的距离是米，则此山的竖直高度为_米（用含， ， 的式子表达）【答案】【解析】如图在中有，则在中， ，则故高度： 故答案为： 15【2018年衡水金卷调研卷三】某港口停泊两艘船，大船从港口出发，沿东偏北60方向行驶2.5小时后，小船开始向正东方向行驶，小船出发1.5小时后，大船接到命令，需要把一箱货物转到小船上，便折向驶向小船，期间，小船行进方向不变，从大船折向开始，到与小船相遇，最少需要的时间是_小时【答案】3.5【解析】设港口为O，小船行驶1.5小时到达B，此时大船行驶到A，大船折向按方向行驶，大船与小船同时到达C点时，用时最少.设从A到C，大船行驶时间为t，则OA=， .由余弦定理得，即，解得即最少需要3.5小时.16. 如图，一栋建筑物的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为_ m.【答案】60【解析】设AECD，垂足为E，则在AMC中, ，由正弦定理得： ，故答案为60.17.【2018届四川省绵阳市三诊】如图，在中， ， ， 的垂直平分线与分别交于两点，且，则_【答案】【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中， ，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得 .详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中， ，所以，故，在中， .三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.【河北省邯郸市2017-2018学年高二下期末】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.（1）求该军舰艇的速度.（2）求的值.【答案】（1）14海里/小时；（2）.【解析】分析：（1）由题设可以得到的长，在中利用余弦定理可以得到的长，从而得到舰艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.详解：(1)依题意知，在中， 由余弦定理得，解得，所以该军舰艇的速度为海里/小时(2)在中，由正弦定理，得，即19. 如图，是两个小区所在地，到一条公路的垂直距离分别为，两端之间的距离为.（1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对的张角与对的张角相等，试确定点的位置；（2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对所张角最大，试确定点的位置.【答案】（1）4；（2）.【解析】试题分析：(1)利用张角相等的相似性即可确定点P的位置；(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当时满足题意.试题解析：（1）张角相等，(2)设， ，设， ，当且仅当时，等号成立，此时，即20.如图，在某海滨城市附近的海面上正形成台风。据气象部门检测，目前台风中心位于城市的南偏东方向的海面处，并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为，并以的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到）？【答案】4.1小时解：根据题意可设小时后台风中心到达点，该城市开始受到台风侵袭，如图中，由余弦定理得， ，化简得，解得.答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭。21.【2018届江苏南京溧水高级中学期初模拟】如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了两个报名点，满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作：先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点)，然后乘同一艘轮游轮前往岛据统计，每批游客处需发车2辆， 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元（其中是正常数）设，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元(1) 写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2) 问：中转点距离处多远时， 最小？【答案】(1) ；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，求出相关的角，利用正弦定理，求出，表示出所需运输成本为元关于的函数表达式；（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值.试题解析：(1) 由题知在ACD中，CAD，CDA，AC10，ACD.由正弦定理知， 即CD， AD， 所以S4aAD8aBD12aCD (12CD4AD80)aa80a a60a 22.【2018届上海市徐汇区二模】如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度为20公里小时送快件到处，已知公里，是等腰三角形，（1）试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车的平均速度为60公里小时，问，汽车能否先到达处？【答案】(1)快递小哥不能在50分钟内将快件送到处 (2)汽车能先到达处【解析】试题分析：（1）由题意结合图形，根据正弦定理可得，求得的长，又，可求出快递小哥从地到地的路程，再计算小哥到达地的时间，从而问题可得解；（2）由题意，可根据余弦定理分别算出与的长，计算汽车行驰的路程，从而求出汽车到达地所用的时间，计算其与步小哥所用时间相差是否有15分钟，从而问题可得解.（2）在中，由，得（公里），在中，由，得（公里），- 由（分钟）知，汽车能先到达处
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